三角函數(shù)公式大全及其推導(dǎo)方法

1、三角函數(shù)公式大全及其推導(dǎo)1. 三角函數(shù)的定義Figure Error! Main Document Only.由此，我們定義：如Figure I, 在ABC中備注：當(dāng)用一個字母或希臘字母表示角時，可略寫符號，但用三個子母表示時，不能省略。在本文中，我們只研究sin、cos、tan。2. 額外的定義3. 簡便計算公式證明：證完4. 任意三角形的面積公式Figure Error! Main Document Only.如FigureII,5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：如Figure II,證完6. 海倫公式證明：如Figure I

2、I,7. 正弦定理Figure Error! Main Document Only.如 Figure III,c為ABC外接圓的直徑,同理：8. 加法定理(1) 兩角差的余弦Figure Error! Main Document Only.如 Figure IV, 令A(yù)O=BO=r點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為由余弦公式可得：綜上得：(2) 兩角和的余弦(3) 兩角和的正弦(4) 兩角差的正弦(5) 兩角和的正切(6) 兩角差的正切9. 兩倍角公式10. 積化和差公式11. 和差化積公式(1)設(shè)：A=+, B=-,(2)設(shè)：12. 其他常用公式13. 特殊的三角函數(shù)值

3、sin01cos10tan01N/A14. 關(guān)于機(jī)器算法在計算機(jī)中，三角函數(shù)的算法是這樣的，其中x用弧度計算推導(dǎo)公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R為外接圓半徑) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起來a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)帶入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-

4、cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA對數(shù)的性質(zhì)及推導(dǎo)用表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數(shù)*表示乘號，/表示除號定義式：若an=b(a>0且a1)則n=log(a)(b)基本性質(zhì)：1.a

5、(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推導(dǎo)1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的n=log(a)(b)帶入an=b)2.MN=M*N由基本性質(zhì)1(換掉M和N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)由指數(shù)的性質(zhì)alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.與2類似處理MN=M/N由

6、基本性質(zhì)1(換掉M和N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)由指數(shù)的性質(zhì)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.與2類似處理Mn=Mn由基本性質(zhì)1(換掉M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指數(shù)的性質(zhì)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性質(zhì)：性質(zhì)一：換底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推導(dǎo)如下N=alog(a)(

7、N)a=blog(b)(a)綜合兩式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)又因?yàn)镹=blog(b)(N)所以blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)這步不明白或有疑問看上面的所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性質(zhì)二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推導(dǎo)如下由換底公式lnx是log(e)(x),e稱作自然對數(shù)的底log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性質(zhì)4可得log(an)(bm)=

8、n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由換底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)-（性質(zhì)及推導(dǎo)完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)證明如下:由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以b為底的對數(shù),log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方關(guān)系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()·商的關(guān)系：tan=sin/coscot=cos/sin·倒數(shù)關(guān)系：tan·

9、cot=1sin·csc=1cos·sec=1萬能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與-的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot

10、（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3

11、/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kZ)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方關(guān)系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()·積的關(guān)系：sin=

12、tan*coscos=cot*sintan=sin*seccot=cos*cscsec=tan*csccsc=sec*cot·倒數(shù)關(guān)系：tan·cot=1sin·csc=1cos·sec=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,三角函數(shù)恒等變形公式·兩角和與差的三角函數(shù)：cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sinta

13、n(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan)·輔助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)·倍角公式：sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()·三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos&

14、#183;半角公式：sin(/2)=±(1-cos)/2)cos(/2)=±(1+cos)/2)tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin·降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=vercos(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)·萬能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)·積化和差公

15、式：sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-)cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-)·和差化積公式：sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2·其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/

16、n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等內(nèi)容·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展開有無窮級數(shù)，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。&

17、#183;三角函數(shù)作為微分方程的解：對于微分方程組y=-y''y=y''''，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值a030456090sina01/22/23/21cosa13/22/21/20tana03/313NonecotaNone313/30三角函數(shù)的計算冪級數(shù)c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0.)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n

18、+.=cn(x-a)n(n=0.)它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,.及a都是常數(shù),這種級數(shù)稱為冪級數(shù).泰勒展開式(冪級數(shù)展開法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.實(shí)用冪級數(shù)：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)cosx=1-x2/2!+x4/

19、4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|<1)arccosx=-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|<1)arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|<

20、;1)arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|<1)-傅立葉級數(shù)(三角級數(shù))f(x)=a0/2+(n=0.)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/(.-)(f(x)dxan=1/(.-)(f(x)cosnx)dxbn=1/(.-)(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示為“Tg”如：TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=Cosa2-Sina2=1-2Sina2=2Cosa2-1Tan2a=2Tana/1-Tana2眾所周知,在數(shù)學(xué)和物理中,三角函數(shù)是一個重要的工具,以下是一些推導(dǎo)公式,希望對大家有作用平方關(guān)系：sin2()+cos2()=1 c

21、os2a=(1+cos2a)/2 tan2()+1=sec2() sin2a=(1-cos2a)/2cot2()+1=csc2()·積的關(guān)系：sin=tan*coscos=cot*sintan=sin*sec cot=cos*cscsec=tan*csc csc=sec*cot·倒數(shù)關(guān)系：tan·cot=1sin·csc=1cos·sec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊,·三角函數(shù)恒等變形公式·兩角和與差的三角函數(shù)：cos(+)=cos·

22、cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan)·三角和的三角函數(shù)：sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sincos(+)=cos·cos·cos-cos

23、83;sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan)·輔助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2)=2sin·

24、cos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()·三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos·半角公式：sin(/2)=±(1-cos)/2)cos(/2)=±(1+cos)/2)tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin·降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=cove

25、rs(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)·萬能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)·積化和差公式：sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-)cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-)·和差化積公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=

26、2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2·推導(dǎo)公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2·其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx證明：左邊=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sin