六方最密堆積中正八面體空隙和正四面體空隙

1、六方最密堆積中正八面體空隙和正四面體空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)等徑圓球緊密排列形成密置層，如圖所示。在密置層內(nèi)，每個(gè)圓球周圍有六個(gè)球與它相切。相切的每三個(gè)球又圍出一個(gè)三角形空隙。仔細(xì)觀察這些三角形空隙，一排尖向上，接著下面一排尖向下，交替排列。而每個(gè)圓球與它周圍的六個(gè)球圍出的六個(gè)三角形空隙中，有三個(gè)尖向上，另外三個(gè)尖向下。如圖所示，我們在這里將尖向上的三角形空隙記為B，尖向下的三角形空隙記為C。第二密置層的球放在B之上，第三密置層的球投影在C中，三層完成一個(gè)周期。這樣的最密堆積方式叫做立方最密堆積（ccp，記為 A1型），形成面心立方晶胞。若第三密置層的球投影與第一密置層的球重合，兩層完成一個(gè)周期。這

2、樣的最密堆積方式叫做六方最密堆積（hcp，記為A3型），形成六方晶胞，如圖所示。在這兩種堆積方式中，任何四個(gè)相切的球圍成一個(gè)正四面體空隙；另外，相切的三個(gè)球如果與另一密置層相切的三個(gè)球空隙對應(yīng)，它們六個(gè)球?qū)梢粋€(gè)正八面體空隙。也就是說，圍成正八面體空隙的這六個(gè)球可以分為相鄰的兩層，每層的正三角形中心的連線垂直于正三角形所在的密置層，參看下圖，黑色代表的不是球而是正八面體的中心。在這兩種最密堆積方式中，每個(gè)球與同一密置層的六個(gè)球相切，同時(shí)與上一層的三個(gè)球和下一層的三個(gè)球相切，即每個(gè)球與周圍十二個(gè)球相切（配位數(shù)為12）。中心這個(gè)球與周圍的球圍出八個(gè)正四面體空隙，平均分?jǐn)偟矫總€(gè)正四面體空隙的是八分

3、之一個(gè)球。這樣，每個(gè)正四面體空隙分?jǐn)偟降那驍?shù)是四個(gè)八分之一，即半個(gè)。中心這個(gè)球周圍還圍出六個(gè)八面體空隙，它平均分?jǐn)偟矫總€(gè)正八面體空隙的是六分之一個(gè)球。這樣，每個(gè)正八面體空隙分?jǐn)偟降那驍?shù)是六個(gè)六分之一，即一個(gè)?？傊@兩種最密堆積中，球數(shù) : 正八面體空隙數(shù) : 正四面體空隙數(shù) = 1:1:2 。面心立方最密堆積（ccp， A1型）中正八面體空隙和正四面體空隙的問題比較簡單、直觀。下面我們集中討論六方最密堆積（hcp，A3型）中正八面體空隙和正四面體空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。在六方最密堆積中畫出一個(gè)六方晶胞，如下面兩幅圖所示。 平均每個(gè)六方晶胞中有兩個(gè)正八面體空隙，如下面兩幅圖所示?？障吨行牡姆?jǐn)?shù)坐標(biāo)

4、分別為：（2/3,1/3,1/4），（2/3,1/3,3/4）。 對于正四面體空隙，存在這樣一個(gè)問題，即正四面體的中心到它的底面的距離是它的高的多少倍？解法一（分體積法）：以正四面體的中心O為頂點(diǎn)，以正四面體的四個(gè)面為底面將正四面體平均分為四個(gè)等體積的小三棱錐，小三棱錐的高為OH，則有：即正四面體的中心到底面的距離是它的高的四分之一。解法二（立方體法）： 將正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)放在立方體相隔的四個(gè)頂點(diǎn)。設(shè)立方體的邊長為1，則正四面體的邊長為，正四面體的高為。由于立方體的體對角線為，所以正四面體的中心（即立方體的中心）到它的底面的距離與它的高之比為：解法三（外接球法）：如圖，設(shè)正四面體的邊長為1，

5、則即正四面體的中心到底面的距離是它的高的四分之一。解法四（正弦定理法）：如圖，正四面體中心到兩個(gè)頂點(diǎn)之間的夾角為109.47，等腰三角形的另兩個(gè)角為35.27。根據(jù)正弦定理即可求解。下面我們來找出六方最密堆積一個(gè)晶胞中的所有正四面體。 六方晶胞內(nèi)中間層的一個(gè)球與上面三個(gè)球和下面三個(gè)球各圍成一個(gè)正四面體空隙，空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)分別是：（1/3,2/3,1/8），（1/3,2/3,7/8）。另外在每個(gè)棱上，晶胞頂點(diǎn)的八個(gè)球分別與中間層的球圍成正四面體空隙，這些空隙平均只有四分之一在這個(gè)晶胞內(nèi)，八個(gè)四分之一共為兩個(gè)?？障吨行牡姆?jǐn)?shù)坐標(biāo)分別是：（0,0,3/8），（0,0,5/8）。四個(gè)坐標(biāo)說明正四面體空隙共有四個(gè)。用體積模型示意圖來看各種空隙也是很有意思的。請看左圖。在六方硫化鋅中，硫離子呈六方密堆積，鋅離子填入空隙。鋅離子填入的是什么空隙？（正四面體還是正八