雙曲線知識點(diǎn)及題型總結(jié)(學(xué)生版)

1、雙曲線知識點(diǎn)及題型總結(jié)1 雙曲線定義：到兩個定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時，動點(diǎn)軌跡不存在.動點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲

2、線的準(zhǔn)線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.5.曲線的簡單幾何性質(zhì)=1（a0，b0）范圍：|x|a，yR對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（a，0），A2（a，0）漸近線：若雙曲線方程為漸近線方程若

3、漸近線方程為雙曲線可設(shè)為若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=x (什么是共軛雙曲線?)準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=，兩準(zhǔn)線之距為焦半徑：，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是6曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.7曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，

4、可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.8雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.9線與橢圓相交的弦長公式 若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；高考題型解析題型一：雙曲線定義問題1.“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件2.若，則“”是“方程表示雙曲線”的( )A.充分不必要條件. B.必

5、要不充分條件. C.充要條件. D.既不充分也不必要條件.3.給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上. _.4.過雙曲線x2-y2=8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PF2Q的周長是 .題型二：雙曲線的漸近線問題1.雙曲線=1的漸近線方程是( )A. y=±x B.y=

6、±x C.y=±x D.y=±x2.過點(diǎn)（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是( )A.=1 B.=1 C.=1 D.=1題型三：雙曲線的離心率問題1已知雙曲線 (a0,b0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF1=4PF2,則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）ABCD2.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,那么雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. 2 D. 33.過雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則

7、雙曲線M的離心率是 ( )A. B. C. D. 4.在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為( )A. B. 2 C . D. 25.已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+) D.(2,+)題型四：雙曲線的距離問題1.設(shè)P是雙曲線=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3，則|PF2|等于( )A.1或5 B.6 C.7 D.9

8、2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是A.(,) B. (-,) C. , D. -,3.已知圓C過雙曲線=1的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_.題型五：軌跡問題1.已知橢圓x2+2y2 =8的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為橢圓上任一點(diǎn)。AP是AF1F2的外角平分線，且 =0.則點(diǎn)P的軌跡方程是 . 2.雙曲線x2y2 =4的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為雙曲線上任一點(diǎn)。AP是F1AF2的平分線，且 =0.則點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分 C.圓的一部分 D.拋物線的一部分 3求與

9、圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程高考例題1.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P、Q為右支上的兩點(diǎn),直線PQ過,且傾斜角為,則的值為 ( )A B 8 C D 隨的大小變化2.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交曲線于A、B兩點(diǎn),若則這樣的直線存在 ( )A 0條 B 1條 C 2條 D 3條3. 直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)是 ( )A 0個 B 1個 C 2個 D 3個4. P為雙曲線上一點(diǎn),為一個焦點(diǎn),以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系為 ( )A 內(nèi)切 B 外切 C 內(nèi)切或外切 D 無公共點(diǎn)或相交5. 設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足,則的面積為 ( )A 1 B C 2 D 6. 設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P在雙

10、曲線上,當(dāng)?shù)拿娣e為1時,的值為( )A 0 B 1 C D 27.過點(diǎn)A（0，2）可以作_條直線與雙曲線x21有且只有一個公共點(diǎn)過點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線1只有一個交點(diǎn)的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條8.已知A（3，2），M是雙曲線H：上的動點(diǎn)，F(xiàn)2是H的右焦點(diǎn)，求的最小值及此時M的坐標(biāo)。9. 已知雙曲線C：，一條長為8的弦AB兩端在C上運(yùn)動，AB中點(diǎn)為M，則距軸最近的M點(diǎn)的坐標(biāo)為 。10.P為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為_11.直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）是否

11、存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出的值。若不存在，說明理由。12.已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線kx1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。（）求的取值范圍；（）如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使求。練習(xí)題1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為F(，0)，直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）A=1 B =1 C=1 D=12.雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)為M，兩個焦點(diǎn)為F1、F2，F(xiàn)1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.3、已知雙曲線1（a0，b0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，OAF

12、的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（ ）A30ºB45ºC60ºD90º4、已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是A B C D5、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD6. 直線yx3與曲線=1的交點(diǎn)的個數(shù)是（ ） （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個7.若雙曲線x2y2=1右支上一點(diǎn)P(a, b)到直線y=x的距離是，則ab的值為（ ）。 （A） （B） （C）或 （D）2或28.已知點(diǎn)F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2,1)9.設(shè)P為雙曲線y21上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是10.求與圓A：（x+5）2+y2=49和圓B：（x5）2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡