專題講座初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率

1、實(shí)用文檔專題講座初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率一、第三學(xué)段概率統(tǒng)計(jì)的定位（一）概率的定位1經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計(jì)算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)。統(tǒng)計(jì)最重要的是整個(gè)過程， 統(tǒng)計(jì)就是要從數(shù)據(jù)里得到信息， 在這個(gè)過程中收集、 整理、描述、 分析都是必須的。 在教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該了解并學(xué)會如何處理統(tǒng)計(jì)的整個(gè)過程， 不能很片面的認(rèn)為統(tǒng)計(jì)僅僅是對內(nèi)容的分析。在小學(xué)的第一學(xué)段，即小學(xué)一到三年級，要幫助學(xué)生學(xué)會對于一些事物進(jìn)行分類，其中包括一些對數(shù)據(jù)的分類，這種分類討論，對于將來處理數(shù)據(jù)，是一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)。到了第二學(xué)段， 學(xué)生應(yīng)該不僅會收集數(shù)據(jù)， 還應(yīng)該可以處理一些數(shù)據(jù)， 這就需要把數(shù)據(jù)

2、用某種方式表達(dá)出來， 比如說統(tǒng)計(jì)圖表。學(xué)生經(jīng)過整理數(shù)據(jù)，然后描述數(shù)據(jù)， 最后分析數(shù)據(jù)的整個(gè)過程。 所以整個(gè)這個(gè)過程， 就像張老師強(qiáng)調(diào)的。 在不同的年齡段， 我們分析的對象不一樣，分析的復(fù)雜程度不一樣，但是這個(gè)基本過程始終是一樣的。在初中收集數(shù)據(jù)和在小學(xué)收集數(shù)據(jù)有什么差異。在小學(xué)收集數(shù)據(jù)，學(xué)生可能更多的是自己去收集，比如收集全班同學(xué)的身高， 或者視力情況， 那么到中學(xué)以后， 學(xué)生不僅可以自己去收集， 還可以去查閱資料， 因?yàn)樗麑W(xué)的知識多了，他可以利用現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，比如說利用家長的資源，利用網(wǎng)絡(luò)的資源， 利用報(bào)紙上的一些信息， 這樣他數(shù)據(jù)的來源，就不僅僅是自己去調(diào)查，去收集，還有從別人那現(xiàn)成拿來使用

3、的。從數(shù)據(jù)來看，比小學(xué)生就靈活多了、數(shù)據(jù)的來源也豐富多了。小學(xué)一個(gè)是自己收集，一個(gè)是老師提供他一些可以供他分析的數(shù)據(jù)，在初中，希望孩子接觸的數(shù)據(jù)更多一些， 所以他得到數(shù)據(jù)的來源， 可能就豐富一點(diǎn)，這是和小學(xué)一個(gè)很大的差別。2體會抽樣的必要性，通過案例了解簡單隨機(jī)抽樣（參見例68 ）。體會抽象的必要性， 通過案例了解簡單數(shù)據(jù)抽象， 也是到了第三學(xué)段特別突出的一點(diǎn)。當(dāng)我們面對這個(gè)對象，比如說從特別特別大的時(shí)候，想了解整個(gè)北京市18 歲男孩的身高，特別大的時(shí)候就使得誤差程度， 這就抽象數(shù)據(jù)， 其次一個(gè)我想就是有一些抽樣的破壞性的實(shí)驗(yàn)，我要了解燈泡的壽命，我很長時(shí)間就要點(diǎn)，點(diǎn)完以后就會報(bào)廢掉，點(diǎn)完就會

4、報(bào)廢掉，也是不可能做的，所以這個(gè)抽樣的必要性呢，要通過一些實(shí)例才能夠了解。除了抽樣的必要性以外，我們還應(yīng)該理解抽樣的合理性。抽樣如果做的不好，沒有代表性， 得到的結(jié)論就會有所歪曲， 有所看法， 所以我們通過案例了解簡單抽樣不僅是了解這種做法，實(shí)際上了解簡單數(shù)據(jù)抽樣，它是比較合理的。 在初中階段和小學(xué)階段，一個(gè)明顯的差異在收集數(shù)據(jù)上，就是我們要抽取樣本。 原來是以普查為主， 現(xiàn)在要既會普查，通過普查的方式， 來得到數(shù)據(jù)， 又要初步的學(xué)會通過抽樣的方式，特別是隨機(jī)抽樣的方式，來體會抽樣的必要性和合理性。 比如說破壞性的東西， 你總是要抽取其中一部分， 來替代這個(gè)整體，要去體會抽樣的必要性。 另外，

5、 我們要體會隨機(jī)的必要性，隨機(jī)的必要性的核心是合理。所謂合理，就是能反應(yīng)整體的面貌。如果不能反應(yīng)整體的面貌，顯然就不合理，比如：你了解成績只了解實(shí)驗(yàn)班的成績就不太不合理； 你調(diào)查大家是不是喜歡看哪個(gè)電視劇， 你只招年齡低段的人去調(diào)查，也不合理，因?yàn)殡S著年齡的不同，大家的愛好會發(fā)生變化。所以怎么樣合理的進(jìn)行抽樣， 是我們在初中需要體會的一件很重要的事情， 這樣的一個(gè)變化老師在教學(xué)中應(yīng)該清楚。3會制作扇形統(tǒng)計(jì)圖，能用統(tǒng)計(jì)圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)。第二學(xué)段要求學(xué)生認(rèn)識這些圖的意義。但在第三學(xué)段要求學(xué)生會制作這些圖，包括直方圖。 那么在這里頭繪畫圖我想怎么理解？用這個(gè)怎么定理？包括前面用計(jì)算器處理復(fù)雜的

6、數(shù)據(jù)，怎么理解，就是說這個(gè)繪畫圖我覺得第一位，就是我要畫一個(gè)，我要什么目的，我要反應(yīng)什么信息， 根據(jù)這個(gè)信息， 我來選擇畫什么樣的圖， 比如說我要反應(yīng)他的百分之比是多少？比如說這個(gè)08 年奧運(yùn)競賽上， 如果你想反應(yīng)中國第一， 美國第二， 多少那可能是一個(gè)條形圖，你要反應(yīng)一下中國金牌整個(gè)金牌，那可能扇形圖，所以這個(gè)繪制圖的話， 第一位的是，在繪畫圖時(shí)，根據(jù)目的選擇合適的圖是最重要的。關(guān)于圖表制作方面，對于圖的處理方面，希望老師清楚，第一，不同的統(tǒng)計(jì)圖表，可以幫助我們整理和描述數(shù)據(jù)；第二，初中和小學(xué)的差異是什么？小學(xué)階段要讓學(xué)生會看懂、識別。初中階段就要求學(xué)生會制作圖，如制作扇形圖和直方圖；第三，

7、為何要畫這個(gè)圖，目的是什么？制作圖表的目的不是僅僅會畫這個(gè)圖， 而是希望把這些數(shù)據(jù)中的某些信息凸現(xiàn)出來， 所以不僅要會畫扇形圖和直方圖， 還要理解這些圖表對展示信息有什么作用？第四， 自己選擇統(tǒng)計(jì)圖表， 用合適的方式最好的表達(dá)數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的信息。 畫圖的目的， 不是為了畫圖而畫圖， 而是為了把數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的重要信息凸現(xiàn)出來， 讓你們看的清楚， 一目了然， 讀圖在這個(gè)過程中仍然是重要的。4理解平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述（參見例 69 ）。我們把數(shù)據(jù)進(jìn)行加工后， 構(gòu)成了一些數(shù)字特征， 其中平均數(shù)是最重要的。 在這一階段，可對平均要求最高的，了解他們是數(shù)

8、據(jù)，幾種趨勢方法，第一，最重要還是要平均數(shù)，其次就是眾數(shù)和中位數(shù)?？坍嫾汹厔莸膮?shù)中最核心的是平均數(shù)， 我們對平均數(shù)作一點(diǎn)拓展， 即加權(quán)平均數(shù)。對于加權(quán)平均數(shù)，它的出現(xiàn)是很自然的，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生比較自然的認(rèn)識它。簡單的講，加權(quán)平均數(shù)就是反應(yīng)大家做的貢獻(xiàn)不一樣， 有的貢獻(xiàn)大一點(diǎn)， 有的貢獻(xiàn)小一點(diǎn)。 比如在一組分?jǐn)?shù)中 95 分的多， 那么 95 分在平均分里就貢獻(xiàn)大一點(diǎn)， 一百分的少， 那么一百分在整個(gè)平均分中， 做的貢獻(xiàn)就小一點(diǎn)， 占的成分多一點(diǎn)， 權(quán)重大一點(diǎn)，從而拓展到我們對事物的看重程度。 這樣的理解是循序漸進(jìn)的。 對于加權(quán)的認(rèn)識， 在高中和大學(xué)仍然是我們要不斷學(xué)習(xí) 的。5體會刻畫數(shù)據(jù)離

9、中程度的意義，會計(jì)算簡單數(shù)據(jù)的方差（參見例70 ）。第一，在所有的數(shù)據(jù)特征數(shù)里，可以分成兩類，一類是反映這個(gè)數(shù)據(jù)集中程度的特征數(shù)， 一類是反映數(shù)據(jù)離中程度的特征數(shù)， 這是反映數(shù)據(jù)性質(zhì)的兩類不同的特征數(shù)， 學(xué)生能夠 理解他們的差異，而平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，它反映的意思比較接近。第二，教師不要從抽象的定義出發(fā)來講解，要通過具體的實(shí)例幫助學(xué)生去感悟，去認(rèn)識，去理解。6通過實(shí)例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息（參見例 71 ）。90 分到 100 分之間， 我們班里多少個(gè)人？ 85 分到 90 分有多少人？這就是在算頻數(shù)。我們把它畫成頻數(shù)直方圖， 這樣可

10、以了解分布的意義， 頻數(shù)分布也就是落在各個(gè)段這個(gè)頻數(shù)所占的分布。 比起條形圖的直觀， 頻數(shù)直方圖對信息的反應(yīng)是比較全面的。 它也是將來高中學(xué)習(xí)頻率直方圖的一個(gè)基礎(chǔ)。 學(xué)生在畫圖的基礎(chǔ)上更應(yīng)該通過尺度的度量來了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義。頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，全面地反映了這個(gè)數(shù)據(jù)帶來的信息。我們要不斷地理解這些數(shù)據(jù)所反映的是全面還是分布，他把整個(gè)數(shù)據(jù)的基本狀況展示出來我們要把握整體。7體會樣本與總體關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差。我們可以用樣本平均數(shù)和樣本方差來推斷總體平均數(shù)。在學(xué)習(xí)總體方差的時(shí)候，很多學(xué)生會有些困惑， 他會認(rèn)為算出來的樣本平均數(shù)就是總體平均數(shù)。 但事

11、實(shí)上樣本平均數(shù)和總體平均數(shù)是不一樣的。 我們應(yīng)該讓學(xué)生理解樣本可以反映總體的某些問題， 但是它和總體的還是有差異的。8 能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果， 根據(jù)結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測， 并能進(jìn)行交流 （參見例 71 ） 。9通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢（參見例72 ）。國民經(jīng)濟(jì)總產(chǎn)值，調(diào)查了經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的物價(jià)上升趨勢，根據(jù)這些數(shù)值可以做解釋。比如這幾個(gè)月，通貨膨脹上升的趨勢， 它是隨機(jī)測的，并沒有把所有的消費(fèi)水平，物價(jià)都算進(jìn)去， 但是我們要根據(jù)所得到的這些數(shù)據(jù)， 作出一些簡單的判斷和預(yù)測， 而基礎(chǔ)就建立在我們的樣本、 圖表和數(shù)據(jù)特征上。 當(dāng)然我們要認(rèn)識到， 這樣的預(yù)測是有誤差的， 甚至還會

12、有扭曲。（二）事件的概率1能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率（參看例 73 、例 74 ）。在某種意義上，所謂簡單隨機(jī)事件，就是指古典概型。首先，我們要了解一個(gè)古典概率模型，我們可以列表，畫圖，把所有的結(jié)果都列出來，這是一個(gè)計(jì)算的過程，方法。雖然計(jì)算方法很重要， 但是了解古典概率這種等和的模式是非常必要的。 第二， 教師應(yīng)該通過實(shí)驗(yàn)來讓孩子認(rèn)識到， 通過大量地重復(fù)實(shí)驗(yàn)， 可以用頻率來估計(jì)概率。 也是要來首先應(yīng)該是不確定和隨機(jī)的， 其次才是定性， 大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)頻率問題， 即頻率穩(wěn)定性。所以你不能指望向全班咱們?nèi)佑矌湃右话俅?/p>

13、就出現(xiàn)50 次正面， 有的老師就不知道怎么處理的， 處理的次數(shù)一次，孩子就不對，就不應(yīng)該，實(shí)際上第一位是隨機(jī)的，這東西太正常了，其次呢，這是怎么樣，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)頻率問題，頻率穩(wěn)定性，比如說擲出現(xiàn)正負(fù)二分之一， 擲一個(gè)色子出現(xiàn)六分之一，這個(gè)二分之一，還是兩次，出現(xiàn)一次，六分之一，也不是六次出現(xiàn)一次，他是大量地實(shí)驗(yàn)，所以我想我們老師在這些把握上，可能還不夠，否則給孩子帶來些誤導(dǎo)。第一，初步地理解古典概型，古典概型怎么樣進(jìn)行計(jì)算；第二，理解隨機(jī)現(xiàn)象。什么樣的現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象呢？一個(gè)最重要的特征， 就是可以重復(fù)， 經(jīng)過大量重復(fù)， 得到一個(gè)估計(jì)概率的一個(gè)重要概念頻率。 那么這個(gè)頻率是估計(jì)概率的一個(gè)重要

14、的概念。 小學(xué)階段， 某些隨機(jī)現(xiàn)象的可能性是不一樣的。 初中階段， 要理解一個(gè)特殊的隨機(jī)現(xiàn)象， 對概率的一個(gè)基本定位分為兩種。 一個(gè)是具體的古典概型， 一個(gè)是一般的， 即通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)用頻率去估計(jì) 概率。二、統(tǒng)計(jì)概率的本質(zhì)（一）統(tǒng)計(jì)要了解統(tǒng)計(jì)這門課程，需要先理解統(tǒng)計(jì)的概念。一般來說，統(tǒng)計(jì)主要研究如何搜集數(shù)據(jù)，如果整理數(shù)據(jù)， 以及如何從數(shù)據(jù)得到我們所需要的信息。 所以統(tǒng)計(jì)的核心詞是信息，一切都是為了尋找并得到所需的信息。 研究如何搜集數(shù)據(jù)， 如何整理所收集的數(shù)據(jù)來凸現(xiàn)這個(gè)信息，無論是算平面數(shù)、算中位數(shù)，還是畫圖表、頻數(shù)分布直方圖，都是為了需要凸顯的信息， 判斷是否能夠通過統(tǒng)計(jì)得到所需的信息，

15、而以此得出的統(tǒng)計(jì)推斷靠性有多大等等。 所以它的核心問題就是信息， 而要得到這樣的信息， 我們就要關(guān)注整個(gè)過程。 因此它跟我們其他的那些數(shù)學(xué)上的定義、定理、證明不太一樣，它是一個(gè)從數(shù)據(jù)里歸納出結(jié)論的過程。統(tǒng)計(jì)課程有以下幾個(gè)關(guān)鍵詞。第一，從數(shù)據(jù)中提取信息，是統(tǒng)計(jì)的第一要?jiǎng)?wù)。我們圍繞著要得到的信息去收集數(shù)據(jù)， 設(shè)計(jì)整理描述數(shù)據(jù)的方法， 比如說選擇不同的圖式， 無論是直方圖、扇形圖、折線圖，還是其他的圖式，都是希望通過它們將信息清晰、準(zhǔn)確、直觀地反映出來。第二，統(tǒng)計(jì)解決問題是靠一個(gè)過程來解決的，這個(gè)過程包括數(shù)據(jù)的收集、描述、整理， 以及從數(shù)據(jù)中提取信息， 并且用這些信息來說明問題的過程。第三， 統(tǒng)計(jì)處

16、理問題是一個(gè)歸納的過程， 特別是在初中階段， 我們不僅要會搜集所有的數(shù)據(jù)， 整個(gè)收集過程都是去體現(xiàn)一個(gè)歸納的思維， 用部分去說明整體， 這樣才能解決問題。 這是解決問題的一種重要的 方法，也是一種重要的思維，更是一種重要的推理。（二）概率概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)際就是在相同條件下，可以做大量地重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果不確定，但是在大量實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，我想這三點(diǎn)是隨機(jī)現(xiàn)象的根本特點(diǎn)。所以不用去給概率下定義， 概率的定義也不在我們討論的范圍， 但是有幾個(gè)要界定清楚的問題， 比如說結(jié)果是在實(shí)驗(yàn)之前無法確定的， 一些老師如果把握不好， 就會把一些在實(shí)驗(yàn)之前結(jié)果就完全確定的現(xiàn)象當(dāng)做隨機(jī)現(xiàn)象來處理

17、。例如，火星上有沒有生命，這是完全確定的，要么就有，要么就沒有，只是我們不知道，這是未知現(xiàn)象，必須跟隨機(jī)現(xiàn)象區(qū)分開來。在中學(xué)階段，我們的老師要幫助我們的學(xué)生學(xué)會識別，什么是隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象有三個(gè)基本特征。 第一個(gè)特征就是在一定條件下，可以重復(fù)實(shí)驗(yàn)。凡是不能重復(fù)的， 條件不確定的，就不是隨機(jī)的。第二個(gè)特點(diǎn)，就是在我們研究實(shí)驗(yàn)之前，無法知道這次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。凡是能知道結(jié)果的， 一定不是隨機(jī)的。 第三個(gè)特點(diǎn)， 就是由前兩個(gè)特點(diǎn)衍生出的一個(gè)概念頻率， 即大量實(shí)驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)。 我們說在大量實(shí)驗(yàn)的前提下， 這個(gè)頻率將穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)值， 這是反映了我們隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性， 它的規(guī)律性就是穩(wěn)定。 這三

18、個(gè)基本條件， 是我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行基本判定的基礎(chǔ)。隨機(jī)性跟頻率穩(wěn)定性相比，隨機(jī)性是第一位的，所以教師要和孩子們做一些探究，比如扔 100 次硬幣，出現(xiàn)41 次正面，這是非常正常的，不能指望每次一扔都出現(xiàn)50 次頻率。三、統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)中的困惑1關(guān)于概率的定義的問題。有很多老師感覺沒有定義不踏實(shí)，于是要摳這個(gè)定義，結(jié) 果越摳越亂。概率的確切定義是一個(gè)很難說清楚的問題，從某種意義上來說，它是一個(gè)哲學(xué)問題而非數(shù)學(xué)問題。 所以在數(shù)學(xué)上對它進(jìn)行的是一個(gè)公平化的定義， 所謂的公平化， 就是把它定義成一個(gè)具有可加性和非負(fù)性的量，也就是說把它跟長度、面積、質(zhì)量、體積之類等同起來。這樣的做法實(shí)際上在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里是很

19、常見的， 比如在幾何中， 我們不討論線和點(diǎn)的定義， 只討論它們之間的關(guān)系。 既然在數(shù)學(xué)里有這樣一個(gè)處理定義問題的方法， 我們就只強(qiáng)調(diào)和把握概率最基本的特點(diǎn)在相同條件下做重復(fù)實(shí)驗(yàn)， 實(shí)驗(yàn)之前其結(jié)果不可預(yù)料， 而它的頻率則是穩(wěn)定的。 我想這樣對我們理解、計(jì)算和應(yīng)用概率，都是很有幫助的。 而具體去摳什么是概率，甚至去摳什么是實(shí)驗(yàn)，不但無助于我們對概率的理解，反而會造成學(xué)生的迷惑。所以說雖然定義在數(shù)學(xué)里非常重要， 但不能把它絕對化， 因?yàn)樗且粋€(gè)無限上推， 不可能完成的任務(wù)。 所以我們在這里講概率統(tǒng)計(jì)， 特別強(qiáng)調(diào)案例的教學(xué)， 希望通過大量例子來幫助大家理解其實(shí)質(zhì)，而不是去苛求準(zhǔn)確的定義。2天氣預(yù)報(bào)經(jīng)常

20、說，降水概率是80% ，學(xué)生的理解有很大的偏差在杭州問一個(gè)老太太，說下雨概率是80% 怎么理解，她說 80% 地區(qū)下雨，實(shí)際上你要理解什么，我們談到概率，就是說在相同條件下，也就是說明天如果預(yù)報(bào)降雨的概率是80% ， 一定是我觀測的氣象條件，在我歷史上的資料里頭，有跟明天近似， 幾乎相等的情況下，那在歷史中記錄了，凡是這樣天氣里頭，大概有80% 都是下雨了，有20% 沒下雨，因此我就說，又出現(xiàn)這樣情況了，那么根據(jù)歷史的資料，那么我應(yīng)該是80% ，也就是說一定是在相應(yīng)條件下，做重復(fù)實(shí)驗(yàn)的這些頻率穩(wěn)定性來看的，所以一定不是去摳這樣一些東西。關(guān)于概率的幾個(gè)基本特征，對這幾個(gè)基本特征的認(rèn)識，就足以使我

21、們能夠很好地區(qū)分什么是隨機(jī)現(xiàn)象， 什么不是隨機(jī)現(xiàn)象， 并且如何用隨機(jī)現(xiàn)象來幫助我們解決一些問題， 就夠了， 那么對于我們的學(xué)生和老師來說， 沒有必要他們必須建立起一個(gè)完整地確切的一個(gè)定義，專門研究數(shù)學(xué)的人， 或者專門研究概率的人， 他們會以某種公平的形勢， 給出一個(gè)自圓其說的定義，有了這三個(gè)特征，我們就可以去解釋這些現(xiàn)象。在概率里面呢，一定是重視，而不是在所謂嚴(yán)格性去摳，就是說這個(gè)必然事件， 什么不可能事件，是不是隨機(jī)事件呢，都是隨機(jī)性特定的，我覺得像這些東西，其實(shí)很清楚，我們把它規(guī)定進(jìn)來了，我們在算時(shí)間概率，它也算是其中的一員對不對，就是像這樣的一些東西的話，都沒有必要在這使勁去摳它。整個(gè)統(tǒng)

22、計(jì)， 對于定義的看法， 都是應(yīng)該這樣， 就是你要關(guān)注他的意義， 比如說中位數(shù)，中位數(shù)的特征， 就在于比它多的那一半， 比它少的，那么如果你是偶數(shù)個(gè)， 你這中位數(shù)定這么一點(diǎn)，定這么一點(diǎn)，都是無所謂的，因?yàn)槲易铌P(guān)注的就是比他多的那一半，比他少的那一半，假設(shè) 10 數(shù)，從這，這樣它的缺點(diǎn)就在于它不為 1 ，我們有時(shí)候把這兩數(shù)求一下，統(tǒng)計(jì)一下，但是你事情擱在這兒了，因?yàn)槲覀冴P(guān)注的是有一半比他多的， 有一半比它說的。這是最關(guān)注的，摳這些東西就沒有太大的意思。這樣就等于把這個(gè)變成算術(shù)了，完全失去了，我們引入中位數(shù)這個(gè)概念的實(shí)質(zhì)性的作用， 所以有中位數(shù)， 也可能產(chǎn)生四分位數(shù)， 也可能產(chǎn)生八分位數(shù)，那都是根據(jù)

23、在具體情景的需要， 引入的這些概念，來反映集中的程度，或者集中偏差的程度等等等等。 同樣像眾數(shù)，出現(xiàn)最多的那數(shù)， 眾數(shù)，它是反映這個(gè)數(shù)據(jù)里的一個(gè)信息。3有時(shí)候考試的時(shí)候，畫圖，對于這個(gè)直方圖有一個(gè)數(shù)，屬于它好，什么半開半避這些怎么看待這件事情。畫圖的基本方法，當(dāng)然要會，分組畫圖，但是呢，在很多細(xì)節(jié)里頭，都不是很多，特別是我們數(shù)據(jù)中，抽樣地來，有它的隨機(jī)性，有誤差，你說是左邊避右邊開，還是右邊避左邊開， 都是問題不大，你比如說這個(gè)直方圖， 我們有了直方圖以后，我們有時(shí)候把那個(gè)每一個(gè)小矩形的中間，連成一個(gè)折線，那么有的學(xué)生， 有的老師就問了，這個(gè)我最右邊這是在那兒，這邊就沒有了，這點(diǎn)要不要連呢，下

24、面要不要連，就爭吵這個(gè)問題，但是你要知道，比如說我考慮的是這個(gè)身高， 比如說， 我量初三人的身高， 這一塊是 1 米 4 到 1 米 65 的，那么為什么不可能就這個(gè)別還會有1 米 3 ， 未嘗估計(jì)一下是不可以的， 還是可以的， 但是如果我考慮這個(gè)，我這預(yù)期這孩子的年齡，他是從0 開始的， 0 到 5 ， 5 到 10 的話，你再連著這邊出現(xiàn)負(fù)的就沒有意義了。統(tǒng)計(jì)它有很強(qiáng)的實(shí)際背景，但這實(shí)際背景需要結(jié)合，比如說出了一個(gè)礦難，我就非常關(guān)心死亡的人數(shù)，或者出了一個(gè)禽流感，這個(gè)人數(shù)，這個(gè)頻數(shù)，這個(gè)數(shù)就變得非常平等，你說百分比就不行， 一般人也不接受， 但是如果從我考察一個(gè)學(xué)校里頭， 這老年人里頭多少

25、高血壓的，可能百分比比那個(gè)頻數(shù)，頻率比頻數(shù)就更重要了，在不同情況下， 我關(guān)注的東西都是跟實(shí)際聯(lián)系的，所以絕對不是直接地就抽象去做一個(gè)定義的。4有一些教學(xué)中，討論所謂用概率來討論公平性的問題這個(gè)問題怎么看？我們并沒有給公平在數(shù)學(xué)上給一個(gè)很明確的意思，不太主張?jiān)谖覀冞@個(gè)大量地去來討論這個(gè)問題， 現(xiàn)在這些問題問得越來越復(fù)雜了。 比如說咱們兩個(gè)人說這有一張票， 我們兩個(gè)人要一張票，只能有一個(gè)人去，我們就開始扔硬幣，或者說擲一個(gè)色子，二四六我就去，這個(gè)顯得就很公平，因?yàn)槲覀兊臋C(jī)會是一樣的， 你看擲出一三五我去，擲出六他去， 就不公平了， 但是公平程度應(yīng)該可能不止在這個(gè)概率的問題， 還應(yīng)該有一個(gè)得到的好處

26、有多少的問題，比如說咱倆概率都一樣，扔出正面你拿走，扔出反面，這有兩張票，扔出正面你拿走這個(gè)，扔出反面我拿走這個(gè)， 這兩票的價(jià)值非常非常不一樣， 我們倆概率當(dāng)然相等， 但是這個(gè)也是不一樣。 所以這東西我覺得是一個(gè)比較復(fù)雜的問題， 在現(xiàn)實(shí)中， 所以我覺得沒有在這個(gè)必要，雖然我們非常主張我們概率的一些應(yīng)用， 包括你在班上組織一些活動， 抽簽什么的， 但是過分地去討論公平問題。決定公平的因素是多方面的，其中概率相等是影響公平的一個(gè)因素，在不同情況下，影響公平的主要因素是誰， 我們要清楚， 也許并不一定是概率相等不相等是主要因素， 如果 兩張票的面額不一樣， 那么你這個(gè)概率相等不相等的作用就沒有那么大

27、了， 所以公平是一個(gè)相對復(fù)雜一點(diǎn)的問題， 如果我們老師一定愿意用這樣的一個(gè)情景來理解概率， 一定要界定清楚，讓學(xué)生體會到，在這個(gè)情景中，這個(gè)概率是起了主要作用的，而不要讓學(xué)生產(chǎn)生誤解，只有概率是決定公平性唯一標(biāo)準(zhǔn)，那么這樣就誤導(dǎo)了學(xué)生的理解。5老師舉出來的例子，引入的例子，可能不是我們所謂隨機(jī)現(xiàn)象，對這樣的一些情況有什么樣的建議？概率的最基本的三條，相同條件下做重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果不確定，和頻率穩(wěn)定性，把這三條我覺得我們把握住了， 這樣我們就不會出現(xiàn)大的偏差， 否則有時(shí)候我們老師自己也有講糊涂，把這些東西全都混在一起， 我覺得， 因?yàn)樵诔踔形覜]有怎么教，但是我非常希望在初中開發(fā)一些好的例子， 這些例

28、子不一定是很難， 但是呢，比如說要讓他覺得還是有用的， 別管你是估計(jì)魚也好，估計(jì)什么，有用，另外讓他知道，因?yàn)楦怕事?，他既然結(jié)果不確定，很多人就覺得， 學(xué)概率有什么用啊， 但實(shí)際上你要讓他體會， 你比如說有兩個(gè)工廠，這個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，四平米只有百萬分之一，那個(gè)四平米只有十分之一對不對，那么如果我不知道，我去買那十分之一的產(chǎn)品，我可能買到好的， 十分之一， 如果我告訴你概率了，說這個(gè)百萬分之一，你去上這買去， 偏偏那個(gè)百萬分之一就讓你給買到了，好像學(xué)到概率沒什么， 知道以后也沒什么用，但是首先我們要知道，第一這是隨機(jī)現(xiàn)象，本性無法避免的，現(xiàn)實(shí)，這隨機(jī)現(xiàn)象就是這樣， 但是他對我們還是有指導(dǎo)作用，

29、 也就是說如果我是買， 還是要去買這個(gè)產(chǎn)品，也就是說我們能通過一些簡單的例子，讓孩子對這個(gè)了解的隨機(jī)現(xiàn)象。6通過活動的形式，來幫助我們學(xué)生去理解和認(rèn)識，統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)現(xiàn)象，這樣是不是一種好的處理方式?用活動的方式來讓學(xué)生做能非常好地發(fā)揮學(xué)生的積極性，他的熱情非常非常好，自己去搜集數(shù)據(jù)， 自己去先設(shè)計(jì)搜集方案， 搜集數(shù)據(jù)， 去查資料， 然后來做， 然后互相之間評價(jià)，評比， 他就特別能容易挑出別人的毛病， 這毛病實(shí)際上也可能就是他自己也有的毛病， 然后有一個(gè)區(qū)分提高，我覺得這樣一個(gè)過程， 能讓他終身不忘，他這樣統(tǒng)計(jì)的結(jié)果。而我們要講這個(gè)步驟，第一步怎么做，第二步怎么做，這東西我想就喪失掉了這樣的意義了。四、教師專業(yè)發(fā)展的有關(guān)問題概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)入中小學(xué)課程，對于教師的專業(yè)發(fā)展提出了挑戰(zhàn)。那么我們老師應(yīng)該如何不斷地提高自己來應(yīng)對