求曲線方程的常用方法

1、求曲線方程的常用方法曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的?？键c(diǎn)求曲線方程時，應(yīng)根據(jù)曲線的不同背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能簡捷明快地解決問題下面對其求法進(jìn)行探究1定義法求曲線方程時，如果動點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識去尋求其數(shù)量關(guān)系，再由曲線定義直接寫出方程，這種方法叫做定義法例1如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C：(x1)2y24a2 (a>1)，A(1,0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)

2、證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a2時該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍解(1)依題意，直線m為線段AM的垂直平分線，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a>2，N的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2的橢圓當(dāng)a2時，長軸長為2a4，焦距為2c2，b2a2c23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)由(1)知：a2b21.又C(1,0)，B(0，b)，直線l的方程為1，即bxyb0.設(shè)Q(x，y)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l對稱，消去

3、x得y.離心率e，e2，即.a24.2 / 7b214，即b，y2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時取等號又當(dāng)b時，y；當(dāng)b時，y.y2.點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，22直接法若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系，或者可運(yùn)用平面幾何的知識推導(dǎo)出等量關(guān)系，則可通過“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、檢驗(yàn)”五個步驟直接求出動點(diǎn)的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法例2已知直線l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一動圓M(圓心和半徑都在變動)與l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26,24.求圓心M的軌跡方程解如圖，設(shè)M(x，y)，圓半徑為r，M到l1，l2的距離分別是d1，d2，則d132r2，d1

4、22r2，dd25，即2225，化簡得圓心M的軌跡方程是(x1)2y265.點(diǎn)評若動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律是一些幾何量的等量關(guān)系，則常用直接法求解，即將這些關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成含有動點(diǎn)坐標(biāo)x，y的方程即可3待定系數(shù)法若已知曲線(軌跡)的形狀，求曲線(軌跡)的方程時，可由待定系數(shù)法求解例3已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個焦點(diǎn)，A是一個頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且cosOFA，求橢圓的方程解橢圓的長軸長為6，cosOFA，所以點(diǎn)A不是長軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，所以|OF|c，|AF|a3，所以c2，b232225，故橢圓的方程為1或1.4相關(guān)點(diǎn)法(或代入法)如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)

5、P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立某種關(guān)系，借助于點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡便可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡例4如圖所示，從雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q引直線l：xy2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻是QN的中點(diǎn)，為此需用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程即可解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2xx0,2yy0)又點(diǎn)N在直線xy2上，2xx02yy02，即x0y02x2y2.又QNl，kQN1，即x0y0xy.由，得x0(3xy2)，y0(x3y2)又點(diǎn)Q在雙曲線上，(3xy2)2(x3y2)21.化簡，得22.線

6、段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為22.點(diǎn)評本題中動點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān)，而Q點(diǎn)的軌跡確定，所以解決這類問題的關(guān)鍵是找出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法求解5參數(shù)法有時求動點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個動點(diǎn)的運(yùn)動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間等)的制約，即動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另一個變量的變化而變化，我們可以設(shè)這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法例5已知點(diǎn)P在直線x2上移動，直線l通過原點(diǎn)且與OP垂直，通過點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程解如圖，設(shè)OP的斜率為k，則P(2,2k)當(dāng)k0時，直線l的方程：yx；直線m的方程：y2k(x1)聯(lián)立消去k得2x2y22x0 (x