(完整版)求展開(kāi)式系數(shù)的六種常見(jiàn)類型

1、求展開(kāi)式系數(shù)的六種常見(jiàn)類型求展開(kāi)式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一，本文以高考題為例，對(duì)二項(xiàng)式定理 試題中求展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題加以歸類與解析，供讀者參考。一、(a b)n(n N )型例1. (x 應(yīng)y)10的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是()(A) 840(B) 840(C) 210(D) -210解析：在通項(xiàng)公式Tr 1 CM J2y)rx10中令r=4,即得(x T2y)10的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為C14)( 72)4=840，故選Ao例2. (x 上)8展開(kāi)式中x5的系數(shù)為 x183rq解析：通項(xiàng)公式Tr1 C8x8r( y)r ( 1)rC8x 2 ，由題意得8 3r 5, ,x2則r 2,

2、故所求x5的系數(shù)為(1)2C； 28。評(píng)注：常用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中某特定項(xiàng)的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定r的值。二、(a b)n (c d)m(n,m N )型例3. (x3 -)4 (x l)8的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)等于 . xx解析；(x3 2)4 的通項(xiàng)公式為 Tr1 C；(2)(x3)4r C；( 2)rx124，令 xx12 4r 0,則r 3,這時(shí)得(x3 ?)4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C323 = 32, x(x 1)8的通項(xiàng)公式為Tk1 C；d)kx8k C；x82k,令8 2k 0,則k 4,這時(shí)得 xx(x 1)8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C；=70,故(x3 2)4 (

3、x 1)8的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng) xxx等于 32 70 38。例4.在(1 x)5 (1 x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()(A) 5(B) 5(C)10(D) 10解析：(1 x)5中X3的系數(shù)C310 ,(1 x)6中x3的系數(shù)為Ce ( 1)3 20,故(1 x)5 (1 x)6的展開(kāi)式中X3的系數(shù)為10,故選D 。評(píng)注：求型如(a b)n (c d)m(n,m N )的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分 別展開(kāi)兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式加減法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。三、(a b)n(c d)m(n,m N )型例5. (x2 1)( x 2)7的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)是。解析：(x 2)7的展開(kāi)式中x、x

4、3的系數(shù)分別為 C7( 2)6和C3( 2)4,故(x2 1)(x 2)7 的展開(kāi)式中 x3 項(xiàng)的系數(shù)為 C7( 2)6+C3( 2)4=1008。例6. x 1 x 1 8的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是()(A )14( B ) 14(C )28(D)28略解：(x 1)8的展開(kāi)式中x4、x5的系數(shù)分別為C；和C，,故x 1 x 18展 開(kāi)式中x5的系數(shù)為C84 C8 14,故選B。評(píng)注：求型如(a b)n(c d)m(n,m N )的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別 展開(kāi)兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式乘法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。四、(a b c)n(n N )型例7. (x 1 J5)5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 .

5、2 x5, k 1 解法 一：B1炎)5=(31)<2 ，通項(xiàng)公式丁C：22(-1)5k,2x2x2x,x 1.5kr r 5 k r (5 k r)r 5 2r k k r 5 人(-) 的通項(xiàng)公式為Tr 1 C5 kx x 2 < ) C5 kx 2，令2 x5 2r k 0,WJk 2r 5,可得 k 1,r 2或 k 3,r 1或 k 5,r 0。,_ - c 15.9當(dāng)k 1,r 2時(shí)，得展開(kāi)式中項(xiàng)為C5Cj222 2 15必；2當(dāng)k 3,r 1時(shí),，得展開(kāi)式中項(xiàng)為C5C22V2 2 1 20行；當(dāng)k 5,r 0時(shí)，得展開(kāi)式中項(xiàng)為C；4T2 4垃綜上，仁 1 V2)5的展

6、開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 殍 20.2 4.2 63-2 2 x22cc 5解法二：(個(gè) 21°、5 /X 2 . 2x 2、5 (x .2) (x . 2)2) =() =5=x2x(2x)5(2x)5項(xiàng)式(x 、，；2)10中，Tr 1 CiOx10r(T2)r,要得到常數(shù)項(xiàng)需10 r 5,即r 5。所C5以，常數(shù)項(xiàng)為C10(.2)563 , 22解法三：(-1 V2)5是5個(gè)三項(xiàng)式仁-V2)相乘。常數(shù)項(xiàng)的產(chǎn)生有三2 x2 x種情況：在5個(gè)相乘的三項(xiàng)式(x 1 歷中，從其中一個(gè)取x,從另外4個(gè)三2 x2項(xiàng)式中選一個(gè)取1,從剩余的3個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得 xc5 1 c4 c；

7、 (J2)3 20V2 ；從其中兩個(gè)取-,從另外3個(gè)三項(xiàng)式中選兩個(gè)取-,5 2 432x從剩余的1個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得 c； (1)2 c；2 & yV2；從5個(gè)相乘的三項(xiàng)式(-揚(yáng)中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得C； (72)5=4亞。2 x綜上，(x1T2)5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為2 x20.2 "二 4.2 4。22評(píng)注：解法一、解法二的共同特點(diǎn)是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決。解法三是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法來(lái)解決問(wèn)題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開(kāi)式中的某特定項(xiàng)。五、(a b)m (a b)m 1 L (a b)n (m, n N

8、,1 m n)型例8.在(1 x) (1 x)2(1 x)6的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是(用數(shù)字作答)解析：由題意得x2項(xiàng)的系數(shù)為C； C； C42 C： C2 35。例9.在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1x)8的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是3 / 5()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 121解析：(1- x)5 + (1 x)6 +(1 x)7 +(18=(1 x)51 (1 x)4(1 x)5 (1 x)91 (1 x)x(1 x)5 中 x4 的系數(shù)為 C54 5,(1 x)9 中 x4 的系數(shù)為一C；126 -126+5=121，故選Do評(píng)注：例8的解法是先求出各

9、展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)，然后再相加；例 9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為（1x）5,公比為（1x）的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和,用等比數(shù)列求和公式減少項(xiàng)數(shù)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。8和例9的解答方法是求(a b)m (a b)m 1 L (a b)n(m, n N ,1n）的展開(kāi)式中某特定項(xiàng)系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六、求展開(kāi)式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差例 10.若(1 2x)20042a0a1x a2x2004 , a 2004 x (xR),則(a0a1) (a0a2)(a0a3)(a0a 2004)o （用數(shù)字作答）解析：在（1200422x)a0 a1x a2x2004 , a2004x中,a1 a2a3a2004(1

10、) 20041故(a0a1) (a0a2)(a0a3)(a0a 2004)=2003a0+a0 a1a2a3a20042004 。例 11 . (2x3)4a0a1x2 a?xa3x3 a4x4 ,則(a022a2a4)(a1a3)令x 1 ,可得a0a1a2a3 a4(23)44 / 5的值為（）(A) 1(B)-1(C) 0(D) 2解析：在（2x , 3）4a1x2a2x-3_4a3xa4x 中,令x 1 ,可得a0a2a3 a4(2 V3)4,所以，(a。a2 a4)2 (a1 a3)2 = (a° a? a4aa3)(a0a? a4 aia3)= (a。 ai a2 a3 a4)(a。 a a2 a3a4)= (2 73)4(2 袁)4=1，故評(píng)注：