三角形的證明

1、8月13日一選擇題（共8小題）1（2016湖州）如圖，ABCD，BP和CP分別平分ABC和DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直若AD=8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A8B6C4D22（2016黃石）如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D，A=50°，則BDC=（）A50°B100°C120°D130°3（2016荊州）如圖，在RtABC中，C=90°，CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E若BC=3，則DE的長為（）A1B2C3D44（2016西華縣校級模擬）如圖，已知點(diǎn)P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，AOB=60&

2、#176;，PDOA，M是OP的中點(diǎn)，DM=4cm，如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為（）A2B2C4D45（2016泰安模擬）如圖，在已知的ABC中，按以下步驟作圖：分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD若CD=AC，A=50°，則ACB的度數(shù)為（）A90°B95°C100°D105°6（2016棗莊一模）如圖，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF若A=60°，ACF=48°，則ABC的度數(shù)為（）A48°B

3、36°C30°D24°7（2013柳州）在ABC中，BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分BAC交BC于D，則BD的長為（）ABCD8（2005廣州）如圖，已知點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（1，2），在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有（）A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D7個(gè)二填空題（共5小題）9（2016西寧）如圖，OP平分AOB，AOP=15°，PCOA，PDOA于點(diǎn)D，PC=4，則PD=10（2016長沙）如圖，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，則BCE的周長為11（2016

4、綿陽）如圖，ACBD，AB與CD相交于點(diǎn)O，若AO=AC，A=48°，D=12（2015河北）如圖，BOC=9°，點(diǎn)A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=13（2013煙臺）如圖，ABC中，AB=AC，BAC=54°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且ODAB，BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將C沿

5、EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則OEC為度三解答題（共4小題）14（2016菏澤）如圖，ACB和DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE（1）如圖1，若CAB=CBA=CDE=CED=50°求證：AD=BE；求AEB的度數(shù)（2）如圖2，若ACB=DCE=120°，CM為DCE中DE邊上的高，BN為ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN15（2016丹東模擬）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，A=90°，BD=BC，CEBD于點(diǎn)E求證：AD=BE16（2016江干區(qū)一模）在ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的

6、高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)（1）指出圖中的一個(gè)等腰三角形，并說明理由（2）若A=x°，求EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達(dá)）（3）猜想ABC和EDA的數(shù)量關(guān)系，并證明17（2013青羊區(qū)一模）如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；（2）如圖，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由8月13日參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1（2016湖州）

7、如圖，ABCD，BP和CP分別平分ABC和DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直若AD=8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A8B6C4D2【解答】解：過點(diǎn)P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分別平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故選C2（2016黃石）如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D，A=50°，則BDC=（）A50°B100°C120°D130°【解答】解：DE是線段AC的垂直平分線，DA=DC，DCA=A=50°，BDC=DCA+A=

8、100°，故選：B3（2016荊州）如圖，在RtABC中，C=90°，CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E若BC=3，則DE的長為（）A1B2C3D4【解答】解：DE垂直平分AB，DA=DB，B=DAB，AD平分CAB，CAD=DAB，C=90°，3CAD=90°，CAD=30°，AD平分CAB，DEAB，CDAC，CD=DE=BD，BC=3，CD=DE=1，故選A4（2016西華縣校級模擬）如圖，已知點(diǎn)P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，AOB=60°，PDOA，M是OP的中點(diǎn)，DM=4cm，如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

9、則PC的最小值為（）A2B2C4D4【解答】解：P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，AOB=60°，AOP=AOB=30°，PDOA，M是OP的中點(diǎn)，DM=4cm，OP=2OM=8，PD=OP=4，點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC的最小值為P到OB距離，PC的最小值=PD=4故選C5（2016泰安模擬）如圖，在已知的ABC中，按以下步驟作圖：分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD若CD=AC，A=50°，則ACB的度數(shù)為（）A90°B95°C100°D105°【解答】解：CD=

10、AC，A=50°，ADC=A=50°，根據(jù)題意得：MN是BC的垂直平分線，CD=BD，BCD=B，B=ADC=25°，ACB=180°AB=105°故選D6（2016棗莊一模）如圖，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF若A=60°，ACF=48°，則ABC的度數(shù)為（）A48°B36°C30°D24°【解答】解：BD平分ABC，DBC=ABD，A=60°，ABC+ACB=120°，ACF=48°，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E

11、，BF=CF，F(xiàn)CB=FBC，ABC=2FCE，ACF=48°，3FCE=120°48°=72°，F(xiàn)CE=24°，ABC=48°，故選：A7（2013柳州）在ABC中，BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分BAC交BC于D，則BD的長為（）ABCD【解答】解：BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，BC邊上的高=3×4÷5=，AD平分BAC，點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等，設(shè)為h，則SABC=×3h+×4h=×5×，解得h=，SABD=×

12、;3×=BD，解得BD=故選A8（2005廣州）如圖，已知點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（1，2），在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有（）A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D7個(gè)【解答】解：以A為直角頂點(diǎn)，可過A作直線垂直于AB，與坐標(biāo)軸交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求；以B為直角頂點(diǎn)，可過B作直線垂直于AB，與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)也符合P點(diǎn)的要求；以P為直角頂點(diǎn)，可以AB為直徑畫圓，與坐標(biāo)軸共有3個(gè)交點(diǎn)所以滿足條件的點(diǎn)P共有6個(gè)故選C二填空題（共5小題）9（2016西寧）如圖，OP平分AOB，AOP=15°，PCOA，PDOA于點(diǎn)D，PC=4，則PD=2【解答】解

13、：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），BOP=AOP=15°，AOB=30°，PCOB，ACP=AOB=30°，在RtPCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），PD=PE=2，故答案是：210（2016長沙）如圖，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，則BCE的周長為13【解答】解：DE是AB的垂直平分線，EA=EB，則BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案為：

14、1311（2016綿陽）如圖，ACBD，AB與CD相交于點(diǎn)O，若AO=AC，A=48°，D=66°【解答】解：OA=AC，ACO=AOC=×（180°A）=×（180°48°）=66°ACBD，D=C=66°故答案為：66°12（2015河北）如圖，BOC=9°，點(diǎn)A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得

15、第3條線段A2A3；這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=9【解答】解：由題意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，則AOA1=OA1A，A1AA2=A1A2A，BOC=9°，A1AB=18°，A2A1C=27°，A3A2B=36°的度數(shù)，A4A3C=45°，9°n90°，解得n10由于n為整數(shù)，故n=9故答案為：913（2013煙臺）如圖，ABC中，AB=AC，BAC=54°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且ODAB，BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）

16、折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則OEC為108度【解答】解：如圖，連接OB、OC，BAC=54°，AO為BAC的平分線，BAO=BAC=×54°=27°，又AB=AC，ABC=（180°BAC）=（180°54°）=63°，DO是AB的垂直平分線，OA=OB，ABO=BAO=27°，OBC=ABCABO=63°27°=36°，AO為BAC的平分線，AB=AC，AOBAOC（SAS），OB=OC，點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，又DO是AB的垂直平分線，點(diǎn)O是ABC的外心，OCB=OBC

17、=36°，將C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，OE=CE，COE=OCB=36°，在OCE中，OEC=180°COEOCB=180°36°36°=108°故答案為：108三解答題（共4小題）14（2016菏澤）如圖，ACB和DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE（1）如圖1，若CAB=CBA=CDE=CED=50°求證：AD=BE；求AEB的度數(shù)（2）如圖2，若ACB=DCE=120°，CM為DCE中DE邊上的高，BN為ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM

18、+BN【解答】（1）證明：CAB=CBA=CDE=CED=50°，ACB=DCE=180°2×50°=80°ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+BCE，ACD=BCEACB和DCE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC在ACD和BCE中，有，ACDBCE（SAS），AD=BE解：ACDBCE，ADC=BEC點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且CDE=50°，ADC=180°CDE=130°，BEC=130°BEC=CED+AEB，且CED=50°，AEB=BECCED=130°50

19、6;=80°（2）證明：ACB和DCE均為等腰三角形，且ACB=DCE=120°，CDM=CEM=×（180°120°）=30°CMDE，CMD=90°，DM=EM在RtCMD中，CMD=90°，CDM=30°，DE=2DM=2×=2CMBEC=ADC=180°30°=150°，BEC=CEM+AEB，AEB=BECCEM=150°30°=120°，BEN=180°120°=60°在RtBNE中，BNE=9

20、0°，BEN=60°，BE=BNAD=BE，AE=AD+DE，AE=BE+DE=BN+2CM15（2016丹東模擬）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，A=90°，BD=BC，CEBD于點(diǎn)E求證：AD=BE【解答】證明：ADBC，ADB=DBCCEBD，BEC=90°A=90°，A=BECBD=BC，ABDBCEAD=BE16（2016江干區(qū)一模）在ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)（1）指出圖中的一個(gè)等腰三角形，并說明理由（2）若A=x°，求EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達(dá)）（3）猜想ABC和EDA的數(shù)量關(guān)系，并證明【解答】解：（1）DEF是等腰三角形CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)，EF=BC，DF=BC，EF=DF，DEF是等腰三角形；（2）FE=FB，F(xiàn)D=FC，F(xiàn)EB=FBE，F(xiàn)DC=FCD，F(xiàn)EB+FDC=FBE+FCD=180°A=180°x°，AED+ADE=180°A=180°x°，F(xiàn)ED+FDE