2020年《高校自主招生考試》數(shù)學(xué)真題分類解析之5、概率

1、局考精品2015年高校自主招生考試數(shù)學(xué)真題分類解析專題之5、概率一、選擇題。1. （2009年華中科技大學(xué)）從0,1,2,該十個數(shù)碼中不放回地隨機(jī)取n（2 & nW祀數(shù)碼，能排成n位偶數(shù)的概率記為 Pn,則數(shù)列PnA.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2. （2009年華中科技大學(xué)）5張票中有1張獎票，5個人按照排定的順序從中各抽1張以決定誰得到其中的獎票，且后抽的人不知道先抽的人抽出的結(jié)果，則第3個人抽到獎票的概率是A.錯誤！未找到引用B.錯誤！未找到引用源。源。C.錯誤！未找到引用D.錯誤！未找到引用源。

2、源。3. （2009年復(fù)旦大學(xué)）某種細(xì)胞如果不能分裂則死亡，并且一個細(xì)胞死亡和分裂為兩個細(xì)胞的概率都為錯誤!未找到引用源。，現(xiàn)有兩個這樣的細(xì)胞，則兩次分裂后還有細(xì)胞存活的概率是A.錯誤！未找到引用B.錯誤！未找到引用源。源。C.錯誤！未找到引用D.錯誤！未找到引用源。源。1的概A.錯誤！未找到引用B.錯誤！未找到引用源。源。C.錯誤！未找到引用D.錯誤！未找到引用源。源。4. （2012年復(fù)旦大學(xué)）隨機(jī)任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是 率是二、填空題。5. （2009年南京大學(xué)）有一個1,2,的排列，現(xiàn)將其重新排列，則1和2不在原來位置的概率是.三、解答題。6. （2010

3、年中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)）某市在36位政協(xié)委員”候選人中任選2名，其中來自教育界的候選人共有6人，求：（1）至少有1名來自教育界的人當(dāng)選的概率是多少？（2）候選人中任何人都有當(dāng)選的可能性，若選得同性別委員的概率等于錯誤！未找到引用源。，則男女候選人相差幾名 ？（注:男候選人多于女候選人）7. （2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考）一袋中有a個白球和b個黑球，從中任取一個球，如果取出白 球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補(bǔ)一個白球放到袋中.在進(jìn)行n次這 樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為 Xn.（1）求E錯誤！未找到引用源。；（2）設(shè)P（錯誤!未找到引用源。=a+k尸錯誤！未找到引用源。，求

4、P（錯誤!未找到引用源。 =a+k）,k=0,1, ,b;證明：EXn+1 = （1錯誤！未找到引用源。）EXn+1.8. （2009年清華大學(xué)）12名職工（其中3名為男性）被平均分配到3個部門.試求3名男員工分配到不同部門的概率；（2）試求3名男員工分配到相同部門的概率；（3）試求1名男員工指定到某一部門，另兩名不在同部門的概率.9. （2009年清華大學(xué)）“為三位的自然數(shù)，求： （1）M含因子5的概率；(2)M中恰有兩位數(shù)碼相同的概率.10. (2010年清華大學(xué))12個人玩一個游戲，游戲開始后每個人被隨機(jī)地戴上紅、黃、藍(lán)、綠 四種顏色之一的帽子，每個人都可以看到其余11個人帽子的顏色，游

5、戲開始后12個人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的顏色，請為這12個人在游戲前商定一個方案，使得他們同時猜對自己帽子的顏色的概率盡可能大.11. (2010年清華大學(xué)等五校聯(lián)考 )假定親本總體中三種基因型式：AA,Aa,aa的比例為u ： 2v ： w(u>0,v>0,w>0,u+2v+w=1)且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機(jī)的兩個 .(1)求子一代的三種基因型式的比例；(2)子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由.12. (2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以錯誤！未找到引用源。表示未出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概

6、率.(1)求錯誤!未找到引用源。、錯誤!未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。 和錯誤!未找到引 用源。；(2)探究數(shù)列錯誤!未找到引用源。的遞推公式，并給出證明(3)討論數(shù)列錯誤!未找到引用源。的單調(diào)性及其極限，并闡述該極限的概率意義.13. (2012年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)系統(tǒng)內(nèi)有2k-1(k N*)個元件，每個元件正常工作的概率為 p(0<p<1),各個元件才立工作.若系統(tǒng)有超過一半的元件正常工作，則系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.(1)求該系統(tǒng)正常工作的概率錯誤！未找到引用源。； (2)試討論錯誤！未找到引用源。的單調(diào)性，并討論增加兩個元件后，能否提高系統(tǒng)的

7、可靠性1 . A【解析】其通項(xiàng)為Ph京- 逆:強(qiáng)1 _=言丁一 4 YU： =m二：為非零常數(shù).故選A而芯7中甘入二0汨2 .C【解析】因?yàn)橄瘸槿〉娜瞬恢欠癯榈姜勂?所以每個人能否獎票的機(jī)會均等為二:選C.3 .A【解析】分裂情況如下所示.“綃.列i=Etx：第二次不能分裂；】小事此一rm- L . L第一次分裂后-二一冰r/剜記為事件，則PH；*，二父二=7%r 第儀不能分裂* ，*U :第一次不能分裂記為事件E，則呼：=p，第-g嗚；，I鬻需鬻即件0則PC-r %第一便不能分裂-I :第T欠不能分裂記為事件D.則匕=：.當(dāng)事件A-iCArRBnc:0"D中任何一個發(fā)生時,沒有細(xì)

8、胞存活:記兩次分裂后沒有細(xì)胞存活 為事件E則P (E) =R. A "C)-P iA ；D) -F (B -C)-P (B" D；=. m .，x. t x- x-k.因此兩次分裂后還有細(xì)胞存活的概率為1-P(E尸錯誤！未找到引用源。4 .D【解析】首先，一個正整數(shù)的3次方的個位數(shù)是1,則這個正整數(shù)的個位數(shù)也必須是1.其次可試彳導(dǎo)1100中只有71符合要求，而且末兩位是71的均符合要求.故選D.5 .錯誤！未找到引用源。.【解析】錯誤!未找到引用源。2錯誤！未找到引用源。+錯誤!未找到引用源。=57X錯誤!未找 到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。+7X7鄧誤！未找到引用源。，

9、. P=錯誤！未找到引用源。. 6.(1)錯誤!未找到引用源。.(2) 6【解析】(1)任意選取2人的選法為 錯誤!未找到引用源。，其中2人都不是來自教育界的選法 為錯誤！未找到引用源。，因此所求概率為p=錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。.(2)設(shè)男候選人為x(x>18)人,則女候選人為36-x人,選出兩人都是男性的概率為pi=錯誤!未找到引用源。，選出兩人都是女性的概率為p2=錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。+錯誤!未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。，x2- 36x+35 >9=0, x=21(x>18),男女相差6人.7 .(1)錯誤！未找到引用源。

10、.(2) P(Xn+i=a+k尸pk錯誤!未找到引用源。+pk-i錯誤！未找到引用源。(k>1).(3)第n次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為EXn,由于白球和黑球的總個數(shù)為a+b,則將第n+1次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類：第n+1次取出來的是白球，這種情況發(fā)生的概率是 錯誤!未找到引用源。，此時白球的個數(shù)為 EXn;第n+1次取出來的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是 錯誤！未找到 引用源。，此時白球的個數(shù)是 EXn+1,故EXa-尸三通 E *一-;r (E /-1) -：EKr1 _ Sir.) EXc-1)-E 三1 EXr-t 1 二)i*t1-1：IL-t1-tL-t JL-t i-tEXt-

11、1【解析】時二袋中的白球的個數(shù)可育的由艮限出的是白球)豫率為上;也可能為37(即 i-t取出的是黑球:概率為工故EX-a?-a-1 tk-ti-t L-t 1-t2，當(dāng) k=0 01 :?： Xe-.=i-0)=p；-7當(dāng)蛀l時第口-I次取出來有af個白球的可能性有兩種第n次袋中有a-k個白球顯然每次取球后二球的總數(shù)保持不變即會也故此時黑球有b-k個:第n-1次取出來的也是白球二這種情況發(fā)生的程率為三：£-t口；欠袋中有a-k-1個白球第n-1次取出來的是黑球由于球的總數(shù)為a-匕的此時黑球的僮為V->1這種覦發(fā)生悔物(應(yīng)1).iE-t故 P=a-k7=p-：- ij應(yīng) 1i-t

12、A - t3)第n次日球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為EXj由于白球和黑球的總個數(shù)為Kb,則將第n-1次白球個 數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類：第n+1次取出來的是白球，這種情況發(fā)生的概率是 錯誤!未找到引用 源。，此時白球的個數(shù)為 EXn；第n+1次取出來的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是 錯誤！未找到 引用源。，此時白球的個數(shù)是 EXn+1,故EXn+1=錯誤！未找到引用源。EXn +錯誤！未找到引用源。（EXn+1）=錯誤!未找到引用源。+（1 錯誤!未找到引用源。）（EXn+1）=錯誤！未找到引用源。+EXn錯誤！未找到引用源。+1錯誤!未 找到引用源。=（1錯誤！未找到引用源。）EXn+1.8 .（1錯誤！未找

13、到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。【解析】（1）P1=錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。；（2）P2=錯誤！未找到引用源。=錯 誤!未找到引用源。；（3）P3=錯誤！未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。.9 .（1）錯誤!未找到引用源。（2）錯誤!未找到引用源。.【解析】（1）當(dāng)個位數(shù)字為 0時，有9X10=90個符合題意的三位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為5時，有9X0=90個符合題意的三位數(shù)，故M含因子5的概率為錯誤！未找到引用源。=錯誤!未找到引 用源。.（2）當(dāng)M中含有數(shù)字0,且0是重復(fù)數(shù)碼時，有9個符合題意的三位數(shù)；當(dāng)M中含有數(shù)字0,且0不是重復(fù)數(shù)碼時，有9X錯

14、誤！未找到引用源。=18個符合題意的三位數(shù)；當(dāng)M中不含數(shù)字0時，有9X8X3=216個符合題意的三位數(shù)，故M中恰有兩位數(shù)碼相同的概率 為錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。.10.12個人同時猜對的概率一定不大于單獨(dú)一個人猜對的概率，即錯誤！未找到引用源。.【解析】首先將問題數(shù)學(xué)化，將紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色分別用數(shù)字0、1、2、3代表.策略是每個人將其余11人的帽子的顏色所對應(yīng)的數(shù)字求和，記為S,S除以4的余數(shù)設(shè)為d,（4-d）對應(yīng) 的顏色即為他所猜的顏色例如，若12個人都戴黃帽子，每個人看到其余11個人的帽子顏色對應(yīng)數(shù)字和均為 11,11除以4 余3,4- 3=1對應(yīng)黃色,全都彳1對.

15、這樣的策略使得同時猜對頭上帽子顏色的概率為錯誤！未找到引用源。.當(dāng)且僅當(dāng)12個人的帽子顏色所對應(yīng)數(shù)字之和為4的倍數(shù)時，12個人能夠同時猜對.不然,12個人會同時猜錯.這12個人或者同時猜對，或者同時猜錯，同時猜對的概率與一個人隨機(jī)猜測正確的概率相等，為錯誤！未找到引用源。.而多個人猜測時，由于不能由他人的帽子顏 色推斷出有關(guān)自己帽子顏色的信息，因此12個人同時猜對的概率一定不大于單獨(dú)一個人猜對的概率，即錯誤！未找到引用源。.因此上述方案是最優(yōu)的.11.(1)AA,Aa,aa 的比例為 p2 : 2Pq : q2.(2)相同 可知子二代的基因型式 AA,Aa,aa的比例為 廣：2“8用其中a =

16、2+pq, 3 =pq+q由 p+q=1,可得a =p, 3靛子二代的三種基因型式AA,Aa,aa的比例為p2 : 2pq ： q2,與子一代的三種基因型式的比例相同.【解析】(1)參與交配的兩個親本(一個稱為父本，一個稱為母本)的基因型式的情況，及相應(yīng)情況發(fā)生的概率和相應(yīng)情況下子一代的基因型式為AAHAaa的概率如下父本、母本的基因型式相應(yīng)情況出現(xiàn)的概率子一代基因型式為AA的概率子一代基因型式為Aa的概率子一代基因型式為aa的概率父AA目AA100父AA母Aa2210父AA母aa010父母AA120父Aa母Aa羽，11J,1父Aa母3a01X2父aa母AAg-010父跟母Aa*飛Q1212父

17、科母aa001子一代的基因型式為AA的概率為pi=u2X1+2uv鄧誤！未找到引用源。+2uv誰誤！未找到引用源。+4v2>4昔誤！未找到引用源。=(u+v)2.由對稱性知子一代的基因型式為aa的概率為P3=(v+W)2.子一代的基因型式為 Aa的概率為P2=2uv4昔誤！未找到引用源。+uwxi+2uv那誤！未找到引用源。+4v2x錯誤！未找到引用源。+2vw X錯誤！未找到引用源。+uwX1+2vw X錯誤！未找到引用源。=2(uv+uw+v 2+vw)=2(u+v)(v+w).若記p=u+v,q=v+w,則p>0,q>0,p+q=1,子一代的三種基因型式 AA,Aa,a

18、a的比例為p2 ： 2pq : q2.(2)由(1)可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例為 /：2“8修淇中Oi=pLpq；p=J)q不由 p-q=L可得Cl=p,Aq.故子二代的三種基因型式ABAaw的比例為p： 2pq：成與子一代的三種基因型式的比例 相同一12. 1三C)如果第口次出現(xiàn)反面那么前n次不出現(xiàn)退賣三次正面和前n-1.找不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是¥四：-1 !婦果第出現(xiàn)正面第口-：次出現(xiàn)反面,那么前口次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前11-2，次不出 現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這4時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是三上三】如果第h次出

19、現(xiàn)正面第口-1次出現(xiàn)正面第n-2次出現(xiàn)£面二那么前口次不出現(xiàn)連續(xù)三次正 面和前11-3次不出現(xiàn)連族三次正面是相同的:所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是綜上丁口二=乂5廠三>以-：-3力：項(xiàng)吃斗)1從而二邛川-二xpi-二Mpzt雁5)；錯誤！未找到引用源。X2），有pn = pn-i錯誤！未找到引用源。pn-4（n >5）.n "4,p n單調(diào)遞減.又P1=P2>P3>P4,. n>2時，數(shù)列p n單調(diào)遞減，且有下界0.二Pn的極限存在記為a對pn=pn-i錯誤!未找到引用源。pn-4兩邊同時取極限可得 a=a錯誤！未 找到引用源。a,a=

20、0,故錯誤！未找到引用源。Pn=0.其概率意義：當(dāng)投擲的次數(shù)足夠多時，不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率非常小.【解析】（1）顯然P1=P2=1，P3 = 1錯誤！未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。；又投擲四次出現(xiàn) 連續(xù)三次正面的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，故P4=1錯誤！未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。.（2）共分三種情況：1）如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-1次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是錯誤！未找到引用源。Xpn-1；2）如果第n次出現(xiàn)正面，第n-1次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-2次不出錯誤現(xiàn)連續(xù)三次

21、正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是Xpn-2；力如果第n次出現(xiàn)正面第n-1次出現(xiàn)正面第n-2次出現(xiàn)反面那么前口次不出現(xiàn)連續(xù)三次正 面和前口-3次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的:所以這個時惘不出現(xiàn)連續(xù)三江面的概率是 二、片三綜上叱二式士也出叼蛇口® 上；MP；=P：=I：P-.從而Ph ：二試力廠二Mg也辦 *42一 RD有也=4:一上舊工(位習(xí)， 二M凸田時值彈調(diào)遞減又p:=p8p斗，位2時:數(shù)列儂倬調(diào)遞減且有下界0.，P1的極限存在記為a對plpi_qp±7兩邊同時取極限可得37_，&故./。.zn =箕概率意義當(dāng)投擲的;女?dāng)?shù)足勺哮時:不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的捉率非常小一13X1K'武 1寸產(chǎn) 1”2%Y(2)當(dāng)p-鄒TE-足攜加兩個元件不改變系統(tǒng)的可髭性;當(dāng)。印時馬】磔工函數(shù)P1單調(diào)遞;威增加兩個元件時，系統(tǒng)可靠