轉動慣量計算方法

1、實驗三剛體轉動慣量的測定轉動慣量是剛體轉動中慣性大小的量度。它與剛體的質量、形狀大小和轉軸的位置有關。形狀簡單的剛體，可以通過數學計算求得其繞定軸的轉動慣量；而形狀復雜的剛體的轉動慣 量，則大都采用實驗方法測定。下面介紹一種用剛體轉動實驗儀測定剛體的轉動慣量的方法。實驗目的：1、理解并掌握根據轉動定律測轉動慣量的方法；2、熟悉電子毫秒計的使用。實驗儀器：剛體轉動慣量實驗儀、通用電腦式毫秒計。儀器描述：剛體轉動慣量實驗儀如圖一，轉動體系由十字型承物臺、繞線塔輪、遮光細棒等（含 小滑輪）組成。遮光棒隨體系轉動，依次通過光電門，每n弧度（半圈）遮光電門一次的光以計數、計時。塔輪上有五個不同半徑（r

2、）的繞線輪。砝碼鉤上可以放置不同數量的砝碼，以獲得不同的外力矩。MaQ""a,Qh'Bfc, QwQ. "一Q Q, IT(13)(14)(13)(14)1-承物臺2.遮光細捧3.繞線塔輪4.光電門5,滑輪 氐硅碼圖一剛體轉動慣量實驗儀圖二祇物臺俯視圖(13)(14)(13)(14)實驗原理：空實驗臺（僅有承物臺）對于中垂軸OO 的轉動慣量用Jo表示，加上試樣（被測物體）后的總轉動慣量用 J表示，則試樣的轉動慣量 Ji :J 1 = J - Jo（1）由剛體的轉動定律可知：T r - Mr = J :其中M為摩擦力矩。而 T = m(g -r ：)其中 m

3、砝碼質量g重力加速度:-角加速度T 張力1. 測量承物臺的轉動慣量Jo未加試件，未加外力(m=0 , T=0)令其轉動后，在 M的作用下，體系將作勻減速轉動,、£=、£i，有-Mb = J o ： i(4)加外力后，令:-=：'2m(g r ：2)r M = J。: 2(5)(4) ( 5)式聯立得上=且22mr測出：-1 ,：-2,由(6 )式即可得Jo O2. 測量承物臺放上試樣后的總轉動慣量-Mr2=J ： 3m(g r : 4)r Mr2= J : 4J，原理與1.相似。加試樣后，有(8)mgr>4 一 >3:'42mr>4 一3(

4、9)注意：G1 , 03值實為負，因此(6)、(9)式中的分母實為相加。3.測量的原理設轉動體系的初角速度為1 20 =3 o t +t20 2相應的時間. 1 2 t 1 +t12. 1 2 t 2 +t22測得與0 1t1 , t(10)(11)2=3(12)(13)(14)(13)(14)(0 =刃時,2(期 F)/ t = 0時，計時次數k=12二(k2 -1兒 -(« -加2 2t2t1k的取值不局限于固定的k1 , k 2兩個，一般取k =1 , 2,3 , ,30”(13)(14)實驗方法:本實驗采用HMS-2型“通用電腦式毫秒計”來測量k及其相應的t值，毫秒計的使用

5、方法見本實驗附錄。先完成砝碼的掛接和繞線，然后復位毫秒計，放開砝碼。砝碼在重力作用下帶動體系 加速轉動?！昂撩胗嫛睂⒆詣佑浵?k及其相應的t值。由式（14）即得:-2。待砝碼掛線自動脫離后，即可接著測 n。所以，實驗一次即可完成對體系的轉動慣量J的測量。此時應注意兩點：、從測a 2到測a i的計時分界處要記清， 處理數據時不能混雜； 、 測a i的開始時間雖然可以選為較遠地離開分界處，但以后的每個時間的數據都必須減去開 始的時間數值。：3 ,? 4的測量方法與?1 ,? 2相同。實驗步驟：1、 按（圖一）安裝調試好儀器，細線的一端連結鉤掛砝碼6,另一端打一適當大小的結塞入塔輪3的縫中，繞線于塔

6、輪時應單層逐次排列。線的長度應使砝碼觸地前一點點脫離塔輪。選取塔輪半徑 r = 2.5 x 10-2m，砝碼質量 m= 6.0 x 10-2 kgk'當實驗臺離地面高度為 h時，有h =2二r，式中k，為每半圈記一次時間的數目，k'=2k - 1 .通過該式適當選取 h,使k' < 10為加速；k' >10為減速。一般選 k' > 13進行 計算。2、 測量承物臺的轉動慣量Jo o參閱實驗方法中的說明及后面附錄“ HMS-2型通用電腦式毫秒計”使用說明。記 錄每一 K值對應時間t于下表。kt(s)kt(s)kt(s)1011212122

7、231323414245152561626717278182891929102030選取不同的k1 , k2及對應的t 1 ,t 2值代入（14）即可求得a 1和a 2,將a 1、a 2再代 入（6）即可計算出此承物臺的轉動慣量Jo。（1）計算a 2時，將數據分成四組，按等權原則，取 k1= 2, 3, 4, 5時對應的k2分別為k2 = 6, 7, 8, 9 （即 k = k 2 - k 1 = 4 ）, 按公式（14）進行計算。即由二 2- (k2 -Jti 2(kl -曲求出 a 21 , a 22, a 23 , a 24 ,再求得-。t2 右一tl t2(2)同理計算a 1時，也將數

8、據分成四組，按等權原則，取k' 1 = 2, 3, 4, 5時對應的k2分別為k' 2 = 6, 7, 8, 9按公式(14)進行計算，得出a 11 , a 12 , a 13 , a 14 ,再求得-1 (此時k' = k - 15即取k=15時t ' = 0 )1 .測量試樣的轉動慣量J1將待測試樣放至承物臺上，按上面 2中測量方法，可測得系統(tǒng)(承物臺加待測試 樣)的轉動慣量J。其數據記錄于下表：kt(s)kt(s)kt(s)1011212122231323414245152561626717278182891929102030由式(1)J1 = J - J

9、 o可求出待測試樣的轉動慣量。待測試樣(1) 鋁環(huán)(2) 鋁圓盤* (3)移軸砝碼(兩個)：對稱地倒插于承物臺十字架的小孔內，兩砝碼距離2X ,取值分別為a. 2X1= 10cmb. 2X2= 20cm計算公式:1 .質量均勻分布的圓環(huán)，總質量為M外徑、內徑分別為 D、D,則對通過中心與環(huán)面垂直的轉軸的轉動慣量1 2 2JM (D1D2 )8(15)2.若為圓盤試樣，上式的D-0,即JMD2(16)8D為圓盤的直徑3. 平行軸定理(17)J = Jc md2剛體對任一轉軸的轉動慣量等于剛體通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量Jc,加上剛體的質量與兩軸間距離 d的二次方的乘積。數據處理：1. 鋁環(huán)

10、：質量 M = kg ； D i =cm D 2 =cm由式（16）可求圓環(huán)繞過質心與環(huán)面垂直的轉軸的轉動慣量J環(huán)，理=;與測量值 J環(huán)，測=；比較可得： J環(huán)=J環(huán)，測-J 環(huán)，理=;相對誤差：E = J環(huán)/J環(huán)=% .2. 鋁圓盤：質量M = kg; D = cm同理，由式（16）可求圓盤繞過質心與環(huán)面垂直的轉軸的轉動慣量J盤，理=;與測量值J盤，測=；比較可得： J盤=J盤，測 -J盤，理=;相對誤差：E = J盤/J盤=%*3.由實驗步驟3的測量結果分別計算 a., b.兩種情況下兩移軸砝碼對中垂軸OO的轉動慣量Ja和Jb,并討論之。已知兩移軸砝碼總質量M = 2 X o.167kg砝

11、碼直徑=3.0 cm思考題:1. 簡要分析影響本實驗測量結果的各種因素是什么？如何減少它們對實驗結果的影 響？2. 本實驗測量轉動慣量的原理是什么？附錄：HMS-2 “通用電腦毫秒計”使用說明一、技術性能本儀器由單片機芯片和固有程序等組成。具有記憶存儲功能，最多可記64個脈沖輸入的（順序的）時間，并可隨意提取數據，還可以調整為脈沖的編組計時。它有備用通道，即雙通道“或”門輸入。此儀器為可編程記憶式雙路毫秒計。1.輸入脈沖寬度：不小于 10卩s2.計時范圍:0-999.999 秒3.計時誤差:< 0.0005 秒4.計時數組:1-645.適用電源:s 220V , 50Hz板面（如下圖）

12、為 2位脈沖個數數碼塊； 為 6位計時數碼塊； 為按鍵數據碼盤； 、分別為輸入 I 輸入插孔和通斷開關；、分別為輸入II輸入插孔和通斷開關；為電源；為復位鍵。三、使用方法1 用電纜連接光電門的發(fā)光管和輸入脈沖，只接通一路（另一路備用）。2 若只用輸入 I 插孔輸入， 請將該輸入通斷開關接通， 輸入 II 通斷開關斷開 （切記）。 反之亦然。若從兩輸入插孔同時輸入信號，請將兩通斷開關都接通。3. 接通電源：儀器進入自檢狀態(tài)。板面顯示88-888888四次后，顯示為 P0164，它表明制式（P）為每輸入1個（光電）脈沖，計一次時間，最多可記64個時間數據，小于 64 個也可以被儲存和提取數據。4.

13、 按一次“”或“T”鍵，面板顯示00 000000，此時儀器處于待記時狀態(tài)。輸入 第 1 個脈沖則開始計時。5. 64 個脈沖輸入后自動停止（小于 64 也可）。取出數據的方法如下：按 09 兩數碼鍵，則顯示“ *.* ”精確到毫秒的第一個脈沖到第九個脈沖之間 的時間，依次類推；按 01鍵，則顯示“ 000.000 ”表示計時開始的時間。按 J”鍵 一次，則脈沖記時的個數遞增1,因此方便地依次提取數據（按鍵則遞減） 。（1 ） 按“ 9”鍵兩次，儀器又處于新的待記時狀態(tài)，并把前次數據消除。（2） 按復位鍵，儀器為在電的重啟。四、調整制式的方法當啟動按“J”或“t”鍵后顯示P0164。這里，01表示制式（P）每一個（光電）脈沖計數一次，64表示計64個數據。因此，可以通過改變PXXYY中的XX值和YY值,獲得不同的計數