MATLAB在簡單數(shù)學建模中的應用

1、 MATLAB 語言課程論文MATLAB 在簡單數(shù)學建模中的應用姓名:馬輝專業(yè):通信工程班級:1班指導老師:湯全武學院:物理電氣信息學院MATLAB 在簡單數(shù)學建模中的應用摘要 通過對實際問題的抽象和簡化 , 引入一些數(shù)學符號、變量和參數(shù) , 運用某些規(guī)律 , 用數(shù)學語言和 數(shù)學方法建立變量、參數(shù)間的內在聯(lián)系 , 得出一個數(shù)學結構 , 該數(shù)學結構是實現(xiàn)的一個近似刻畫 , 稱之為 數(shù)學模型。建立和求解數(shù)學模型的全過程就是數(shù)學建模 , 它包括模型的建立、求解、分析、檢驗循環(huán)往 返的全過程 , MATLAB 語言正是處理此類問題的很好工具,既能進行數(shù)值求解,又能繪制有關曲線,非常 方便實用。關鍵詞

2、MATLAB語言 數(shù)學建模 數(shù)學模型一、問題的提出應用數(shù)學去解決各類實際問題時,建立數(shù)學模型是十分關鍵的一步,同時也是十 分困難的一步。建立教學模型的過程,是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的 數(shù)學結構的過程。要通過調查、收集數(shù)據資料,觀察和研究實際對象的固有特征和內 在規(guī)律,抓住問題的主要矛盾,建立起反映實際問題的數(shù)量關系,然后利用數(shù)學的理 論和方法去分析和解決問題。 這就需要深厚扎實的數(shù)學基礎, 敏銳的洞察力和想象力, 對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁,是 數(shù)學在各個領域廣泛應用的媒介,是數(shù)學科學技術轉化的主要途徑,數(shù)學建模在科學 技術發(fā)展中的重要

3、作用越來越受到數(shù)學界和工程界的普遍重視, 它已成為現(xiàn)代科技工 作者必備的重要能力之 一 。 Matlab 軟件能將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據可視化以 及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中, 為科學研究、 工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的 解決方案,并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言(如 C 、 Fortran 的編 輯模式,代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。1. 數(shù)學建模的基礎理論(1對數(shù)學模型的介紹我們可以對數(shù)學模型做如下定義:“ 數(shù)學模型是關于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的 而作的一個抽象的、簡化的結構。”具體

4、來說 , 數(shù)學模型就是為了某種目的 , 用字母、數(shù)學 及其它數(shù)學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及 其內在聯(lián)系的數(shù)學結構表達。數(shù)學模型的類別主要有 :1按照人們對原形的認識過程分 , 可分為描述性的和解釋性的數(shù)學模型。 描述性的 型是從特殊到一般,它是從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始 , 最終得到一個數(shù)學模型。 客 觀事物之間量的關系, 通過數(shù)學模型被概括在一個具體的抽象的數(shù)學結構之中。 解釋性 的模型是由一般到特殊,它是從一般的公理系統(tǒng)出發(fā) , 借助于數(shù)學客體 , 對公理系統(tǒng)給出 正確解釋的一種數(shù)學模型。2 按照模型的應用領域分 , 可分為人口模型、 交通模型

5、、 電氣系統(tǒng)模型、 通信系統(tǒng)模型、 機電系統(tǒng)模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型、傳染病模型和污 染模型等。3 按照建立模型的數(shù)學方法分,可分為幾何模型,代數(shù)模型,圖論模型,規(guī)劃論模型, 微分方程模型,最優(yōu)化控制模型,信息模型,隨機模型,決策與對策模型,模擬模型等。 4 按照模型的特征分,可分為靜態(tài)和動態(tài)模、確定和隨機模型、離散和連續(xù)模型、線 性和非線性模型等。5 按照對模型結構了解的程度分,有所謂白箱模型、灰箱模型和黑箱模型, 它們分別意味著人們對原型的內在機理了解清楚、不太清楚和不清楚。2. 對數(shù)學建模的介紹數(shù)學建模是指對現(xiàn)實世界的一特定對象 , 為了某特定目的 , 做出

6、一些重要的簡化和假 設 , 運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結構 , 用它來解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài) , 預測對象的 未來狀況 , 提供處理對象的優(yōu)化決策和控制 , 設計滿足某種需要的產品等。數(shù)學建模的一般過程如下 :1 明確問題明確問題即建模的準備階段 , 要建立現(xiàn)實問題的數(shù)學模型 , 第一步是要對解決的問題有 一個明確清晰的的提法 , 通常我們遇到的某個實際問題 , 在開始階段是比較模糊的 , 又帶 實際背景 , 因此在建模前必須對問題進行全面深入細致的了解和調查 , 查閱有關的文獻 , 同 時要著手收集有關的數(shù)據 , 收集數(shù)據時事先應考好數(shù)據的整理形式 , 例如利用表格或圖形等。 在這期間還

7、應仔細分析已有的數(shù)據和條 件 , 使問題進一步明確化 , 使我們要更好地抓住問題的本質及特征 ! 為數(shù)學建模打下好良好 的基礎。2 進行合理的假設作為課題的原型都是復雜的 , 具體的 , 是質和量、 現(xiàn)象和本質、 偶然和必然的統(tǒng)一體。 這 樣的原型如果不抽象和簡化 , 人們對其認識是困難的 , 也是很難把握它的本質屬性 , 而建模 假設就是根據建模的目的對模型進行抽象 , 簡化。 把那些反映問題本質屬性的形態(tài) , 量及其 關系抽象出來 , 簡化掉那些非本質的因素 ,使之擺脫原型的具體復雜形態(tài) !, 形成對建模有用的信息資源和前提條件。一般模型假設遵從以下原則 :目的性原則 :從原型中抽象出與建

8、模目的有關的因素 , 簡化掉無關的因素或關系不大的因素。簡明性原則 :所給的假設條件要簡單 , 精確 , 有利于構造模型。真實性原則 :設條款要符合情理 , 簡化帶來的誤差應滿足實際問題所允許的范圍內。全面性原則 :在對事物原型本身作出的假設的同時 , 還要給出原型所處的環(huán)境條件。3 構造模型在建模的假設的基礎上 , 進一步分析建模的假設的條款 , 首先區(qū)分那些是常量 , 哪些 是變量 , 哪些已知 , 然后查出各種量所處的位置、 作用和它們之間的關系 , 選擇恰當?shù)臄?shù)學工 具和構造模型的方法對其進行表征 , 構造出刻劃實際問題的數(shù)學模型 , 這里要注意兩點 :其 一 . 構造一具體的問題的模

9、型是要盡可能地簡單的模型 , 然后把它與實際問題進行比較 , 再 把其次要的因素加進去 , 逐漸逼近現(xiàn)實來修改模型 , 使之趨于完善。 其二 :要善于借鑒已有 的數(shù)學模型 , 許多的實際問題 , 盡管現(xiàn)象和背景都不同卻有相同的模型。4 模型求解不同的模型要用到不同數(shù)學工具求解,如可以采用解方程,畫圖形證明定理、邏輯運 算、 數(shù)值運算等傳統(tǒng)的方法和近代的數(shù)學方法, 建模發(fā)展到現(xiàn)代多數(shù)場合的模型必須依靠 電子計算機的數(shù)值求解。5 模型的檢驗與修正建立數(shù)學模型的目的在于解決實際問題。 因此必須把模型解得的結果返回到實際問 題, 如果模型的結果與實際問題狀況相符合,表明模型經檢驗是符合實際問題的,相反

10、則 不行,它就不能直接應用于實際問題。 這時數(shù)學模型建立如果沒有問題,就需要考慮建模時關于所假設的是否合理, 檢驗是否忽略了不應該忽略的因素或還保留了不應該保留的因 素。 對假設給出必要的修正, 重復前面的建模過程, 直到使模型能夠反映所給的實際問題。 3. 數(shù)學建模的一般方法1機理分析法從基本物理定律以及系統(tǒng)的結構數(shù)據來推導出模型。比例分析法 -建立變量之間函數(shù)關系的最基本最常用的方法。代數(shù)方法 -求解離散問題 (離散的數(shù)據、符號、圖形 的主要方法。邏輯方法 -是數(shù)學理論研究的重要方法, 對社會學和經濟學等域的實際問題 , 在決策,對策等學科中得到廣泛應用。常微分方程 -解決兩個變量之間的變

11、化規(guī)律,關鍵是建立”瞬時變化率” 的表達式。偏微分方程 -解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。2 數(shù)據分析法從大量的觀測數(shù)據利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學模型。回歸分析法 -用于對函數(shù) f(x的一組觀測值 (xi,fii=1,2, ,n, 確定函數(shù) 的表達式 , 由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據 , 故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。時序分析法 -處理的是動態(tài)的相關數(shù)據 , 又稱為過程統(tǒng)計方法?；貧w分析法 -用于對函數(shù) f(x 的一組觀測值 (xi,fii=1,2, ,n, 確定函數(shù) 的表達式 , 由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據 , 故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。時序分析法 -處理的是動態(tài)的相關數(shù)據 , 又稱為過程統(tǒng)計方法。3仿真

12、和其他方法計算機仿真 (模擬 -實質上是統(tǒng)計估計方法 , 等效于抽樣試驗。 1.離散系統(tǒng) 仿真 -有一組狀態(tài)變量。 2. 連續(xù)系統(tǒng)仿真 -有解析表達式或系統(tǒng)結構圖。 因子試驗法 -在系統(tǒng)上作局部試驗 , 再根據試驗結果進行不斷分析修改 , 求得 所需的模型結構。人工現(xiàn)實法 -基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達到的目標 , 并考慮 到系統(tǒng)有關因素的可能變化 , 人為地組成一個系統(tǒng)。4. 應用 MATLAB 進行數(shù)學建模數(shù)學是在實際應用的需求中產生的 , 我們把遇到的實際問題進行分析 , 發(fā)現(xiàn)其中的可 以用數(shù)學語言來描述的關系或規(guī)律 , 把這個實際問題轉化成一個數(shù)學問題 , 建立了數(shù)學模 型

13、! 。但數(shù)學模型迫切需要一個方便、快捷且功能強大的工具去實現(xiàn)并解決,特別是隨著科 技的進步 , 人們在解決問題的時候常常要用到許多比較復雜的數(shù)學知識和大量的數(shù)據計算 , 這無疑加大了人們解決問題的難度 , 也要耗費更長的時間。而 MATLBA 正是在數(shù)學計算和大 量數(shù)據處理方面具備其它軟件所不具備的優(yōu)勢 , 且操作簡單 , 運算速度快 , 所以應用 MATLBA 進行數(shù)學建模也就大大提高了人們的效率。 而且 MATLBA 還有很強的繪圖功能 , 這就可以使 得模型圖象化 , 使得研究人員對建模成果的優(yōu)劣一目了然 , 容易進行修正與改進。二、簡單數(shù)據作多子圖建模問題問題 :根據表 1數(shù)據作一個多

14、子圖。要求:第一個圖各類網井產油量與年份曲線圖,第二個圖為 0105年各類網井產油量的對 比直方圖, 第三個圖為 03年各類網井產油量的餅圖, 第四個圖為七五井和十五井產油量年 份的雙座標圖。 MATLAB語言來對此例題做以下解析:figure('position' ,50,50,800,650 %在圖形窗口左下角建立橫縱坐標都為 50的,寬度800,高度 650的窗t1=1997:2005;%產生行向量 t1t2=2001:2005;%產生行向量 t2y1= 500.6 442.4 428.6 370.1 343.1;%建立一個行矩陣 y1y2= 354.7 318.0 28

15、0.7 246.6 229.0;%建立一個行矩陣 y2y3=197.4 297 412.8 547.0 579.8 547.5 527.0 492.3 437.0;%建立一個行矩陣 y3y4= 72.3 218.2 297.1 416.1 508.7%建立一個行矩陣 y4subplot(2,2,1%2*2個區(qū)中的 1號區(qū)plot(t2,y1,t2,y2,t1,y3,t2,y4;%繪制二維圖像title(' 各類網井產油量與年份曲線圖 ' ; %標題為各類網井產油量與年份曲線圖legend(' 七五井 ' , ' 八五井 ' , ' 九五井

16、 ' , ' 十五井 ' ,1; %列出圖標t2=2001:2005;%產生行向量 t2y2=500.6 354.7 579.8 72.3 442.4 318.0 547.5 218.2 428.6 280.7 527.0 297.1 370.1 246.6 492.3 437.0 343.1 229.0 437.0 508.4;%建立一個行矩陣 y2subplot(2,2,2%2*2個區(qū)中的 2號區(qū)bar(t2,y2title('0105年各類網井產油量的對比直方圖 ' ; %標題為 0105年各類網井產油量的對比直方圖legend(' 七五井

17、 ' , ' 八五井 ' , ' 九五井 ' , ' 十五井 ' ,1; %列出圖標t3=343.1 229.0 437.0 508.7;%產生行向量 t3subplot(2,2,3%2*2個區(qū)中的 3號區(qū)pie(t3;title('03年各類網井產油量的餅圖 ' ; %標題 '03年各類網井產油量的餅圖legend(' 七五井 ' , ' 八五井 ' , ' 九五井 ' , ' 十五井 ' ,1; %列出圖標t4=2001:1:2005;%產生行向量

18、 t4y1=354.7 318.0 280.7 246.6 229.0;y2=72.3 218.2 297.1 416.1 508.7;%建立一個行矩陣 y1subplot(2,2,4;%2*2個區(qū)中的 4號區(qū)plotyy(t4,y1,t4,y2;%繪制二維圖像title(' 七五井和十五井產油量與年份的雙座標圖 ' ; %標題七五井和十五井產油量與年份的雙座標圖 legend(' 七五井 ' , ' 十五井 ' ; %列出圖標 圖 1三 、計劃問題問題一 . 假設某廠計劃生產甲、乙兩種產品,現(xiàn)庫存主要材料有 A 類 3600公斤, B 類 20

19、00公斤, C 類 3000公斤。每件甲產品需用材料 A 類 9公斤, B 類 4公斤, C 類 3公斤。 每件乙產品,需用材料 A 類 4公斤, B 類 5公斤, C 類 10公斤。甲單位產品的利潤 70元, 乙單位產品的利潤 120元。問如何安排生產,才能使該廠所獲的利潤最大。建立數(shù)學模型:設 x 1 、 x2分別為生產甲、乙產品的件數(shù)。 f 為該廠所獲總潤。max f=70x 1 +120x 2s.t 9x 1 +4x2 36004x 1 +5x2 20003x 1 +10x2 3000x 1 ,x 2 0MATLAB程序如下:f=-70 -120;%建立矩陣 fA=9 4 ;4 5;3

20、 10 ;%建立矩陣 Ab=3600;2000;3000;%建立向量 blb=0 0;%建立矩陣ub=;x,fval,exitflag=linprog(f,A,b,lb,ub%判斷語句 maxf=-fval%給最大值賦值運行結果如圖所示。x =200.0000240.0000fval =-4.2800e+004exitflag =1maxf =4.2800e+004問題二. 某公司有一批資金用于 4個工程項目的投資, 其投資各項目時所得的凈收益 (投入資金锪百分比 如下表: B 和 C 的 投資要大于項目 D 的投資。試確定全文該公司收益最大的投資分配方案。建立數(shù)學模型:設 x 1、 x2 、

21、x3 、x4分別代表用于項目 A 、 B 、 C 、 D 的投資百分數(shù)。max f=0.15x 1 +0.1x2+0.08 x3+0.12 x 4s.t x 1 -x2- x3- x 4 0x 2 + x3- x 4 0x 1 +x2+x3+ x 4 =1xj 0 j=1,2,3,4 將其轉換為標準形式:min z=-0.15x 1 -0.1x2-0.08 x3-0.12 x 4s.t x 1 -x2- x3- x 4 0-x 2 - x3+ x 4 0x 1 +x2+x3+ x4=1xj 0 j=1,2,3,4MATLAB 程序如下:f = -0.15;-0.1;-0.08;-0.12;%建

22、立矩陣A = 1 -1 -1 -10 -1 -1 1;%建立矩陣b = 0; 0;%建立向量Aeq=1 1 1 1;%建立矩陣beq=1;%建立向量lb = zeros(4,1;%建立矩陣x,fval,exitflag = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb%判斷語句 f=-fval%給最大值賦值運行結果如圖所示 :x =0.50000.25000.0000 0.2500fval =-0.1300exitflag = 1f =0.1300問題三 . 運輸問題有 A 、 B 、 C 三個食品加工廠,負責供給甲、乙、丙、丁四個市場。三個廠每天生產食 品箱數(shù)上限如下表: 建立數(shù)學模型:

23、設 a i j為由工廠 i 運到市場 j 的費用, x i j 是由工廠 i 運到市場 j 的箱數(shù)。 b i 是工廠 i的產量, d j 是市場 j 的需求量。T3, 2, 141=i b xij ij4, 3, 2, 131=j d xi jijx i j 0MATLAB 程序如下:A=2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1;%建立矩陣f=A(:;%建立矩陣 = = =3 1 41i j ijijx a fB= 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1;%建立矩陣D=1 1 1 0 0

24、0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;%建立矩陣b=60;40;50;%建立向量d=20;35;33;34;%建立矩陣lb=zeros(12,1;%建立矩陣x,fval,exitflag=linprog(f,B,b,D,d,lb %用于 LP 的求解函數(shù) 結果:x =0.000020.00000.000035.00000.00000.00000.00000.000033.00000.000018.468215.5318fval =122.0000exitflag =1

25、四、二次規(guī)劃模型問題一 . 求解:二次規(guī)劃問題min f(x= x 1 -3x2+3x12+4x22-2x 1 x 2s.t 2x 1 +x 2 2-x 1 +4x 2 3MATLAB 程序如下:f=1;-3%建立矩陣H=6 -2;-2 8%建立矩陣A=2 1;-1 4%建立矩陣b=2;3 %建立向量X,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b %使用 quadprog 函數(shù)來求值 結果:X =-0.04550.3636fval =-0.5682 exitflag =1問題二 . 求解:二次規(guī)劃問題min +x 1 2+2x22-2x1x2-4x 1-12x 2x 1 +x

26、 2 2-x 1 +2x 2 22x 1 +x 2 30 x 1 , 0 x 2MATLAB 程序如下:H=2 -2;-2 4;%建立矩陣f=-4;-12;%建立矩陣A=1 1;-1 2;2 1;%建立矩陣b=2;2;3;%建立向量lb=zeros(2,1;%建立矩陣x,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b,lb%使用 quadprog 函數(shù)來求值 結果:x =0.66671.3333fval =-16.4444exitflag =1五、 多目標規(guī)劃模型問題一 . 某鋼鐵廠準備用 5000萬用于 A 、 B 兩個項目的技術改造投資。設 x 1 、 x2分別表示分配給項目

27、 A 、 B 的投資。據專家預估計,投資項目 A 、 B 的年收益分別為 70%和 66%。同 時,投資后總的風險損失將隨著總投資和單項投資的增加而增加,已知總的風險損失為0.02x 1 2+0.01x22+0.04(x1+x22,問應如何分配資金才能使期望的收益最大,同時使風險損失為最小建立數(shù)學模型max f 1 (x=70x 1+66x 2min f 2 (x= 0.02x12+0.01x22+0.04(x 1+x 2 2x 1 +x2 50000 x1, 0 x2 線性加權構造目標函數(shù):max f=0.5f 1 (x 0.5f 2(x化最小值問題:min (-f=- 0.5f 1 (x +0.5f 2(x首先編輯目標函數(shù) M 文件 ff11.mfunction f=ff11(x %建立函數(shù)f=-0