裂項相消法講義【提高篇】

1、1、利用裂項相消法求和應注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩幾項，后面對稱地也剩幾項,且前面所剩項的符號與后邊剛好相反，例如數(shù)列的求和。(2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等如：若an是等差數(shù)列，則，2. 裂項相消法求和是歷年高考的重點，命題角度凸顯靈活多變，在解題中要善于利用裂項相消的基本思想，變換數(shù)列an的通項公式，達到求解目的歸納起來常見的命題角度有：(1) 形如型。如；(2)形如an型；(3)形如an型；(4)形如an型(5)形如an型；(6).角度1形如an型;【例1】 在等比數(shù)列an中，a1>0，nN*，

2、且a3a28，又a1、a5的等比中項為16.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bnlog4an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得<k對任意nN*恒成立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請說明理由解析 (1)設數(shù)列an的公比為q，由題意可得a316，a3a28，則a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，（）（1）<<，存在正整數(shù)k的最小值為3.2已知數(shù)列an的前n項和Sn與通項an滿足Snan.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設f(x)log3x，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2 012；解析 (1)當n1

3、時，a1，當n2時，anSnSn1，又Snan，所以anan1，即數(shù)列an是首項為，公比為的等比數(shù)列，故ann.(2)由已知可得f(an)log3nn，則bn123n，故2，又Tn22，所以T2 012.變式1.在等差數(shù)列中，其前項和為，等比數(shù)列 的各項均為正數(shù)，公比為，且，.（1）求與；（2）設數(shù)列滿足，求的前項和.解析（1）設的公差為.因為所以解得 或（舍），.故 ，. （2）由（1）可知，所以.故變式2. (2013·江西高考)正項數(shù)列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析 (1)由a(2n1)an2n0，

4、得(an2n)·(an1)0.由于an是正項數(shù)列，所以an2n.(2)由an2n，bn，得bn.Tn.變式3. 已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn，nN*.(1)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設bn，Tnb1b2bn，求Tn.解析 (1)證明Sn，nN*，當n1時，a1S1 (an>0)，a11.當n2時，由得2anaanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan1>0，anan11(n2)所以數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得ann，Sn，bn.Tnb1b2b3bn11.變式4. (12分)已知數(shù)列an的前n項和為S

5、n，且a11，an1Sn(n1,2,3，)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)當bn時，求證：數(shù)列的前n項和Tn.解析 (1)由已知得 (n2)，得到an1an (n2)數(shù)列an是以a2為首項，以為公比的等比數(shù)列又a2S1a1，ana2×n2 n2 (n2)an(2)證明bnlog(3an1)logn.Tn1.變式5. 已知正項數(shù)列an，bn滿足a13，a26，bn是等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都有bn，bn1成等比數(shù)列(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)設Sn，試比較2Sn與2的大小解析 (1)對任意正整數(shù)n，都有bn，bn1成等比數(shù)列，且an，bn都為正項數(shù)列，anbnbn1(nN*

6、)可得a1b1b23，a2b2b36，又bn是等差數(shù)列，b1b32b2，解得b1，b2.bn(n1)(2)由(1)可得anbnbn1，則2，Sn21，2Sn2，又22，2Sn.當n1,2時，2Sn<2；當n3時，2Sn>2.角度2形如an 型【例2】 已知函數(shù)f(x)xa的圖像過點(4,2)，令an，nN*.記數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2 013_.解析 由f(4)2可得4a2，解得a，則f(x)x.an，S2 013a1a2a3a2 013()()()()1.角度3形如an型;【例3】 (2013·新課標卷)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S30，S55.(1)求

7、an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解析 (1)設an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得故an的通項公式為an2n.(2)由(1)知，從而數(shù)列的前n項和為.變式1. 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析 (1)Snnann(n1)，當n2時，Sn1(n1)·an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)·(n2)，即anan12.數(shù)列an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列，故an1(n1)·22n1，nN*.(2)由(1)知

8、bn，故Tnb1b2bn1.變式2. 在數(shù)列an中，a11，當n2時，其前n項和Sn滿足San.(1)求Sn的表達式；(2)設bn，求bn的前n項和Tn.解析 (1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1·Sn0，式兩邊同除以Sn1·Sn，得2，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn(1)()().變式3. 已知數(shù)列an前n項和為Sn，首項為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(log2a2n1)×(log2a2n3)

9、，求證：<.(1)解，an，Sn成等差數(shù)列，2anSn，當n1時，2a1S1，a1，當n2時，Sn2an，Sn12an1，兩式相減得anSnSn12an2an1，2，數(shù)列an是首項為，公比為2的等比數(shù)列，an×2n12n2.(2)證明bn(log2a2n1)×(log2a2n3)log222n12×log222n32(2n1)(2n1)，×()，(1)()()(1)<(nN*)即<.變式4. (2014·浙江協(xié)作體三模)在直角坐標平面上有一點列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，對一切正整數(shù)n，點Pn在

10、函數(shù)y3x的圖像上，且Pn的橫坐標構成以為首項，1為公差的等差數(shù)列xn(1)求點Pn的坐標；(2)設拋物線列C1，C2，C3，Cn，中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線Cn的頂點為Pn，且過點Dn(0，n21)記與拋物線Cn相切于點Dn的直線的斜率為kn，求.解析 (1)xn(n1)×(1)n，yn3xn3n.Pn.(2)Cn的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，設Cn的方程為yax2.把Dn(0，n21)代入上式，得a1，Cn的方程為yx2(2n3)xn21.kny|x02n3， .角度4形如an型;【例4】 (2013·江西高考)正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n

11、1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn<.解析 (1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于數(shù)列an是正項數(shù)列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上可知，數(shù)列an的通項公式an2n.(2)證明：由于an2n，bn，則bn.Tn<.【例4】 已知等比數(shù)列的前n項和為，公比，成等差數(shù)列（1） 求的通項公式（2） 設，求數(shù)列的前n項和。解析：(1)因為成等差數(shù)列，所以.化簡得.所以. 因為，所以.故 (2) 角度5形如an型已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a13，若數(shù)列Sn1是公