導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用—單調(diào)性與極值的習(xí)題課老師

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用單調(diào)性與極值的習(xí)題課【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1.理解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值中的作用；2.理解導(dǎo)數(shù)在解決有關(guān)不等式、方程的根、曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題中有廣泛的應(yīng)用。3.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4.結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式等知識(shí)相融合的問題； 【基礎(chǔ)

2、過關(guān)】1 函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)y在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若0，則為 ；若0，則為 .（逆命題不成立）(2) 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則 .注：連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間和與之相應(yīng)的閉區(qū)間上的單調(diào)性是一致的.(3) 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法： 確定函數(shù)的 ； 求，令 ，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根； 把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各個(gè)實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間； 確定在各小開區(qū)間內(nèi)的 ，根據(jù)的符號(hào)判定函數(shù)在各個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.2可導(dǎo)函數(shù)的極值 極值的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且對(duì)附近的所有點(diǎn)都有 （或 ），則稱為函數(shù)的一個(gè)極

3、大（小）值稱為極大（?。┲迭c(diǎn). 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟： 求導(dǎo)數(shù)； 求方程0的 ； 檢驗(yàn)在方程0的根左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y在這個(gè)根處取得 ；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)y在這個(gè)根處取得 .【基礎(chǔ)訓(xùn)練】例1如果函數(shù)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（ ）例2. 曲線 的單調(diào)減區(qū)間是( ) A.; B.; C.及 ; D. 及;例3.若函數(shù)在處取極值，則 例4. 函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn) _個(gè)例5若有極值，則的取值范圍是 .【典型例題】1(2011·浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3ax

4、2bxc(x1,2)，且函數(shù)f(x)在x1和x處都取得極值(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb.由題易知，解得(2)由(1)知，f(x)3x2x2(3x2)(x1)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,2時(shí)，f(x)0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1,22.設(shè)函數(shù).（）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).（）若且在處取得極值,直線y=m與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。思考:若是有1個(gè)不同的交點(diǎn)呢? 2個(gè)不同的交點(diǎn)呢?3已知函數(shù)f(x)4x3ax2bx5的圖象在x1處的切線

5、方程為y12x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f(x)12x22axb，f(1)122ab12，又x1，y12在f(x)的圖象上，4ab512，由得a3，b18，f(x)4x33x218x5.(2)由f(x)12x26x180，得x1，.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化如下表：x(，1)1f(x)00f(x)增減增f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)，4(2011·安徽)設(shè)f(x)，其中a為正實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)ex.(1)當(dāng)a時(shí)，令f(x)0，則4x2

6、8x30，解得x1，x2.結(jié)合，可知xf(x)00f(x)極大值極小值所以，x1是極小值點(diǎn)，x2是極大值點(diǎn)(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0，知0a1.所以a的取值范圍為(0,15. 已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由； （1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是單調(diào)增函數(shù)， =3x2-a0在（-,+）上恒

7、成立，即a3x2對(duì)xR恒成立. 3x20,只需a0,又a=0時(shí)，=3x20, 故f(x)=x3-1在R上是增函數(shù)，則a0. （2）解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立. -1<x<1,3x2<3,只需a3.當(dāng)a=3時(shí)，=3(x2-1), 在x(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上為減函數(shù)，a3. 故存在實(shí)數(shù)a3,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減.6 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時(shí)，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值； （2）求y=f(

8、x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b, 當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)x=時(shí)，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5. （2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4, 令=0,得x=-2,x=. 當(dāng)x變化時(shí)，y,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為7 設(shè)函數(shù)f(x)=-x(

9、x-a)2(xR),其中aR. （1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)（2，f(2)處的切線方程；（2）當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值. 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,=-3x2+4x-1, -12+8-1=-5, 當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)（2,f(2)處的切線方程為 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, =-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令=0,解得x=或x=a. 由于a0，以下分兩種情況討論. 若a>0，當(dāng)x變化時(shí)，的正負(fù)如下表： x(-,)(

10、,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f（）， 且f（）=- 函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0. 若a<0，當(dāng)x變化時(shí)，的正負(fù)如下表： x(-,a)a(a,)(,+)-0+0-f(x)0-因此，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0； 函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f（）, 且f（）=-.【課后作業(yè)】1.函數(shù)y=x2（x3）的減區(qū)間是 2.函數(shù)f（x）=ax2b在（，0）內(nèi)是減函數(shù)，則a、b應(yīng)滿足 3.已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，則fg（x）的增區(qū)間是 4.在（a，b）內(nèi)（x）>0是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增的_ _條件.5.已知a>0，函數(shù)f（x）=x3ax在1，+）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是 6已知，奇函數(shù)在上單調(diào)，則字母應(yīng)滿足的條件是 。7.設(shè)f（x）=x32x+5.（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）&