名師一號(hào)人教A高中數(shù)學(xué)選修 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 單元同步測(cè)試

1、第三章測(cè)試題(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s1tt2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是()A7米/秒B5米/秒C6米/秒 D4米/秒答案B2若二次函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且它的導(dǎo)數(shù)yf(x)的圖象是經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的一條直線，則yf(x)的圖象頂點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析設(shè)f(x)ax2bxa(x2x)a(x)2，頂點(diǎn)(，)，f(x)2axb過(guò)第一、二、三象限的一條直線，b>0，a>0，&l

2、t;0，<0，頂點(diǎn)在第三象限答案C3曲線yx32x4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為()A30° B45°C60° D120°解析y3x22，y|x13×1221，傾斜角為45°.答案B4已知函數(shù)f(x)x22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，則a等于()A B.C D或解析f(x)(x1)24.f(x)的開口向下，對(duì)稱軸為x1，當(dāng)x1，f(1)4>，a>1.f(x)在a,2是減函數(shù)f(a)，解得a，或a(舍去)答案C5已知函數(shù)f(x)x3的切線的斜率等于3，則這樣的切線()A有1條 B有2條C多于2條 D不確定解析令f

3、(x)3x23，得x±1，故應(yīng)有2條答案B6若f(x)x22x4lnx，則f(x)>0的解集為()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析f(x)2x2>0，x>0，2x22x4>0，即x2x2>0.解得x<1或x>2.又x>0，x>2.答案C7函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象為()答案D8定義在(0，)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)·x<f(x)，且f(2)0，則>0的解集為()A(0,2) B(0,2)(2，)C(2，) D解析<

4、0，為減函數(shù)，f(2)0，0.>0的解為0<x<2，故選A.答案A9下列圖象中有一個(gè)是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的導(dǎo)數(shù)f(x)的圖象，則f(1)()A. BC. D或解析f(x)x22axa21(xa)21，a0，圖象應(yīng)為(3)此時(shí)f(0)a210，又a>0，a<0，a1.f(1).答案B10已知函數(shù)f(x)xsinx，若x1，x2，且f(x1)f(x2)>0，則下列不等式中正確的是()Ax1>x2 Bx1<x2Cx1x2>0 Dx1x2<0解析易知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f(x)1cosx0，所以函數(shù)f(x)

5、為增函數(shù)，由f(x1)f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x1)>f(x2)x1>x2x1x2>0.答案C11曲線yx3上一點(diǎn)B處的切線l交x軸于點(diǎn)A，OAB(O是原點(diǎn))是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，則切線l的傾斜角為()A30° B45°C60° D120°解析設(shè)B(x0，x)，由于y3x2，故切線l的方程為yx3x(xx0)，令y0得點(diǎn)A(，0)，由|OA|AB|，得()2(x0)2(x0)2，當(dāng)x00時(shí)，題目中的三角形不存在，故得x，故x，直線l的斜率為3x，故直線l的傾斜角為60°.答案C12若a，b在區(qū)間

6、0, 上取值，則函數(shù)f(x)ax3bx2ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的概率是()A. B.C. D1解析易得f(x)3ax22bxa，函數(shù)f(x)ax3bx2ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件是a0，且其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，即a0，且4b212a2>0，又a，b在區(qū)間0，上取值，則a>0，b>a，點(diǎn)(a，b)滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中正方形區(qū)域的面積為3，陰影部分的面積為，故所求的概率是.答案C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13已知曲線yx21在xx0點(diǎn)處的切線與曲線y1x3在xx0點(diǎn)處的切線互相平行，則x0的值為_解析

7、yx21的導(dǎo)數(shù)為y2x，y1x3的導(dǎo)數(shù)為y3x2，由題可知2x03x，x00，或x0.答案0或14已知函數(shù)f(x)x3ax在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)3x2a，由題可知f(x)0有兩個(gè)不等的根，a<0.答案(，0)15若f(x)3x26x，且f(0)4，則不等式f(x)>0的解集是_解析由題可設(shè)f(x)ax3bx2cxd，f(x)3ax22bxc，f(x)x33x24x3x24(x21)x2(x1)4(x1)(x1)(x1)(x2)2，f(x)>0的解為x>1，且x2.答案x|x>1，且x216已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞減，則

8、實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由題可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞減，所以其導(dǎo)函數(shù)f(x)在(2，)上小于零，解得a>6.答案(6，)三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(10分)求函數(shù)f(x)x33x26x2，x1,1的最值解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23>0，f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f(x)在1,1上為增函數(shù)故x1時(shí)，f(x)min12；x1時(shí)，f(x)max2.即f(x)的最小值為12，最大值為2.18(12分)設(shè)函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax8(aR)，若f(x)在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)，

9、求a的取值范圍解f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)，令f(x)0，得x1a，x21.(1)當(dāng)a<1時(shí)，則x<a或x>1時(shí)，f(x)>0，f(x)在(，a)和(1，)上是增函數(shù)故當(dāng)0a<1時(shí)，f(x)在(，0)上是增函數(shù)(2)當(dāng)a1時(shí)，則x<1或x>a時(shí)，f(x)>0.f(x)在(，1)和(a，)上是增函數(shù)從而f(x)在(，0)上是增函數(shù)綜上可知，當(dāng)a0，)時(shí)，f(x)在(，0)上是增函數(shù)19(12分)已知函數(shù)f(x)x34xm在區(qū)間(，)上有極大值.(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)的極小值解f(x)x24(x2)

10、(x2)令f(x)0得，x2，或x2.故f(x)的增區(qū)間為(，2)和(2，)，減區(qū)間為(2,2)(1)當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極大值，故f(2)8m，m4.(2)由(1)得f(x)x34x4又當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值f(2).20(12分)已知某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C25 000200xx2(元)(1)要使平均成本最低應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解(1)設(shè)平均成本為y，則y200，y.令y0，得x1 000.當(dāng)x<1 000時(shí)，y<0；當(dāng)x>1 000時(shí)，y>0.當(dāng)x1 000時(shí)，y取得極小值，也是最小值因此，要

11、使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品(2)設(shè)利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)，則L(x)500x300x25 000，L(x)300.令L(x)0，得x6 000.當(dāng)x<6 000時(shí)，L(x)>0；當(dāng)x>6 000時(shí)，L(x)<0，當(dāng)x6 000時(shí)，L(x)取得極大值，也是最大值因此，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)6 000件產(chǎn)品21(12分)已知函數(shù)f(x)x3x22ax3，g(a)a35a7.(1)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間2,0上不單調(diào)，且x2,0時(shí)，不等式f(x)<g(a)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x3x22x3，定義

12、域?yàn)镽，f(x)x2x2(x2)(x1)令f(x)>0，得x<1，或x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(2，)(2)f(x)x2(a2)x2a(xa)(x2)令f(x)0，得x2，或xa.函數(shù)f(x)在區(qū)間2,0上不單調(diào)，a(2,0)，即0<a<2.又在(2，a)上，f(x)>0，在(a,0)上，f(x)<0，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x2(2，a)a(a,0)0f(x)0f(x)f(2)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減f(0)f(x)在2,0上有唯一的極大值點(diǎn)xa.f(x)在2,0上的最大值為f(a)當(dāng)x2,0時(shí)，不等式f(x)<g(a)恒成立，等價(jià)于f(a)<g(a)a3×a22a23<g(a)a3a23<a35a7.a25a4<0，解得1<a<4.綜上所述，a的取值范圍是(1,2)22(12分)已知函數(shù)f(x)x2alnx(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x>1時(shí)，x2lnx<x3是否恒成立，并說(shuō)明理由解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由題意得f(x)x(x>0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)x.當(dāng)0<x<