數(shù)學(xué)高中排列組合知識(shí)和典例

1、1排列與排列數(shù)(1)排列：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(2)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A.2組合與組合數(shù)(1)組合：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作C.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1) C性質(zhì)An??；0！1C1；CC_；CCC

2、注意：易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)一、排列問題直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法排列典型例題：有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)

3、全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰解：(1)從7人中選5人排列，有A765432 520(種)(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有AA5 040(種)(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5A3 600(種)法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA3 600(種)(4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有AA576(種)(5)(插空法)

4、先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有A種方法，共有AA1 440(種)1.用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A324 B648C328 D3602.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_3.甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A10種B16種C20種 D24種2、 組合問題組合典型例題：某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，若選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)

5、至少有1名女運(yùn)動(dòng)員解：(1)任選3名男運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為C，再選2名女運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為C，共有CC120(種)方法(2)法一：(直接法)至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為CCCCCCCC246(種)法二：(間接法)“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面是“全是男運(yùn)動(dòng)員”，因此用間接法求解，不同選法有CC246(種)1.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有()A30種 B36種C60種 D72種2.若從1,2,3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A60種B63

6、種C65種 D66種3、 排列組合綜合問題(1)簡單的排列與組合的綜合問題；(2)分組、分配問題1.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A15B20C30 D422.將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有()A150種 B180種C240種 D540種此題是高考出現(xiàn)頻率最高的題型，我把他稱為均分問題：對于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)中的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個(gè)這樣

7、的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)(3)涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個(gè)區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論（1）使用4種顏色，則每個(gè)區(qū)域涂一種顏色即可：（2）使用3種顏色，則有一對不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：不相鄰所以涂色方案有：（3）使用2種顏色，則無法找到符合條件的情況，所以討論終

8、止總計(jì)種常見題型1將2名女教師，4名男教師分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩所學(xué)校輪崗支教，每個(gè)小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有()A24種 B12種C10種 D9種解析：選B第一步，為甲校選1名女老師，有C2(種)選法；第二步，為甲校選2名男教師，有C6(種)選法；第三步，為乙校選1名女教師和2名男教師，有1種選法，故不同的安排方案共有26112(種)，選B.2從0,1,2,3,4中取出3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A24 B36C48 D60解析：選C法一：百位數(shù)字只能從1,2,3,4中任取一個(gè)，有A種方法十位與個(gè)位可從剩下的4個(gè)數(shù)中取2個(gè)，有A種方法，

9、則三位數(shù)的個(gè)數(shù)有AA44348.故選C.法二：從0,1,2,3,4中取出3個(gè)數(shù)字排在百位、十位與個(gè)位的方法總數(shù)有A，其中0作為百位的三位數(shù)有A，則三位數(shù)的個(gè)數(shù)有AA5434348.故選C.3如圖，MON的邊OM上有四點(diǎn)A1，A2，A3，A4，ON上有三點(diǎn)B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為()A30 B42C54 D56解析：選B用間接法先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，最多構(gòu)成三角形C個(gè)，再減去三點(diǎn)共線的情形即可共有CCC42(個(gè))4有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種

10、數(shù)是()A24 B48C72 D96解析：選B據(jù)題意可先擺放2本語文書，當(dāng)1本物理書在2本語文書之間時(shí)，只需將2本數(shù)學(xué)書插在前3本書形成的4個(gè)空中即可，此時(shí)共有AA種擺放方法；當(dāng)1本物理書放在2本語文書一側(cè)時(shí)，共有AACC種不同的擺放方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有AAAACC48(種)擺放方法5(2016福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A12種 B20種C40種 D60種解析：選C(排序一定用除法)五個(gè)元素沒有限制全排列數(shù)為A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除

11、以這三個(gè)元素的全排列A，可得這樣的排列數(shù)有240(種)6現(xiàn)有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有_種不同的方法(用數(shù)字作答)解析：第一步，從9個(gè)位置中選出2個(gè)位置，分給相同的紅球，有C種選法；第二步，從剩余的7個(gè)位置中選出3個(gè)位置，分給相同的黃球，有C種選法；第三步，剩下的4個(gè)位置全部分給4個(gè)白球，有1種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，排列方法共有CC1 260(種)答案：1 2607從6名同學(xué)中選派4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科知識(shí)競賽，若其中甲、乙兩名同學(xué)不能參加生物競賽，則選派方案共有_種解析：特殊位置優(yōu)先考慮，既然甲、乙都不能參加生物競賽，則從另外4個(gè)人中選擇一個(gè)參加，有C種方案，然后從剩下的5個(gè)人中選擇3個(gè)人參加剩下3科，有A種方案，故共有CA460240(種)方案答案：2408(2017黃岡質(zhì)檢)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場的順序的排法種數(shù)為_解析：不相鄰問題插空法.2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N1AA72(種)，女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場的排法共有N2AA12(種)，所以出場順序的排法種數(shù)為NN1N260.答案：609把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，