最值求法及應(yīng)用

1、解法1、函數(shù)的代數(shù)和化為一個三角函數(shù)討論，即y Asi n x BcosxA sin xVa2 b2B22cosx) A2B2 sin(x高考數(shù)學(xué)題中最大值、最小值的求法及應(yīng)用高考數(shù)學(xué)題中求最大值和最小值問題是經(jīng)常出現(xiàn)的，分析其并歸類總結(jié)有助于迅速地解答考題。三角函數(shù)類求最大值和最小值問題及應(yīng)用，其方法是將三角例1、當(dāng)函數(shù)y sinx 73cosx ( 0 xv2 )取得最大值時，x解答:2(sin x 乜 cosx) 2sin( x ),max y 2, xmax y 2,x223sin x 3 cosx2g( cosx sin x) 2cos( x2 2例2、在° ABC中，已知

2、內(nèi)角A邊BC 2。設(shè)內(nèi)角B x，周長為y ,(1)求函數(shù)y f(x)的解析式和定義域；(2)求y的最大值解 ：(1) A B由正弦定理，ACC , A , 0 B32、空.sinx =BC sinB = sin A4sin xABy AB AC BCBC sin C sin A4si n4si n(x) 4sin x 2 3(0-cosx21-si nx sin x22,3.3 .in x24 3 sin x當(dāng)x ,即x -時y取得最大值,最大值為八3. 6 23例 3、為了得到函數(shù) y sin（2x ）的圖像， 圖像（）（ A ）向左平移個長度單位（4單位（ C ）向左平移個長度單位解：考慮

3、取最大值時，X2)25令 26x只需把函數(shù)y sin（2x ）的 3 6B）向右平移一個長度4向右平移個長度單位2- ，又令 2x 則12 6 2選（B）（D則xX1 X26 12例 4、函數(shù) y cos(2x),(-與函數(shù) y sin(2x32向右平移 - ，4的圖像向右平移 .2 個單位后，解：令 sin（2x又令 cos（2x.3）的圖像重合，合，1，2xXi,（ 考慮取最大值 ）12)1, 2x0, X22 , （向右平移）xz xz12 7212例 5、設(shè)函數(shù) f x cos x2 12 ，0 ，將長度后，所得的圖像與原圖像重合，則o6f（x）的圖像向右平移§個單位的最小值

4、等于（ C ）(B)（ A ）3解答：考慮 y cos x 的最大值，(C) 6(D) 9cos (x1, x 0 cos 1 ,例 6 、若動直線3x a 與函數(shù) f （x）cos x 1 ,x= 0 ,sinx 和 gx）M，N 兩點(diǎn)，貝U MN 的最大值為(A) 1(B) 2(C)解答 : MN =| f(x) g(x) | |sinx cosx| J2sin(x2，故選 (B)），36,故八選CO2 ,3cosx 的圖像分別交于(D)a - 時取4最大值 、2 . 即 sin - cos-4 4例 7、 ABC 的內(nèi)角 A, B,C的對邊分別為 a,b,c，已知 a bcosC csi

5、nB1）求 B ；（ 2）若 b 2，求 ABC 面積的最大值。解法1 :由已知及正弦定理 亠丄亠sin A sin B sin C得 sin A sin BcosC si nCsinB又 A (B C) si nAsin( (B C) sin (BC)由兩角和公式可得： si n(B C)sin BcosC cos BsinC由，兩式可得 sinBcosB, tan B 1*解法2:由題意得：a bcosC csin B又由三角函數(shù)知識可知abcosC ccosB由，兩式可得:B 一4sin B cosB,b sin A sin B sin Ca 2 . 2 sin A, c 2 2 sin

6、 C(2)解:SABCabacsi nB 2 2 si n As in C2A B)S ABC2、一 2 sin Asin( 34A) 2,2 sinA( AcosA2sinAA)22sin2A 2sin AA 3 . '8 時 ， S ABC 的最大值為.22、利用均值不等式b* 2ab,2ab,(a 0,b0)成立a b，2, a2,(a 0)等求最大、小值，并證明一類不等式例1、 ABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為 a,b,c ,已知a bcosC csinB若b 2，求ABC面積的最大值。解：由1的例5,解得B 4, sin B 2 2 ,ABC的面積 S - acs in

7、B - ac24由已知及余弦定理得：42accos -，又 Q a2 c2 2ac, 4 2ac、2ac24 晅 廠 lacsabc 4 2.2 汽(2 血逅 1ABC面積的最大值為2 1例2、已知AC，BD為圓0 : x2+ y2= 4的兩條相互垂直的弦，垂足為AM (1, ,2)，貝y四邊形ABCD的面積的最大值為_5 解：四邊形面積11S BD AM BD MC221 丄 BD AC2即求AC >BD最大值設(shè)E , F分別為AC , BD中點(diǎn)，則有OE2 OF2 OM 23 , OE2 AE24 , OF2 + BF 2 = 4貝 S OE2 OF 2 AE2 BF 28 , AE

8、2 + BF 2 = 51 1 2 2 1 2 2S BD AC (BD AC ) (4BF 4AE )544例3、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0), B(0,)是它的兩個頂點(diǎn)，直線y kx(k 0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).(1)若EED 6甜，求k的值；(2)求四邊形AEBF面積的最大值解：(1 )過A(2,0) ,B(0,1)的橢圓方程一y2 14直線AB方程X 2y 2 , ef的方程y kx設(shè) D(xo , kxo), E(x i , kx i), F(X2 , kx2)其中Xi X2 , X。2kXo2則 X0 忌,* 需小又X- k1 , (1 4k 2)x2o

9、42X2X1v'1 4k2由 ED 6DFXo X1 6(x2Xo) Xo1(6x2 X1)5 X221 2k；a24k2-25k 6 0 k 3/8-k 2/37V14k2(2)設(shè)A到ef的距離為B至u EF的距離為h2,貝uef 、4x2 4k2x22 1 k2hi，則 hi 2k/ dk2 ,1/ .1 k2 ,1或 EF.1 k2 X22 2k 12(2k 1)? 1 4k2.1 k24k22、2, (2 k 1)21 4k24k四邊形AEBF的面積為：1221 k2S 2EF(h1 h2)2 1 4k2 4k 2 1 4k:1 4k2: 1 4k2解法二：由四個三角面積之和Q

10、QQS BOF S BOE S AOF° AOEOB X2OB (Xi)OAy21-OA( yi)11( X2 Xi)2 2(y2 yi) X22y2X 2y2)24y； 4X2y2 xf 4y ；x； 4y ；, 2(xf 4y；)2 2X2 4y2 4x2 y2,當(dāng)X2 2y2時，即k 2時，等式成立，最大值為2 2.3(ab bc ca) 1,即ab1 bc ca.3222證明1 : Q a K b2a,bcc 2b,a 2 c,bca2 22a bb cc(a bc) 2(a b c),a2 .22即丄bca b c,bc2,2 2a b c , b c aa1.所以，a2

11、b2 c21 (2ab 2bc 2ca),5分7分10分例4、設(shè)a,b,c均為正1 證明：數(shù)，(1)ab1bc ca ；3 ；2c1a(1)證明：由 a2 b2 2ab,b2c2 2bc,2小a 2ca,2 2 2bc ca,a b c ab由題設(shè)得(a b c)21,即 a2 b22c 2ab 2bc 2ca 1,證明 2: Q(a b c)21,2 .22abc(a b c)()b c a,2b3a 2 a c ba aba3 e2b E 丁 J b aa2e b3 2 a2ebea3 e2bb3 b e i bb32b ee2ae,2ab,2be,a b e 2ab 2be 2ea (a

12、 b e) 1 b ee2b22222.2 2即a_丄i.b e a10分例5、已知拋物線X2 4y的焦點(diǎn)為F , A、B是拋物線上的兩動點(diǎn)，且 AF FB(0 )，過B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)證明FM，AB為定值，設(shè)Sabm f()，求其表達(dá)式及最小值。證明：設(shè)A(Xi ,yj ,則過A點(diǎn)的切線方程為B(X2 , y2),Xi(x 2( yiy2X2(x1 2 1y -x， y -x，4過B點(diǎn)的切線方程為x)，即 y - xx -x224(1)聯(lián)立方程(1)( 2)，得xXiX22Xi ,iX2)，即XiX2，4yi)化皿i)y - X2X - x|則有XiX2i yi(y2 i)，解之

13、得yiy，ixi X2FMxiX22，2)，所以，F(xiàn)Mi AB(xi X2)( xi X2)2又由 FM ABSabm -AB FM2AB1 yi 1y2124，F(xiàn)M/XI X2(2)2 ( 2)2 F(0,1)，AF FB，S ABM 2 4 2 4，即 min S ABM 4。因?yàn)閥i i x24y21 2.X2有:2X2從而Xi 亠M(產(chǎn) i)AB2(yi(X2 Xi,y2 yi)y2)2，再由拋物線的性質(zhì)1 2(Xi X2) 2( Xi42 i 2-X|) o4XX2 423、有一類求最大、小值問題往往是由特殊圖形、特殊函數(shù)或特殊形式構(gòu)成，若能大膽預(yù)測其形式，出奇制勝，會起到事半功倍的

14、效果。例1、設(shè)函數(shù)f X Esinx的最大值為M，最小值為m，則x 1X2 1'x2 1稱，其最大、小值之和為0, Mimi 0，貝y M m 1+M 1 1 mi 2。例2、已知AC, BD為圓O: x2 + y2 = 4的兩條相互垂直的弦，解：f x 1害叮，由于竺用為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對垂足為M(1,.2)，貝U四邊形ABCD的面積的最大值為5解：設(shè)E， F分別為AC， BD中點(diǎn)1 1 2 2S -BD AC -(BD AC )，4，等式成立AC BD OE OFOM巧OFOM sin45° 房,AE2BF2R2OF 2-，AE2+ BF2:=52max SYabcd八(

15、BD2AC2)-(2BF)2(2 AE)2 AE則OEMF為正方形，(若能預(yù)測可簡化計算)3BF2例3、 ABC 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a bcosC csinB ， 若b 2，求 ABC面積的最大值。maxS abccot 8昭32ta n3 81 ta n28 12tan 38maxS abc1bhtan A底邊邊長固定，頂角固定的三角2tan 8tan11。J2 12,A i( 4)解：由1的例5,解得B 4,形面積最大時一定是等腰二角形,tan2g 8 1 12: ； 2%taO2ta n，1 0ta n 工 2 18 8 8斤亠亠 一T小uuu uuu例 4、在

16、 ABC 中，已知 AC b 2,AB CB 1,貝廿 maxS abc、2解：設(shè) A(0,0), C(2,0), B(x,y)，貝V :uuuuuuAB (x, y),CB (x 2,y) ABLLUDuuu o rCB x2 2x y21，即(x 1)2y2 2當(dāng) x 1 時，maxy、2max SABC注意當(dāng)x 1時，ABC是等腰三角形，底邊上的中線即為底邊上的高， AC b 2, AB CB 1 時，maxS abc 罷，uur uuuuur uuuAC b 2, AB CB 0 ， max S abc 1， AC b 2, AB CB 2 ，maxS abc .3，依此類推，并可推廣

17、到底邊改變的情形。1 例5、設(shè)向量a i、b、c滿足a lb1， a bo-，a c,b c 60 o，則c|的最大值等于(A)(a)2(B)(C )運(yùn)(D)1V3解答1由alb1a b -a b a bcos,b)cos(?, b)1(?,b)2,120o1方法一：由四點(diǎn)共圓，當(dāng)ADCABC 90 o， c取最大值，c最 大值為2,此時AC為圓直徑，可作圖表示，故選( A)。方法二：取a,b夾角的平分線，及a c,b c的夾角平分線，則 為(D )四邊形分為二個直角三角形， maxc 2，可作圖表示，故選(A)y x例6、若變量x,y滿足約束條件 x 2y 2，則z x 3y的最小值x 2(

18、A) -2(B) -4(C) -6(D) -8解：依題意，X取最小值，y取最大值，x 2, x 2, x 2y 2, y 2最小值點(diǎn)(-2,2) , min 8選(D)或 由圖解法，考查可 行域三個頂點(diǎn)(-2,-2 )(2/3 ,2/3)及(-2, 2),最小值點(diǎn)(-2，2) min 8選(D)例7、已知棱長為1的正方體ABCD ABiCD中，點(diǎn)E,F分別是BBi,DDi上的動點(diǎn)，且 BE D1F(01/ 2)，設(shè)EF與AB所成的角為，與BC所成的角為，則 的最小值是()。x軸的正半軸重合，且長度單位相同，直線I的極坐標(biāo)方程為(A) 6(B) 3(c)2 ( D)令解：作 EG/BA，貝 H

19、FG .1 (1 2 )2. 4 2 42tan.4 2 42令f()4242 f ()84012 ,tan1 tan ,故 min()2，選(C)?；蛴锰厥庵捣?由已知的取值范圍令0,tan.2 142 5 J ，取12,.4即得。例&已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0處，極軸與10-2 si n( 4),動點(diǎn) P(2cos ,2sin 2),參數(shù) 0,2求(1)點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程，(2)點(diǎn)P到直線I的最大距離解x 2cos , y 2s in2,0,2解：(1)2 2 2 2x y 4cos4s in 8s in 4 4(2si n 2) 4y或：x2 (y 2)24，為

20、點(diǎn)P的直角坐標(biāo)方程，即是一圓心為(0,2)，半徑為2的圓(2)由題意，、2 sin( 4) sin cos 10直線I的直角坐標(biāo)方程為：y x 10，或?yàn)椋簒 y 10 0 圓心(0,2)到直線I的距離為：di卩廠2叫W2 ,1TFT故點(diǎn)P到直線I的距離最大值為4匹24、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，并證明一類不等式。例1、一直正四棱錐S ABCD中，SA 2. 3，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為(A) 1(B)(C) 2(D) 3解：設(shè)AB X,則AOSO .23 21x2 212273/ I '/ 丄1V X 2? L3? 21 4 “ V x (12 91 48x39V21 2

21、x21 2、x ) 23x5或用選項(xiàng)求正四棱錐(12x4 丄屮)9220， x16， xS ABCD的體積,SO選(C)22 3，(A) h SO 1,SA 2、3, AO . 11, AC 2.11, AB ,22,V同理可得(B)V 6 3,(C) V =32/3,(D) V =6,選(C)例2、等差數(shù)列4的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100,S1525，則nSn的最小值為()解：由于Sn是n,n2的函數(shù)，設(shè) Sn An2 Bn,100A 10B0,10B10A,S5225A15B25 ,nSn 1 3 n10 2n ,設(shè)f(x)33x弓取最小值n6,n7,-7Sy1 -497 1104933例

22、3、已口函3y x3xc的知數(shù)1 9(A)2或2(B)或45A 3B 5, A -,B?x 2,f(x) x36S6-36 6310333220x 0 ,36 64849則nSn的最小值為49圖 x軸恰有兩個公共點(diǎn)，則c 像-3(C)1 或 1(D) 3 或 1解答：依題意圖像與x軸恰有兩個公共點(diǎn)，則或極大值為零，或極小值為零，則 y=3x2 3=0，X1= 1， X2=1，為二1是極大值點(diǎn)，極大值y( 1)1 3 c 0，則c 2X2=1是極小值點(diǎn)，極小值y(1) 1 3 c 0，則c 2，選(A )。2例4、已知函數(shù)f(x)坐7,x 0,1，則f (x)的值域?yàn)?, 32解：f(x) 4x

23、 16x 7 (2 x)271f(0)-, f(1)3, fH)22例5、(I)設(shè)函數(shù)f (x)2 x(2x(J2:7) 0，得 X1 1x2 2 ,(舍去(2 x)224 , max f 3.min f 4. f(x)的值域?yàn)?4, 3。ln(1 x)，證明：當(dāng)x >0 時，f (x) > 0；x 2(n)從編號1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取 20次，設(shè)抽得的20個號碼互補(bǔ)相同的概率為 p。證明：p <(10) 19< e解: ( 1)、f'(x)當(dāng) x 0 時，f'(x) 0，(x 1)(x 2)2所以f(x

24、)為增函數(shù)，又因?yàn)閒(0) 0所以，當(dāng)x 0時，f(x) 0100 99(2 ) P81a b 2. ab ab可得99 81902,9882902,91 8929019所以910由(1)知：當(dāng)xln(1,因此(1x)在上式中，令x則191譚2，即10919e2所以P19910(1 )的第二種解法要證當(dāng)x只需證明令 g(x)(：再令h(x)所以當(dāng)又 h(0)-0 時，f (x)ln(1 x)2x 0x 2,只證 ln(1 x)(x 2)l n(1 x)2x 0.x 2) ln(1 x)2x，貝U g'(x) ln(1xx) cg'(x) ln(1x) 1x,1 x則 h'

25、;(x)x(1 x)20 時，h'(x)0，故當(dāng)x 0時，h(x)是增函數(shù)，是最小 值，所以當(dāng)：x 0時，g (x) h(x) h(0)x002x才進(jìn)一步ln(1x)所以當(dāng)因此當(dāng)0時，0時,g(x)也是增函數(shù),又g(0) 0是最小值g(x)g(0)即(x 2)l n(1 x) 2x 0由此可知當(dāng)x 0時,f(x)例6、設(shè)函數(shù)f (x) 1證明：當(dāng)x>1時，f(x)(U)設(shè)當(dāng)x > 0時，f (x) < x 一，求a的取值范圍 ax 1(I )解法1：當(dāng)x 1時，f (x)，當(dāng)且僅當(dāng)ex 1 xx 1令 g (x) ex則 g (x)ex 1當(dāng)x 0時，g(x)0 ,

26、g(x)在】0,)是增函數(shù)當(dāng)x 0時，g(x)0 , g(x)在(,0是減函于是g(x)在x 0處達(dá)到最小值 數(shù)即ex1)f(x) x因而當(dāng)x R時，g(x) g(0)包當(dāng)x 1時，f (x)x 1解法2： Q當(dāng)x 1時，f(x)(x 1)(1 e令 g(x) (x 1)(1xxe e則 g (x) e x xexxeg(x)在(1,0:是減函數(shù)g(x)在:0,)是增函數(shù)故:g(x) g(0)0,二 f(x)(II )由題設(shè)x 0，此時f (x)0時，若x 1，貝y 0, f (x)亠不成立a ax 1ax 10 時，令 h(x) axf (x) f(x) x，貝 yf(x)當(dāng)且僅當(dāng) h(x)

27、 ax 1h(x) af (x) axf (x) f (x)af (x) axf (x) ax f (x)1當(dāng)0 a 2時，由知：x (x 1)f(x)h (x) af(x) axf(x) a(x 1)f(x) f(x)(2 a 1)f (x)0h(x)在:0,)是減函數(shù)，故 h(x) h(0) 0,即 f(x) (ii)當(dāng) a 1 時，由(i)知x f (x)2xax 1h (x) af (x) axf (x) ax f (x)af (x) axf (x) af (x) f (x)(2 a 1 ax) f (x)綜上仞A時，h (x) 0 ah(x) h(0)0,即：f (x)a的取值范圍是

28、吧xax 1設(shè)函數(shù)f(x)= x2 * *+ aln 1 + x有兩個極值點(diǎn),x?，且花x?.)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調(diào)性；(n )證明:121 n 2f(X2)4解： (I )由題設(shè)知，函數(shù)f(x)的定義域是x 1 ,X(1, X1)X1(%2)X2(糾f '(X)+0-0+f(x)極大值極小值且 f '(x).1 2a1.1 2a且x1% 廠1,故 a 0.因此a的取值范圍是(0，2).當(dāng)x變化時，f (x)與f (x)的變化情況如下表2x2(1 X2)因此f(x)在區(qū)間(1,xJ和(X2,)是增函數(shù)，在區(qū)間(0X2)是減函數(shù).(II )解法1 :由題設(shè)和0知-

29、X2 0, a2于是 f(X2)Xf 2x2(1 X2)l n(1 X2).設(shè)函數(shù) g(t) t2 2t(1 t)ln(1 t),貝 Sg (t)2(12t)l n (1 t).1 時，g (t) 022,0)時，g (t)于是，當(dāng)t(2,0)時,因此f (X2)gg解法2:X21設(shè) f(X2：)g(a)(4.1 2a2g(t) g( 2)1 2ln 240,故g(t)在區(qū)間丄,0)是增函數(shù).21 2ln 24g'(a)所以)2 al n(12112a)21 2a 1| (1 心 2a)2- |n( 2 )1 2a(11 2a)i/1ln(1 2ag(a)在(0,)單調(diào)遞減，211 2

30、l n2g(a) g(-)設(shè) f(a) 1x3 (1 a)x2 4ax 24a,4其中常數(shù)g (a)所以例8(1 )討論f(x)的單調(diào)性;f(X2)a 1. 3(2)若當(dāng)x 0時，f (x) 0恒成立，求a的取值范圍.解：(1) f (x) x22(1 a)x 4a (x 2)(x 2a)由a 1知，當(dāng)x 2時，f (x) 0, f (x)在,2上是增函數(shù)；當(dāng)2 x 2a時，f (x) 0,f(x)在2,2a上是減函數(shù)；當(dāng)x 2a時，f (x) 0, f (x)在2a ,上是增函數(shù)；綜上，當(dāng)a 1時，f(x)在(,2)與 2a ,上是增函數(shù)，在(2,2a)上是減函數(shù)(2)由(I )知，當(dāng)x 0

31、時，f(x)在x 0或x 2a處取得最小值.4 3 心)3a24a 24a, f (0)24aa 1由題設(shè)知f (2a)0f(0) 0即4a3a 124a 24a0，解得1 a6 .324a0例9、設(shè)a R,函數(shù)f(x)32ax 3x ?(1)若 x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，求a的值若函數(shù)g (x) f (x) f (x), x 0,2 ,在x 0處取得最大值，求a的取值范圍.解：(1) f (x) 3ax 2 6x 3x(ax 2)由題設(shè) f (2) 0,貝 U 2a 2 0,a 1當(dāng) 0 x 2, f (x) 0;當(dāng) x 2, f (x)0,x 2 是 f (x)的極小值點(diǎn).(2)由題設(shè)

32、 g(x) ax3 3x2 3ax2 6x 在 x 0 取得最大值 g(0),2 oa反之，當(dāng) a 6時，對任意 x 0,25g(x) 6x33x2 63x2 6x 3x(2x 2x 10)3x(2x 5)( x 2)05 5 5 5而g(0) 0.故當(dāng)a 6時，g(x)在0,2最大值為g(0).5例10、已知函數(shù)f X x3 x，設(shè)a 0,如果過點(diǎn)a, b可作曲線y f x的三條切 線.證明： a b f a .證明：因?yàn)橐?fa b ,所以此題實(shí)際上是曲線外一點(diǎn)a, b 可作曲線的三條切線來推證不等式成立，因此與切線方程及相關(guān)的問題有關(guān)，可通過切線方程來推證 .由曲線y f x在點(diǎn)M t,

33、 f t處的切線方程為y 3t2 1 x 2t3可 得過點(diǎn)a, b的 切線應(yīng)為 b 3t2 1 a 2t3，即有 2t3 3at2 a b 0 , 若令 gt 2t3 3at2 a b .通過求函數(shù) g gt的一階導(dǎo)數(shù)并確定其單調(diào)區(qū)間及極大值與極小值，可得極大值為ab，極小值為b f a .若過點(diǎn)a, b可作曲線y fx的三條切線，方程 2t3 3at2 a b 0關(guān)于t必有 三個相異實(shí)根，此時三次曲線g g t與t軸有三個交點(diǎn)，即函數(shù) g gt有三個零點(diǎn)函數(shù)g gt有三個 零點(diǎn)的充要 條件是極大值大于零且極小值小于零同時成立，所以問題得到證明 .若過點(diǎn)a, b可作曲線y fx的二條切線，則方程 2t3 3at2 a b 0關(guān)于t必 有二個相異實(shí)根，且其中有一個根是二重根，此時三次曲線g gt與