常微分方程教案(ppt)

1、常微分方程課件 制作者：閆寶強，傅希林，劉衍勝，范進軍，勞會學，張艷燕第一章 初等積方法第五章 定性與穩(wěn)定性概念第三章 線性微分方程第二章 基本定理第四章 線性微分方程組第六章 一階偏微方程初步第1講微分方程與解微分方程微分方程什么是微分方程？它是怎樣產生的？這是首先要回答的問題. 300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學，是人類科學史上劃時代的重大發(fā)現，而微積分的產生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關.這是因為，微積分產生的一個重要動因來自于人們探求物質世界運動規(guī)律的需求.一般地，運動規(guī)律很難全靠實驗觀測認識清

2、楚，因為人們不太可能觀察到運動的全過程.然而，運動物體(變量)與它的瞬時變化率(導數)之間，通常在運動過程中按照某種己知定律存在著聯系，我們容易捕捉到這種聯系，而這種聯系，用數學語言表達出來，其結果往往形成一個微分方程.一旦求出這個方程的解，其運動規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會使你看到微分方程是表達自然規(guī)律的一種最為自然的數學語言. 例1 物體下落問題設質量為m的物體，在時間t=0時，在距地面高度為H處以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物體下落時距離與時間的關系.解 如圖1-1建立坐標系，設為t時刻物體的位置坐標.于是物體下落的速度為 加速度為 質量為m的物體，在下落的任一時

3、刻所受到的外力有重力mg和空氣阻力，當速度不太大時，空氣阻力可取為與速度成正比.于是根據牛頓第二定律F = ma (力=質量加速度)可以列出方程 (1.1)其中k 0為阻尼系數，g是重力加速度.(1.1)式就是一個微分方程，這里t是自變量，x是未知函數，是未知函數對t導數.現在，我們還不會求解方程(1.1)，但是，如果考慮k=0的情形，即自由落體運動，此時方程(1.1)可化為（1.2） 將上式對t積分兩次得(1.3)一般說來，微分方程微分方程就是聯系自變量、未知函數以及未知函數的某些導數之間的關系式.如果其中的未知函數只與一個自變量有關，則稱為常微分常微分方程方程；如果未知函數是兩個或兩個以上

4、自變量的函數，并且在方程中出現偏導數，則稱為偏微分偏微分方程方程.本書所介紹的都是常微分方程，有時就簡稱微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程 (1.4)(1.5) (1.6) (1.7) 在一個常微分方程中，未知函數最高階導數的階數，稱為方程的階方程的階.這樣，一階常微分方程的一般形式可表為(1.8)如果在(1.8)中能將y解出，則得到方程 (1.9)(1.10)或(1.8)稱為一階隱式方程,(1.9)稱為一階顯式方程，(1.10)稱為微分形式的一階方程.n 階隱式方程階隱式方程的一般形式為（1.11）n 階顯式方程階顯式方程的一般形式為(1.12)在方程(1.11)中，如果左端函數F

5、對未知函數y和它的各階導數y,y,y(n)的全體而言是一次的，則稱為線性常微分方程，否則稱它為非線性常微分方程.這樣，一個以y為未知函數，以x為自變量的n階線性微分方程具有如下形式： 顯然，方程(1.4)是一階線性方程；方程(1.5)是一階非線性方程；方程(1.6)是二階線性方程；方程(1.7)是二階非線性方程.通解與特解通解與特解（1.13）微分方程的解就是滿足方程的函數，可定義如下.定義定義1. 設函數 在區(qū)間I上連續(xù)，且有直到n階的導數.如果把 代入方程(1.11)，得到在區(qū)間I上關于x的恒等式， 則稱 為方程(1.11)在區(qū)間I上的一個解.這樣，從定義1.1可以直接驗證：1. 函數y

6、= x2+C是方程(1.4)在區(qū)間(-，+)上的解，其中C是任意的常數.2. 函數是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中C是任意常數.又方程(1.5)有兩個明顯的常數解y =，這兩個解不包含在上述解中. 2. 函數 是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中C是任意常數.又方程(1.5)有兩個明顯的常數解y =，這兩個解不包含在上述解中.3. 函數 是方程(1.6)在區(qū)間(-，+)上的解，其中和是獨立的任意常數. 4. 函數 是方程(.)在區(qū)間(-，+)上的解，其中和是獨立的任意常數.這里，我們僅驗證3，其余留給讀者完成.事實上，在(-，+)上有事實上，在(-，+)上有所以在（

7、，）上有從而該函數是方程(1.6)的解.從上面的討論中，可以看到一個重要事實，那就是微分方程的解中可以包含任意常數，其中任意常數的個數可以多到與方程的階數相等，也可以不含任意常數.我們把n階常微分方程(1.11)的含有n個獨立的任意常數C1，C2，Cn的解 ，稱為該方程的通解通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常數，則稱它為特解特解.由隱式表出的通解稱為通積分通積分，而由隱式表出的特解稱為特積分特積分. 由上面的定義，不難看出，函數和 分別是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函數 是方程(1.7)的通積分，而函數y =是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可對通解中的任意常數以

8、定值確定，這種確定過程，需要下面介紹的初始值條初始值條件件，或簡稱初值條件初值條件.初值問題初值問題例 1中的函數(1.3)顯然是方程(1.2)的通解，由于C_1 和C_2是兩個任意常數，這表明方程(1.2)有無數個解，解的圖像見下面的圖a和圖b所示.而實際經驗表明，一個自由落體運動僅能有一條運動軌跡.產生這種多解性的原因是因為方程(1.2)所表達的是任何一個自由落體，在任意瞬時t所滿足的關系式，并未考慮運動的初始狀態(tài)，因此，通過積分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一個自由落體的運動規(guī)律.顯然，在同一初始時刻，從不同的高度或以不同初速度自由下落的物體，應有不同的運動軌跡.為了求解滿足初值條

9、件的解，我們可以把例1中給出的兩個初始值條件，即初始位置x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得于是，得到滿足上述初值條件的特解為 (1.14)它描述了初始高度為H，初始速度為v0的自由落體運動規(guī)律.求微分方程滿足初值條件的解的問題稱為初值問題初值問題. 于是我們稱(1.14)是初值問題 的解.對于一個n 階方程，初值條件的一般提法是其中x_0是自變量的某個取定值，而是相應的未知函數及導數的給定值.方程(1.12)的初值問題常記為 (1.16 (1.15)(1.16)初值問題也常稱為柯西柯西（Cauchy）問題問題.對于一階方程，若已求出通解 ，只要把初值條件代入通解中，得到方程從中解出C

10、，設為C_0，代入通解，即得滿足初值條件的解 .對于n 階方程，若已求出通解 后，代入初值條件(1.15)，得到n個方程式 (1.17)如果能從(1.17)式中確定出 ，代回通解，即得所求初值問題的 . 例2 求方程的滿足初值條件 的解.解 方程通解為求導數后得將初值條件代入，得到方程組解出C_1和C_2得故所求特解為積分曲線積分曲線 為了便于研究方程解的性質，我們常常考慮解的圖象.一階方程(1.9)的一個特解的圖象是xoy平面上的一條曲線，稱為方程(1.9)的積分曲線積分曲線，而通解的圖象是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族積分曲線族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族拋物曲線

11、.而是過點(0，0)的一條積分曲線.以后，為了敘述簡便，我們對解和積分曲線這兩個名詞一般不加以區(qū)別.對于二階和二階以上的方程，也有積分曲線和積分曲線族的概念，只不過此時積分曲線所在的空間維數不同，我們將在第4章詳細討論.最后，我們要指出，本書中按習慣用代替而分別代表 本節(jié)要點：本節(jié)要點：1常微分程的定義，方程的階，隱式方程，顯式方程，線性方程，非線性方程.2常微分方程解的定義，通解，特解，通積分，特積分.3初值問題及初值問題解的求法.4解的幾何意義，積分曲線.第2講變量可分離方程 1什么是變量可分離方程？什么是變量可分離方程？ （1.18）或（1.19）1什么是變量可分離方程？什么是變量可分離

12、方程？ 1.2.1 顯式變量可分離方程的解法顯式變量可分離方程的解法.1. 在方程(1.18)中，假設g(y)是常數，不妨設g(y)=1.此時方程(1.18)變?yōu)?(1.20)設f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，那么，求方程(1.20)的解就成為求f(x)的原函數(不定積分)的問題.于是由積分上限所確定的函數(1.21) 就是方程(1.21)的通解，其中C是一個任意常數，是一個固定數，是自變量.2.假設g(y)不是常數，仍設f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，而g(y)在 區(qū)間上連續(xù).若 y=y(x) 是方程(1.18)的任意一個解，且滿足y(x_0)=y_0，則由解的定義，有恒等式(1.22)假設

13、g(y)0，于是可用分離變量法分離變量法把方程寫成 (1.23)將上式兩端積分，得到恒等式(1.24)上面的恒等式表明，當g(y)0時，方程(1.18)的任意一個解必定滿足下面的隱函數方程隱函數方程(1.25)反之，若 是隱函數方程(1.25)的解，則有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的兩邊對x求導數，就推出(1.23)成立，從而(1.22)成立，這就表明了隱函數方程(1.25)的解也是微分方程(1.18)的解.在具體求解方程時，往往把(1.24)寫成不定積分形式 （1.26）由上面的證明可知，當g(y)0時，微分方程(1.18)與隱函數方程(1.26)是同解方程，即若由(1.26)解出

14、，則它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的隱式表達式，所以(1.26)亦稱為方程(1.18)的通積分通積分.在求解過程中，對于通積分(1.26)應該盡量把它演算到底，即用初等函數表達出來，但是，并不勉強從其中求出解的顯式表達式.如果積分不能用初等函數表達出來，此時我們也認為微分方程(1.18)已經解出來了，因為從微分方程求解的意義上講，留下的是一個積分問題，而不是一個方程問題了.3. 若存在，使，則易見是方程(1.18)的一個解，這樣的解稱為常數解常數解.Y(x)=y_01.2.2 微分形式變量可分離方程的解法微分形式變量可分離方程的解法方程是變量可分離方程的微分形式表達式.這時，x

15、和y在方程中的地位是“平等”的，即x與y都可以被認為是自變量或函數.在求常數解時，若 ，則y=y_0為方程(1.19)的解.同樣，若 ，則x=x_2也是方程(1.19)的解.當時 ，用它除方程(1.19)兩端，分離變量，得上式兩端同時積分，得到方程(1.19)的通積分本節(jié)要點：1變量可分離方程的特征2分離變量法的原理：微分方程（1.18）與分離變量后的積分方程（1.26）當 時是同解方程3變量可分離方程一定存在常數解y=y_0, 并且滿足 第3講齊次微分方程1什么是齊次方程？什么是齊次方程？上一節(jié)，介紹了變量可分離方程的解法.有些方程，它們形式上雖然不是變量可分離方程，但是經過變量變換之后，就

16、能化成變量可分離方程，本節(jié)介紹兩類可化為變量可分離的方程.如果一階顯式方程（1.9）的右端函數可以改寫為的函數，那么稱方程(1.9)為一階齊次微分方程.所以它們都是一階齊次方程因此，一階齊次微分方程可以寫為 (1.27)1.3.1 齊次方程的解法齊次方程的解法方程(1.27)的特點是它的右端是一個以為變元的函數，經過如下的變量變換，它能化為變量可分離方程.令 則有代入方程(1.27)得（1.28）方程(1.28)是一個 變量可分離方程，當 時，分離變量并積分，得到它的通積分 （1.29）或即其中以代入，得到原方程(1.27)的通積分 若存在常數，使 ，則 ，是(1.28)的解，由 ，得 是原方

17、程(1.27)的解.在一般情況下，如何判斷方程(1.9)是齊次方程呢? 這相當于考慮，什么樣的二元函數 能化成形狀為 的函數.下面我們說明零次齊次函數具有此性質.所謂 對于變元x和y是零次齊次式，是指對于任意 的常數，有恒等式 因此，令 ，則有 因此，所謂齊次方程，實際上就是方程(1.9)的右端函數是一個關于變元x，y的零次齊次式. 如果我們把齊次方程稱為第一類可化為變量分離的方程，那么我們下面要介紹第二類這種方程.1.3.2 第二類可化為變量可分離的方程第二類可化為變量可分離的方程形如 (1.30)的方程是第二類可化為變量可分離的方程.其中，顯然，方程(1.30)的右端函數，對于x，y并不是

18、零次齊次函數，然而函數 （1.31）則為零次齊次函數.事實上，我們有 下面我們將通過變量變換把(1.30)中的C1及C2消去，將方程(1.30)的右端函數化成(1.31)的形式，從而把方程(1.30)化成齊次方程.令 ( 為待定常數)則 代入(1.30)得選取 使得(1.32)(1.32)是一個線性非齊次方程組，它的解與系數行列式有關.如果 則(1.32)有唯一組解，把 取為這組解，于是(1.30)就化成齊次方程求出這個方程解，并用變換代回，即可得(1.30)的解.上面的作法其實就是解析幾何中的坐標平移.當時，直線與直線相交于一點，將二式聯立求得交點( )，再作坐標平移，就把原點移到( ).又

19、由于在坐標平移變換 下有 成立，這樣(1.30)就變成齊次方程了.如果 ，則(1.32)沒有唯一組解，上述方法不可行，下面我們要說明，此時方程(1.30)也可化為變量可分離方程求解.實際上由 ，有 成立. 下面僅以 來討論，(以 討論相同). 1) ，此時(1.30)為令，則得到關于z的變量可分離方程2) 中至多有一個為零.當 時，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成為 這是一個變量可分離方程.3) 當 且 時，由(1.33)有于是 ，原方程(1.30)成為 令 則 代入上面方程，得到一個關于z的方程這也是一個變量可分離方程 本節(jié)要點：1一階顯式方程 是齊次方程右端函數 是一個零次齊次函數

20、2齊次方程解法的本質是，方程（1.27）通過變量替換化為變量可分離方程求解3方程（1.30）的解法是齊次方程解法的擴展，把一個不是齊次方程的方程，選通過變量替 換化成齊次方程，再按齊次方程求解 1.4 一階線性微分方程 本節(jié)討論一階線性方程的解法以及某些可以化成線性方程的類型.一階線性微分方程的形式是 （1.34）如果 ，即 (1.35)稱為一階線性齊次方程.如果 不恒為零，則稱(1.34)為一階線性非齊次方程. 1.4.1 一階線性非齊次方程的通解 先考慮線性齊次方程(1.35)，注意這里“齊次”的含意與1.3節(jié)中的不同，這里指的是在(1.34)中不含“自由項” ，即 顯然，(1.35)是一

21、個變量可分離方程，由1.2節(jié)易知它的通解是 (1.36)下面使用常數變易法再求線性非齊次方程(1.34)的解.其想法是：當C 為常數時，函數(1.36)的導數，恰等于該函數乘上- p(x),從而(1.36)為齊次 方程(1.35)的解.現在要求非齊次方程(1.34)的解，則需要該函數的導數還 要有一 項等于 . 為此，聯系到乘積導數的公式，可將(1.36)中的常數 C 變易為 函數C(x)，即令 (1.37)為方程(1.34)的解，其中C(x)待定.將(1.37)代入(1.34)，有 即 積分后得 把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式為 (1.38)在求解具體方程時，不必記憶通解

22、公式，只要按常數變易法的步驟來求解即可.1.4.2 伯努利(Bernoulli)方程 形如 (1.44)的方程，稱為伯努利方程. 伯努利方程(1.44)是一種非線性的一階微分方程，但是經過適當的變量變換之后，它可以化成一階線性方程. 在(1.44)兩端除以 ，得 (1.45)為了化成線性方程，令 則 代入(1.45)得 這樣，就把(1.44)化成以z為未知函數的線性方程了.本節(jié)要點： 1線性非齊次方程的解法本質是常數變易法，這種方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位 2由常數變易法求得的通解表達式（1.38）或特解表達式（1.43）能幫助我們證明解的某些漸近性質 3伯努利方程

23、實質上是一個可以通過變量替換化為線性方程的非線性方程1.5 全微分方程及積分因子 1.5.1 全微分方程 如果微分形式的一階方程 的左端恰好是一個二元函數 的全微分， 即則稱(1.10)是全微分方程或恰當方程，而函數 稱為微分式(1.46)的原函數. 例如方程 (1.47)就是一個全微分方程.因為它的左端恰是二元函數 的全微分. 全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.47),由于它的左端是二元函數 的全微分，從而方程可寫成 （110）若 是(1.47)的解，應有恒等式 從而 （1.48） 由此解出 這說明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表達式(1.48)中. 一般地，有如下定理 定理

24、1.1 假如 是微分(1.46)的一個原函數，則全微分方程(1.10)的通積分為 （.49）其中C 為任意常數. 證明 先證(1.10)的任一解 均滿足方程(1.49). 因為 為(1.10)的解，故有恒等式 因為 為(1.10)的原函數，所以有 從而 于是 滿足(1.49). 再證明(1.49)所確定的任意隱函數 均為(1.10)的解.因為 是由(1.49)所確定的隱函數，所以存在常數C， 使 將上式微分并應用 是(1.46)的原函數的性質， 即有 從而 是方程(1.10)的解，定理證畢.根據上述定理，為了求解全微分方程(1.10)，只須求出它的一個原函數 ，就可以得到它的通積分 . 下面介

25、紹兩種求原函數的方法. 1.求原函數的直接觀察法 在某些簡單情形下，可以由觀察方程(1.10)直接 求出它的一個原函數，從而得到它的通積分.這要求熟記一些常見的二元函數的全微分公式.2求原函數的一般方法. 定理1.2 如果方程(1.10)中的 ， 在矩形區(qū)域 上連續(xù)可微，則方程(1.10)是全微分方程的充要條件是：在R上有 （1.50） 證明 必要性，設(1.10)是全微分方程，則存在原函數 ，使得 所以 將以上二式分別對y和x求偏導數，得到 因為M ，N 連續(xù)可微，所以 成立，即(1.50)成立.充分性，設(1.50)在區(qū)域R內成立，現在求一個二元函數 ，使它滿足 即 由第一個等式，應有 其

26、中 為y 的任意可微函數，為了使 ，再滿足 必須適當選取 ，使?jié)M足 由參變量積分的性質和條件(1.50)，上式即為 參變量積分的分析性質: 參變量積分 （1）; 是參變量 若 及在矩形 上連續(xù)，則參 變量積分（1）定義的函數 在區(qū)間 上可微，并且 或 從而應取 積分后得到 因為只要一個 就夠了，故取 .于是，函數 (1.51)就是所求的原函數，而全微分方程(1.10)的通積分是 (1.52)定理1.2 不但給出了判斷方程(1.10)為全微分方程的充要條件，而且給出了當判別式(1.50)成立時，(1.51)式就是(1.10)左端的原函數，而(1.52)就是(1.10)的通積分.1.5.2 積分因

27、子 以上我們給出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例如，下面這個簡單方程 (1.54)就不是全微分方程，因為 如果，將上面這個方程兩端同乘以 ，得到方程 (1.55)這是一個全微分方程，因為此時有 通常我們稱 為方程(1.54)的積分因子，因為它可使方程(1.54)變成全微分方程(1.55).一般地，我們有下面的定義. 假如存在這樣的連續(xù)可微函數 ，使方程 (1.56)成為全微分方程，我們就把 稱為方程(1.10)的一個積分因子. 易于看到，當 時，方程(1.10)與(1.56)是同解的.于是，為了求解(1.10)，只須求解(1.56)就可以了，但是如何求得積分

28、因子 呢?下面就來研究求積分因子 的方法. 方程(1.56)是全微分方程的充要條件為 展開并整理后，上式化成（157）一般地說，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不過，對于某些特殊情況，(1.57)的求解問題還是比較容易的.下面我們給出兩種特殊的積分因子的求法. 1方程(1.10)存在只與x有關的積分因子的充要條件是 只與x有關，且此時有 (1.58) 證明 必要性，若方程(1.10)存在只與x有關的積分因子 ，則有 ,這樣(1.57)成為 即 (1.59)因為(1.59)左端只與x 有關，所以它的右端也只與x 有關.充分性，如果 只與x 有關，且 是方程(1.59)的解， 即 不難驗證，

29、就是(1.10)的一個積分因子. 證畢. 2方程(1.10)存在只與y 有關的積分因子的充要條件是 只與y 有關，且此時有 (1.60)證明 與1相似證明. 本節(jié)要點: 1全微分方程的解法本質是求一個全微分的原函數問題 2求原函數的常用方法 觀察法，適用于簡單方程 公式法，（1.51）式 3積分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60），即會求只與x 有關或只與y 有關的積分因子 1.6 一階隱式微分方程 前面幾節(jié)介紹的是求解顯式方程 （1.9）的一些初等積分法.本節(jié)要討論如何求解隱式方程 （1.8）方程(1.8)也稱為導數未解出的一階方程. 求解方程(1.8)的問題分兩種情況考慮：

30、 1 假如能從(1.8)中把 解出，就得到一個或幾個顯式方程 如果能用初等積分法求出這些顯式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. 例1 求解方程 解 方程左端可以分解因式， 得 從而得到兩個方程 這兩個方程都可以求積， 得到 它們都是原方程的解.2如果在(1.8)中不能解出y時，則可用下面介紹的“參數法”求解，本節(jié)主要介紹其中兩類可積類型， 類型 類型 類型的特點是，方程中不含y 或x ；類型的特點是y 可以解出或x 可以解出. 首先，考慮類型中的方程 （1.61）我們已經知道，方程(1.61)的一個解 ， 在平面上的圖象是一條曲線，而曲線是可以用參數表示的，稱為參數形式解，即是定義在區(qū)間

31、 上的可微函數使得 在 上恒成立. 顯然，如果能從方程(1.61)中求出解 ，再把它參數化，就可以得到(1.61)的參數形式解，但這是沒有什么意義的.下面介紹的參數法，是在方程(1.61)中當解不出來時，先把方程(1.61)化成等價的參數形式，然后根據某種恒等式，可以求出原方程(1.61)的參數形式解.這種求解過程就稱為參數法.具體作法如下：(1)方程(1.61)化成參數形式 從幾何上看， 表示平面 上的曲線，可以把這曲線表示為適當的參數形式 （1.62）這里t 是參數，當然有 （1.63）成立. (2)求(1.61)的參數形式解 由于(1.62)和沿著(1.61)的任何一條積分曲線上恒滿足基

32、本關系式 這樣，把(1.62)代入上式，得 上式兩端積分，得到 于是，得到方程(1.61)的參數形式通解 （1.64）不難驗證：將(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，這說明(1.64)確實是(1.61)的參數形式通解. 同理，可以討論類型的方程 不難驗證：將(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，這說明(1.64)確實是(1.61)的參數形式通解. 同理，可以討論類型的方程 (1.65)設其可以表示的參數形式 由于 有 積分， 得 從而(1.65)的參數形式通解為 現在，考慮類型中的方程 （1.66）從幾何上看，方程(1.66)表示 空間中的曲面，令 ，有 ，這樣(1.66)的

33、參數形式是 (1.67）同樣，由基本關系式有 將(1.67)代入上式，得 或 （1.68）這是一個關于自變量為 x ，未知函數為 p 的方程.如果能求得通解 代入到(1.67)的第三個方程中，即得(1.66)的通解 如果只能求得(1.68)的通積分 則它與(1.67)的第三個方程聯立， 為(1.66)的參數形式解，若能消去參數 p ，可得(1.66)的通解或通積分. 在上述求解過程中，請讀者注意：當從方程(1.68)中解出 時，只 要將其代入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再將 p 認為 y，再積分來求 y 這是為什么呢?因為用參數法求解方程(1.66)的實質意義在于：

34、當從(1.66)中不能解出 時，通過參數法，把求解(1.66)化為一個以x為自變量，以 為未知函數 的方程(1.68)，一旦從(1.68)中解得 ， 那么它當然滿足(1.67)中的第三式，即有 ，而這相當于在(1.66)中先把 解出，又由于方程(1.66)形式的特殊性，使得 成為了原方程(1.66)的通解. 同理，可以考慮類型的方程 (1.69)設其參數形式為 （1.70）由其本關系式，有 將(1.70)代入上式，得 或（1.71） 如果能從(1.71)解出通解 ，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通積分 如果從(1.71)中解出通積分 將它與(1.70)第三式聯立， 將它與(1.7

35、0)第三式聯立， 消去p ，可得(1.69)的通積分 （隱函數存在定理及求導公式)， 隱函數存在定理及求導公式 隱函數方程 （1） 設 在點 的某一領域內滿足 具有連續(xù)偏導數； ； ，則方程（1）在 的某領域內 恒能唯一確定一個單值連續(xù)且有連續(xù)導數的函數 ， 滿足 ，并且 （2） （2）稱為隱函數求導公式.方程(1.73)稱為克萊洛 (Clairaut)方程.由(1.75)式可知，它的通解恰好是在方程(1.73)中用C取代 y而成.本節(jié)要點： 1求解隱式方程時，首先考慮用第一種解法，即盡可能化成顯式方程求解，其次再考慮用參數法求解 2理解好參數解法原理，類型和類型解法的原理是一樣的例如 方程

36、參數解法的原理是： （1）方程 （1.61）與其參數化方程 (1.62)在 平面上等價 （2）由 解出（1.62）的解 (1.64)(3)（1.64）是（1.61）的參數形式解，因為 3類型方程 解法的基本思想是，先通過等價關系解得 ，然后代入原方程，從而得到到原方程的通解 3類型方程 解法的基本思想是，先通過等價關系解得 y，然后代入原方程，從而得到到原方程的通解 第7講幾種可降階的高階方程幾種可降階的高階方程幾種可降階的高階方程本節(jié)要介紹三種高階方程的解法，這些解法的基本思想就是把高階方程通過某些變換降為較低階方程加以求解，所以稱為“降階法”. 1.7.1 第一種可降階的高階方程第一種可降

37、階的高階方程方程 （1.78）這種方程的特點是方程中出現的最低階的導數為 .這時只要令 (1.78)中就化成 （1.79）如果(1.79)能求出通解 則由對積分 ，就可以求出 y來了. 第二種可降階的高階方程第二種可降階的高階方程方程 這類方程的特點是不顯含自變量 x，這時，總可以利用代換 ，使方程降低一階.以二階方程 為例.令 ，于是有 代入原方程，就有 這是一個關于未知函數 p 的一階方程.如果由它可求得則有 這是一個關于的變量可分離方程，可求得通積分.1.7.3 恰當導數方程假如方程 （ 1.80） 的左端恰為某一函數 對 x的導數，即(1.80)可化為 則(1.80)稱為恰當導數方程恰

38、當導數方程.這類方程的解法與全微分方程的解法相類似，顯然可降低一階，成為 之后再設法求解這個方程.初等積分法小結 15種基本解法 分量變量法 常數變易法 積分因子法：化為全微分方程參 數 法 降 階 法 2初等積分法的歷史地位自1676年微分方程的研究工作開始，其后100多年間是初等積分發(fā)展的重要時期1841年法國數 （Liouville）指出：絕大多數常微分方程不能用初等積分求解，例如方程 就不能用初等積分求解這說明初等積分法有相當的局限性但是，初等積分法至今不失其重要性，一直被認為是常微分方程中非常有用的解題方法之一，也是初學者的基本訓練之一 第8講應用舉例一般說來，用常微分方程去解決某些

39、實際問題的過程分以下三個步驟： I建立方程對所研究問題，根據已知定律或公式以及某些等量關系列出微分方程和相應初值條件II求解方程III分析問題通過已求得的解的性質，分析實際問題.1.8.1 等角軌線我們來求這樣的曲線或曲線族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度.這樣的曲線稱為己知曲線的等角軌線等角軌線.當所給定的角為直角時，等角軌線就稱為正交軌線正交軌線.等角軌線在其它很多學科(如天文、氣象等)中都有應用.下面就來介紹求等角軌線的方法.首先把問題進一步提明確一些 設在(x, y)平面上，給定一個單參數曲線族(C)：.求這樣的曲線 ，使得 l與(C) 中每一條曲線的交角都是定角 (

40、圖1-3). 圖1-3設l 的方程為 .為了求 ，我們先來求出 所應 滿足的微分方程，也就是要先求得 的關系式.條件告訴我們l與(C) 的曲線相交成定角 ，于是，可以想見，y_1 和y_1 必然應當與 (C)中的曲線 y=y(x)及其切線的斜率y 有一個關系.事實上，當 時，有 或 (1.81) 當 時，有 (1.82)又因為在交點處， ,于是，如果我們能求得 的關系，即曲線族(C) 所滿足的微分方程(1.8)只要把y=y_1 和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得x,y_1.y_1 所應滿足的方程了.如何求(1.8)呢? 采用分析法.設 y=y(x) 為(C ) 中任一條曲線，

41、于是存在相應的C，使得 因為要求x,y,y 的關系，將上式對x求導數，得 (1.84)這樣，將上兩式聯立，即由 (1.85 消去C，就得到 x,y(x),y(x)所應當滿足的關系這個關系稱為曲線族(C) 的微分方程. 于是，等角軌線( )的微分方程就是(1.86)而正交軌線的微分方程為 (1.87)為了避免符號的煩瑣，以上兩個方程可以不用 y_1，而仍用y ，只要我們明確它是所求的等角軌線的方程就行了.為了求得等角軌線或正交軌線，我們只需求解上述兩個方程即可.例例1求直線束y=Cx 的等角軌線和正交軌線.解解首先求直線族y=Cx 的微分方程.將 對求x導,得y=c ，由 消去C，就得到 y=C

42、x的微分方程 當 時，由(1.86)知道，等角軌線的微分方程為 或及 即 積分后得到 或 如果寫成極坐標形式，不難看出等角軌線為對數螺線 (圖1-4). 如果 ，由(1.87)可知，正交軌線的微分方程為即 或 故正交軌線為同心圓族 (圖1-5). 圖 1-51.8.2 動力學問題前面已經說過，動力學的基本定律是牛頓第二定律 f=ma,這也是用微分方程來解決動力學的基本關系式.它的右端明顯地含有加速度a，a是位移對時間的二階導數. 列出微分方程的關鍵就在于找到外力f和位移及對時間的導數速度的關系. 只要找到這個關系，就可以由f=ma列出微分方程了.在求解動力學問題時，要特別注意力學問題中的定解條

43、件，如初值條件等.例例2物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況下(低于音速的45)，空氣阻力可看做與速度的平方成正比.試證明在這種情況下，落體存在極限速度v_1 。解解設物體質量為 m，空氣阻力系數為 k，又設在t時刻 物體的下落速度為v ，于是在時刻 物體所受的合外力為 (重力 - 空氣阻力) 這里，建立的坐標系，使得重力mg方向向下，與運動方向一致，空氣阻力方向向上，與運動方向相反。從而，根據牛頓第二定律可列出微分方程 （1.88）因為是自由落體，所以有 v(0)=0(1.89)解解(1.88)，由(1.89)有 積分得或 解出v，得 當 時,有 (1.9

44、0)據測定， ,其中 為物體形狀有關常數， 為介質密度， 為物體在地面上的投影面積. 人們正是根據公式(1.90)，來為跳傘者設計保證安全的降落傘的直徑大小的.在落地速度 與 一定時，可定出s來.第二章基本定理第二章基本定理 第09講解的存在性與唯一性定理 2.1 常微分方程的幾何解釋我們在1.1節(jié)已經給出了微分方程及其解的定義.本節(jié)將就一階顯式方程 給出這些定義的幾何解釋.由這些解釋，我們可以從方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所應具有的某些幾何特征.首先，我們要給出“線素場”的概念.設(1.9)的右端函數 f(x,y)在區(qū)域G內有定義(圖2-1),即對G內任意一點(x,y) ，都存在

45、確定值 .以(x,y)點 為中點，作一單位線段，使其斜率恰為k=f(x,y) ，稱為在(x,y) 的線素.于是在G內每一點都有一個線素.我們說，方程(1.9)在區(qū)域G上確定了一個線素場. 圖2-1 （19）下面來討論方程(1.9)的解與它確定的線素場的關系.前面，我們已經把(1.9)的解 的圖象稱為(1.9)的積分曲線. 定理定理2.1 曲線L為(1.9)的積分曲線的充要條件是：在L上任一點，L的切線與(1.9)所確定的線素場在該點的線素重合；亦即L在每點均與線素場的線素相切. 證明證明（略） 這個定理表明這樣一個事實：(1.9)的積分曲線在其上每一點都與線素場的線素相切.或者直觀地說成積分曲

46、線是始終“順著”線素場的線素行進的曲線.2.2 解的存在唯一性定理 本節(jié)利用逐次逼近法，來證明微分方程 (2.1) 的初值問題 (2.2) 的解的存在與唯一性定理. 2.2.1 存在性與唯一性定理的敘述 定理定理2.2 (存在與唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函數 在閉矩形域 上滿足如下條件： (1) 在R上連續(xù); (2) 在R上關于變量y滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常數N，使對于R上任何一對點(x,y) 和 有不等式：則初值問題(2.2)在區(qū)間 上存在唯一解 其中 在證明定理之前，我們先對定理的條件與結論作些說明: 1. 在實際應用時，李普希茲條件的檢驗是比較費事的.然

47、而，我們能夠用一個較強的，但卻易于驗證的條件來代替它.即如果函數f(x,y) 在閉矩形域R上關于y的偏導數f_y(x,y) 存在并有界， .則李普希茲條件成立，事實上，由拉格朗日中值定理有 其中 滿足 ， 從而 .如果 f_y(x,y)在R上連續(xù)，它在R上當然就滿足李普希茲條件.2.現對定理中的數h0做些解釋.從幾何直觀上，初值問題(2.2)可能呈現如圖2-5所示的情況. 這時，過點 的積 圖圖 2-5 分曲線 當x=x_1 或x=x_2 時，其中 ， ， 到達R的上邊界 y=y_0+b或下邊界y=y_0-b .于是，當 時，曲線 便可能沒有定義.由此可見，初值問題(2.2)的解未必在整個區(qū)間

48、 上存在.但是，由2.1節(jié)的常微分方程的幾何解釋可知，定理2.1就是要證明：在線素場R中，存在唯一一條過點(x_0,y_0) 的積分曲線 它在其上每點處都與線素場在這點的線素相切. 現在定理假定 f(x,y)在R上連續(xù),從而存在 于是，如果從點 (x_0,y_0)引兩條斜率分別等于M和-M的直線，則積分曲線 (如果存在的話)必被限制在圖2-6的帶陰影的兩個區(qū)域內，因此，只要我們取 則過點(x_0,y_0)的積分曲線 (如果存在的話)當x在區(qū)間上變化時，必位于R之中. 圖圖 2-62.2.2 存在性的證明存在性的證明 求解初值問題（2.2） 求解積分方程（2.3）. 因此，只要證明積分方程(2.

49、3)的連續(xù)解在 上存在而且唯一就行了. 下面用畢卡(Picard)逐次逼近來證明積分方程(2.3)的連續(xù)解的存在性，可分三個步驟進行: 1.構造逐次近似序列. 近似序列 在每一項都在 上有定義，這是因為 于是 這樣，我們在區(qū)間 上，按逐次逼近手續(xù)得到了一個連續(xù)函數列(近似序列) 2. 證明近似序列 在區(qū)間 上一致收斂（序列）.“ 函數序列的一致收斂 1設 （1） 是定義在I上的函數序列，若對 ，數列 收斂，則稱x_0為序列（1）的收斂點收斂點的全體叫收斂域 在收斂域上每一點，序列（1）都有極限，這極限形成收斂域上的一個函數，稱為極限函數設此函數為S(x) ，即 2若對 ，總存在一個只與 有關的

50、自然數N，使得對I上任何一點 ，當 時，有 ，則稱序列（1）在I上一致收斂 證明分如下二步： （1）序列 在 上一致收斂 級數（2.7）在 上一致收斂（級數）“ 函數項級數的一致收斂 “ 函數項級數的一致收斂 1設函數項級數 （1） 在區(qū)間I上收斂于和函數S(x) ，即對 ，數項級數 收斂于S(x_0) ，或級數（1）的部分和所組成的數列 =3若函數項級數（1）的每一項都在I上連續(xù)，并且在I上一致收斂，則（1）的和函數 在I上連續(xù) 因為級數 （2.7） 的部分和 （2）級數（2.7）在 上一致收斂 用數學歸納法，易證級數（2.7）從第二項開始，每一項絕對值都小于正項級數 的對應項，而上面這個正

51、項級數顯然是收斂的.所以，由優(yōu)級數判別法，“ 函數項級數的一致收斂判別法 （魏爾斯特拉斯優(yōu)級數判別法） 函數項級數 （1） 若函數項級數（1）在區(qū)間I上滿足 （ I ） ； （ II ） 正項級數 收斂 則函數項級數（1）在區(qū)間I上一致收斂 數項級數收斂的判別法 （比值判別法，達朗貝爾（ ）判別法） 若正項級數 的后項與前項的比值的極限等于 ： 則當 時級數收斂， 時（或 ）時級數發(fā)散； 時級數可能收斂，也可能發(fā)散 級數(2.7)在區(qū)間 上不僅收斂，而且一致收斂.設其和函數為 ，從而近似序列 在區(qū)間 x_0-h_0,x_0+h_0上一致收斂于 .由于 在區(qū)間x_0-h_0,x_0+h_0上 連

52、續(xù)，因而 也是連續(xù)的. 3.證明 是積分方程(2.3)的解，從而也是初值問題(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）兩端取極限有 因為 所以要證明 是積分方程（2.3）的解，即 成立，只需證明 下面用“-N語言”證明上面的極限成立 由于序列 在區(qū)間x_0-h_0,x_0+h_0上一致收斂，因此，對任給0,存在自然數 N,當 nN時，對區(qū)間x_0-h_0,x_0+h_0 上所有x恒有 從而 由此推得 換句話說，我們得到 現在對恒等式(2.6)兩端取極限， 就得到 此即表明函數 是(2.3)的解.至此定理的存在性部分證畢.2.2.3 唯一性的證明唯一性的證明 下面來證明解的唯一性.為此我們先介紹

53、一個在微分方程中很有用的不等式，即貝爾曼(Bellman)不等式. 貝爾曼引理貝爾曼引理 設y(x)為區(qū)間a,b 上非負的連續(xù)函數， .若存在 使得y(x)滿足不等式 (2.9) 則有 證明證明 先證明 的情形. 令 ，于是從(2,9)式立即有 上式兩端同乘以因子 ,則有 上式兩端從x0到x積分，則有 即 由(2.9)知， ,從而由上式得到 的情形類似可證，引理證畢. 積分方程(2.3)解的唯一性證明，采用反證法. 假設積分方程(2.3)除了解 之外，還另外有解 ，我們下面要證明：在 上，必有 . 事實上，因為 及 將這兩個恒等式作差，并利用李普希茲條件來估值，有 令 ,從而由貝爾曼引理可知，

54、在 上有 ，即 . 至此，初值問題(2.2)解的存在性與唯一性全部證完.2.2.4 二點說明二點說明 為了加深對定理的理解，下面我們再作二點說明. 1.（見教材） 2. 如果方程(2.1)是線性方程，即 其中p(x)和q(x)在區(qū)間 上連續(xù)，我們不難驗證，此時方程的右端函數關于y滿足李普希茲條件，在這些條件下，利用定理2.2中的方法，可以證明對任意初始值 我們不難驗證，此時方程的右端函數關于y滿足李普希茲條件，在這些條件下，利用定理2.2中的方法，可以證明對任意初始值 .線性方程滿足 的解在整個區(qū)間 上有定義.事實上，只要注意到，此時逐次近似序列的一般項(2.6) 在區(qū)間 上存在且連續(xù)即可.

55、由定理2.2知李普希茲條件是保證初值問題解唯一的充分條件，那么這個條件是否是必要的呢?下面的例子回答了這個問題. 例例1 試證方程 經過xoy平面上任一點的解都是唯一的. 證明證明 右端函數除x軸外的上、下平面都滿足定理2.2的條件，因此對于 軸外任何點 ，該方程滿足 的解都存在且唯一. 于是，只有對于 軸上的點，還需要討論其過這樣點的解的唯一性. 我們注意到y = 0為方程的解. 當y 0時，因為 故可得通解為 為上半平面的通解, 為下半平面的通解.這些解不可能y = 0相交. 因此，對于 軸上的點 ，只有y = 0通過，從而保證了初值解的唯一性. 但是， 因為 故不可能存在 使得 從而方程

56、右端函數在y = 0的任何鄰域上并不滿足李普希茲條件，這個例子說明李普希茲條件不是保證初值解唯一的必要條件. 為了保證方程(2.1)的初值解的唯一性，有著比李普希茲條件更弱的條件.直到現在，唯一性問題仍是一個值得研究的課題. 下面的例子表明：如果僅有方程(2.1)的右端函數f(x, y)在R上連續(xù)，不能保證任何 初值問題(2.2)的解是唯一的.例例2 討論方程 解的唯一性. 解解 方程的右端函 數 ,在全平面連續(xù)，當 時，用分離變量法可求得通解 ，C為任意常數. 又y = 0也是方程的一個特解，積分曲線如圖2-7.圖圖 2-7 從圖上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通過x軸上

57、任一點 的積分曲線不是唯一的，記過該點的解為 ， 它可表為：對任意滿足 的a和b. 本節(jié)要點：本節(jié)要點： 1一階顯式方程在其定義域內定義了一個線素場，積分曲線在其上每一點都與線素場的線素相切 2解的存在唯一性定理的證明 3定理條件的理解 （1）李普希茲條件是保證解唯一的充分條件而非必要條件 （2）僅有連續(xù)條件不能保證解唯一 （3）定理的結論：解的存在區(qū)間是局部的 第10講解的延展上節(jié)我們給出了初值問題(2.2)解的存在唯一性定理.應該注意到，這個定理的結果是局部的，也就是說解的存在區(qū)間是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函數f(x,y)存在區(qū)域D可能是很大的，這樣，我們自然要討論，此時初值問

58、題(2.2)的解的存在區(qū)間是否可以擴大.2.3.1 延展解、不可延展解的定義定義2.1 設 是初值問題（2，2）在區(qū)間 上的一個解，如果（2，2）還有一個在區(qū)間 上的解 ，且滿足(1) (2)當 時， 則稱解 是可延展可延展的，并稱 是 在I上的一個延展解延展解.否則，如果不存在滿足上述條件的解 ，則稱 是初值問題(2.2)的一個不可延展解不可延展解，(亦稱飽和解).這里區(qū)間I和可以是開的也可以是閉的.3.2 不可延展解的存在性定義定義2.2 設 定義在開區(qū)域 上，如果對于D上任一點 ，都存在以 為中心的，完全屬于D的閉矩形域R，使得在R上 的關于y滿足李普希茲條件，對于不同的點，閉矩形域R的

59、大小以及常數N可以不同，則稱 在D上關于y滿足局部李普希茲條件局部李普希茲條件. 定理定理2.3 如果方程(2.1)的右端函數 在區(qū)域 上連續(xù)，且對y滿足局部李普希茲條件，則對任何 ，初值問題(2.2)存在唯一的不可延展解.證明思路：僅證 方向，（ 方向同理）任取點 存在唯一解 在 = 上有定義又點 存在唯一解 在 = 上有定義圖28由解的唯一性，在I0和I1的公共部分上， 的一個延展解繼續(xù)這種延展過程，直到一個解 ，它再也不能向左右兩方延展了，這個解就是不可延展解， 就是初值問題（2.2）不可延展解的存在區(qū)間，這樣，就完成了定理的證明顯然，不可延展解的存在區(qū)間必定是一個開區(qū)間.因為如果區(qū)間右

60、端點 是閉的 那么解 的曲線可以達到 .于是點 ，由定理2.2，可將 延展到 的右方，這與 是不可延展解矛盾. 同理，這個區(qū)間的左端點也必定是開的.2.3.3 不可延展解在端點的性狀下面討論初值問題(2.2)的不可延展解 ，當x趨于區(qū)間 的端點時的性狀引理引理 設 是有界開區(qū)域， 在D上有界 、且對y滿足局部李普希茲條件.如果 是初值問題(2.2)在D上的不可延展解，則當 時，相應積分曲線上的點 都趨于D的邊界. 證明證明 首先證明極限 的存在性.事實上，由于初值問題(2.2)的解 滿足下面的積分方程因此對任意 , 有 由柯西收斂判別準則，“柯西收斂準則 1數列 收斂 對 ， N ，使當 ，