山大衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)第十章　直線回歸與相關(guān)

1、第十章直線回歸與相關(guān)學(xué)時(shí)分配：6 學(xué)時(shí)掌握內(nèi)容：1.直線相關(guān)與直線回歸的概念、適用條件、分析步驟。2.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和檢驗(yàn)。3.回歸方程的求法及檢驗(yàn)。4.直線相關(guān)與直線回歸的應(yīng)用及其注意事項(xiàng)。熟悉內(nèi)容：1.總體相關(guān)系數(shù)與總體回歸系數(shù)可信區(qū)間的估計(jì)。2.直線相關(guān)與直線回歸的區(qū)別與聯(lián)系。3.等級(jí)相關(guān)分析的應(yīng)用和計(jì)算。了解內(nèi)容：1.可信區(qū)間的估計(jì)和個(gè)體y值容許區(qū)間的估計(jì)。2.曲線直線化。難點(diǎn)內(nèi)容：1. 直線相關(guān)與直線回歸的應(yīng)用及其注意事項(xiàng)。2. 總體相關(guān)系數(shù)與總體回歸系數(shù)可信區(qū)間的估計(jì)。在醫(yī)學(xué)科學(xué)研究中，常要分析變量間的關(guān)系，如年齡與血壓、吸煙與肺癌、藥物劑量與動(dòng)物死亡率、環(huán)境介質(zhì)中污染物濃度與污染

2、源的距離等，回歸與相關(guān)(regreSSion and correlation)就是研究這種關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。本章只介紹回歸與相關(guān)中最簡(jiǎn)單、最基本的兩個(gè)變量間呈直線關(guān)系的分析方法。 第一節(jié)直線回歸一、直線回歸的概念直線回歸(linear regreSSion)是用直線回歸方程表示兩個(gè)數(shù)量變量間依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法，屬雙變量分析的范疇。如果某一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，并且它們的變化在直角坐標(biāo)系中呈直線趨勢(shì)，就可以用一個(gè)直線方程來(lái)定量地描述它們之間的數(shù)量依存關(guān)系，這就是直線回歸分析。直線回歸分析中兩個(gè)變量的地位不同，其中一個(gè)變量是依賴(lài)另一個(gè)變量而變化的，因此分別稱(chēng)為因變量(dependen

3、t variable)和自變量(independent variable)，習(xí)慣上分別用y和x來(lái)表示。其中x可以是規(guī)律變化的或人為選定的一些數(shù)值(非隨機(jī)變量)，也可以是隨機(jī)變量，前者稱(chēng)為I型回歸，后者稱(chēng)為II型回歸。二、直線回歸分析的應(yīng)用條件1.兩變量的變化趨勢(shì)呈直線趨勢(shì)(linear)；2.因變量y屬于正態(tài)隨機(jī)變量(normal distribution)；3.對(duì)于I型要求對(duì)于每個(gè)選定的X，y都有一個(gè)正態(tài)分布的總體，并且這些總體的方差都相等(equal variance)；對(duì)于II型回歸，要求x、y服從雙變量正態(tài)分布。三、直線回歸分析的一般步驟1.將n個(gè)觀察單位的變量對(duì)(x，y)在直角坐標(biāo)系

4、中繪制散點(diǎn)圖，若呈直線趨勢(shì)，則可擬合直線回歸方程。2.求回歸方程的回歸系數(shù)和截矩。3.寫(xiě)出回歸方程，畫(huà)出回歸直線。4.對(duì)回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。四、直線回歸方程及其求法（一）方程的形式及意義：直線回歸方程的一般形式為其中b稱(chēng)為回歸系數(shù)(coefficient of regression)，含義為當(dāng)x每變化1個(gè)單位時(shí)，因變量Y平均變化的單數(shù)；a稱(chēng)為截矩(intercept)，為回歸直線或其延長(zhǎng)線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（二）直線回歸方程的求法:方程中的a 和b是兩個(gè)待定常數(shù)，根據(jù)樣本實(shí)測(cè)(x,y)計(jì)算a 和b的過(guò)程就是求回歸方程的過(guò)程。為使方程能較好地反映各點(diǎn)的分布規(guī)律，應(yīng)該使各實(shí)測(cè)點(diǎn)到回歸直線的縱向

5、距離的平方和最小，這就是最小二乘法(least square method)原理。按以下公式計(jì)算：1.先求b：（12.2）式中l(wèi)xy為X、Y的離均差積和，lxx為X的離均差平方和；（12.3）(12.4)2.再求a:（12.5）因此，直線回歸方程也可用如下形式表示：。五、直線回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)回歸系數(shù)的檢驗(yàn)亦即是回歸關(guān)系的檢驗(yàn)，又稱(chēng)回歸方程的檢驗(yàn)，其目的是檢驗(yàn)求得的回歸方程在總體中是否成立，即是否樣本代表的總體也有直線回歸關(guān)系。我們知道即使X、Y的總體回歸系數(shù)為零，由于抽樣誤差的原因，其樣本回歸系數(shù)b也不一定為零，因此，需作是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)，方法有以下兩種：(一)方差分析其基本思想是將應(yīng)變量

6、Y的總變異SS總分解為SS回歸和SS剩余，然后利用F檢驗(yàn)來(lái)判斷回歸方程是否成立。SS總即，為Y的離均差平方和（total sum of squares），反映未考慮X與Y的回歸關(guān)系時(shí)Y的變異，其意義可通過(guò)圖12.2加以說(shuō)明。P(X,Y)YX圖12.2應(yīng)變量Y的平方和劃分示意圖任一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)被回歸直線與均數(shù)截成三段：第一段，表示實(shí)測(cè)點(diǎn)P與回歸直線的縱向距離，即實(shí)際值Y與估計(jì)值之差，稱(chēng)為剩余或殘差。第二段，即Y估計(jì)值與均數(shù)之差，它與回歸系數(shù)的大小有關(guān)。|b|值越大，也越大，反之亦然。當(dāng)b=0時(shí)，亦為零，則=,也就是回歸直線不能使殘差減小。第三段，是應(yīng)變量Y的均數(shù)。上述三段的代數(shù)和為：Y=+移項(xiàng)：

7、Y-=+P點(diǎn)是散點(diǎn)圖中任取的一點(diǎn)，將所有點(diǎn)都按上法處理，并將等式兩端平方后再求和，則有：上式用符號(hào)表示為：SS總=SS回+SS剩(12.6)式中，SS回即，為回歸平方和(regression sum of squares)，它反映在Y的總變異SS總中由于X與Y的直線關(guān)系而使Y變異減小的部分，也就是在總平方和中可以用X解釋的部分。SS回越大，說(shuō)明回歸效果越好,即SS總中可用X與Y線性關(guān)系解釋的變異越多。SS剩即，為剩余平方和(residual sum of squares)，它反映X對(duì)Y的線性影響之外的一切因素對(duì)Y的變異的作用，也就是在總平方和SS總中無(wú)法用X解釋的部分。在散點(diǎn)圖中，各實(shí)測(cè)點(diǎn)離回

8、歸直線越近，也就越小，說(shuō)明直線回歸的估計(jì)誤差越小。所以，總變異SS總是由回歸關(guān)系引起的SS回和與回歸無(wú)關(guān)的其它各種因素產(chǎn)生的SS剩所構(gòu)成。若回歸直線與各實(shí)測(cè)點(diǎn)十分吻合，則SS回將明顯大于SS剩，當(dāng)全部實(shí)測(cè)值都在回歸直線上時(shí)，SS總=SS回，SS剩=0，反之，若回歸直線擬合不好，SS回相對(duì)較小，SS剩則相對(duì)增大。可見(jiàn)SS回/SS剩反映了回歸的效果。上述三 個(gè)平方和，各有其相應(yīng)的自由度，并有如下的關(guān)系：總=回+剩總=n-1,回=1,剩=n-2(12.7)式中，n為樣本含量。SS總的計(jì)算大家已熟悉，即（12.8）SS回和SS?？赏ㄟ^(guò)下列公式進(jìn)行計(jì)算（12.9）SS剩= SS總-SS回(12.10)方

9、差分析時(shí)的步驟與一般假設(shè)檢驗(yàn)相同。統(tǒng)計(jì)量F的計(jì)算(12.11)(二)t檢驗(yàn)其基本思想是利用樣本回歸系數(shù)b與總體均數(shù)回歸系數(shù)?進(jìn)行比較來(lái)判斷回歸方程是否成立，實(shí)際應(yīng)用中因?yàn)榛貧w系數(shù)b的檢驗(yàn)過(guò)程較為復(fù)雜,而相關(guān)系數(shù)r的檢驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單并與之等價(jià),故一般用相關(guān)系數(shù)r的檢驗(yàn)來(lái)代替回歸系數(shù)b的檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算公式為（12.12）(12.13)(12.14)式中，Sb為樣本回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤；SY.X為剩余標(biāo)準(zhǔn)差（residual standard deviation），它是指扣除了X對(duì)Y的線性影響后，Y的變異，可用以說(shuō)明估計(jì)值的精確性。SY.X越小，表示回歸方程的估計(jì)精度越高。說(shuō)明：兩種檢驗(yàn)方法是等價(jià)的，

10、F=t2。例10.1某醫(yī)生研究?jī)和w重與心臟橫徑的關(guān)系，測(cè)得13名8歲正常男童的體重與心臟橫徑，數(shù)據(jù)見(jiàn)表10.1。試作回歸分析。(1)以體重作為自變量，心臟橫徑作為因變量，作散點(diǎn)圖(圖10.1)，發(fā)現(xiàn)呈直線趨勢(shì)，可擬合直線回歸方程。表10.113名8歲健康男童體重與心臟橫徑的關(guān)系編號(hào)體重(kg,X)心臟橫徑(cm,Y)125.59.2219.57.8324.09.4420.58.6525.09.0622.08.8721.59.0823.59.4926.59.71023.58.81122.08.51220.08.21328.09.9(2)求回歸方程： 本例，,，故，回歸方程為。(3)回歸方程的檢

11、驗(yàn)：方差分析：H0：總體回歸系數(shù)b=0，即8歲男童心臟橫徑與體重之間不存在直線關(guān)系H1：總體回歸系數(shù)b10，即8歲男童心臟橫徑與體重之間存在直線關(guān)系a=0.05，變異來(lái)源SSnMSFP總4.192312回歸3.344413.344443.390.01剩余0.8479110.0771查方差分析用的F界值表，得P0.01，按a=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為8歲健康男童心臟橫徑與體重之間存在直線關(guān)系。t檢驗(yàn)：H0：總體回歸系數(shù)b=0，即8歲男童心臟橫徑與體重之間不存在直線關(guān)系H1：總體回歸系數(shù)b10，即8歲男童心臟橫徑與體重之間存在直線關(guān)系a=0.05, 按n=11查t界值表，得P0.01，

12、按a=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為8歲健康男童心臟橫徑與體重之間存在直線關(guān)系。六、直線回歸方程的圖示為了進(jìn)行直觀分析或?qū)嶋H需要，可在坐標(biāo)軸上任意取相距較遠(yuǎn)且易讀的兩X值，根據(jù)所求直線回歸方程算得對(duì)應(yīng)值，如上例取X1=20.0, X2=25.0，代入回歸方程算得，。在圖上確定（20.0,8.2945）和（25.0,9.3151）兩個(gè)點(diǎn)，連接上述兩點(diǎn)就可得到回歸方程的圖示(見(jiàn)圖1)。應(yīng)注意的是，連出的回歸直線不應(yīng)超過(guò)X的實(shí)測(cè)值范圍；所繪回歸直線必然通過(guò)；將直線的左端延長(zhǎng)與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)必等于截距a，據(jù)此可判斷所繪圖形是否正確。七、直線回歸的區(qū)間估計(jì)（一）總體回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)根據(jù)參數(shù)估計(jì)

13、原理，回歸系數(shù)b是總體回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，正像樣本均數(shù)不一定恰好等于總體均數(shù)一樣，需要通過(guò)式（12.15）對(duì)總體回歸系數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。（12.15）式中Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤；n-2為自由度。例10.2根據(jù)例10.1資料的樣本回歸系數(shù)b=0.2141估計(jì)總體回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間。已知b=0.2141,sb=0.03098,t0.05(11)=2.201則總體回歸系數(shù)的95%可信區(qū)間為(0.2141-2.2010.03098, 0.2041+2.2010.03098)=(0.1359,0.2723)(二)的區(qū)間估計(jì)是指總體中自變量X為某一定值X0時(shí)，的總體均數(shù)。對(duì)的估計(jì)可計(jì)算可信區(qū)間：（12.

14、16）式中即的標(biāo)準(zhǔn)誤，可按下式計(jì)算：（12.17）式中SY.X為剩余標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)時(shí)，此時(shí)，可信區(qū)間的范圍最窄，預(yù)測(cè)精度相對(duì)較高。例10.3根據(jù)例10.1資料，試計(jì)算當(dāng)X0=25.0kg時(shí)，的95%可信區(qū)間。已知，, =4.2121+0.204125.0=9.3151t0.05(6)=2.201當(dāng)X0=1.00時(shí)，的95%可信區(qū)間為（9.3151-2.2010.0952, 9.3151+2.2010.0952）=(9.106,9.525)即體重為25.0kg的8歲男童，估計(jì)其心臟橫徑的總體均數(shù)在(9.106,9.525)范圍內(nèi)的可能性為95%。（三）個(gè)體Y值的容許區(qū)間總體中，X為一定值時(shí)，個(gè)體Y值

15、的波動(dòng)范圍，可按下式求出：（12.18）式中SY為X取一定值時(shí)，個(gè)體Y值的標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算公式為（12.19）例10.4根據(jù)例10.1資料，試計(jì)算當(dāng)X0=25.0時(shí)，個(gè)體Y值的95%容許區(qū)間。已知=9.3151，t0.05(11)=2.201，SY.X=0.2776故當(dāng)X0=1.00時(shí)，個(gè)體Y值的95%容許區(qū)間為：（9.3151-2.2010.2935, 9.3151+2.2010.2935）=(8.6692,9.9610)即當(dāng)X0=25.0kg時(shí)，總體中有95%的個(gè)體Y值波動(dòng)在(8.6692,9.9610)的范圍內(nèi)。八、直線回歸方程的應(yīng)用(一)定量描述兩變量之間的依存關(guān)系對(duì)回歸系數(shù)b進(jìn)行假設(shè)檢

16、驗(yàn)時(shí)，若, 可認(rèn)為兩變量間存在直線回歸關(guān)系，則直線回歸方程即為兩個(gè)變量間依存關(guān)系的定量表達(dá)式。(二)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)(三)利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過(guò)控制X的范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo),所以統(tǒng)計(jì)控制是利用回歸方程進(jìn)行的逆估計(jì)。例10.5某市環(huán)境監(jiān)測(cè)站在某交通點(diǎn)連續(xù)測(cè)定30天，每天定時(shí)采樣3次，發(fā)現(xiàn)大氣中NO2濃度Y(mg/m3)與當(dāng)時(shí)的汽車(chē)流量X(輛/小時(shí))呈直線關(guān)系，根據(jù)90對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)求得回歸方程，剩余標(biāo)準(zhǔn)差。若NO2最大容許濃度為0.15mg/m3,則汽車(chē)流量應(yīng)如何控制？設(shè)a=0.05。本例，a=0.05，n=90-2=88，查表得單側(cè)t0.05(88)=1.6624。由

17、于本例未給出每小時(shí)汽車(chē)流量的均數(shù)及，且樣本含量較大，故以代替，計(jì)算個(gè)體Y值單側(cè)95%容許區(qū)間的上限：當(dāng)時(shí)，解得X=1209，即只要把汽車(chē)流量控制在1209輛/小時(shí)以下，那么就有95%可能使NO2不超過(guò)最大容許濃度0.15mg/m3。（四）應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)1.作回歸分析要有實(shí)際意義，不能把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象，隨意進(jìn)行回歸分析，忽視事物現(xiàn)象間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律；如對(duì)兒童身高與小樹(shù)的生長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析既無(wú)道理也無(wú)用途。另外，即使兩個(gè)變量間存在回歸關(guān)系時(shí)，也不一定是因果關(guān)系，必須結(jié)合專(zhuān)業(yè)知識(shí)作出合理解釋和結(jié)論。 2直線回歸分析的資料，一般要求應(yīng)變量Y是來(lái)自正態(tài)總體的隨機(jī)變量，自變量X可以是正態(tài)隨

18、機(jī)變量，也可以是精確測(cè)量和嚴(yán)密控制的值。若稍偏離要求時(shí)，一般對(duì)回歸方程中參數(shù)的估計(jì)影響不大，但可能影響到標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，也會(huì)影響假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)P值的真實(shí)性。3進(jìn)行回歸分析時(shí)，應(yīng)先繪制散點(diǎn)圖(scatter plot)。若提示有直線趨勢(shì)存在時(shí)，可作直線回歸分析；若提示無(wú)明顯線性趨勢(shì)，則應(yīng)根據(jù)散點(diǎn)分布類(lèi)型，選擇合適的曲線模型(curvilinear modal)，經(jīng)數(shù)據(jù)變換后，化為線性回歸來(lái)解決。一般說(shuō)，不滿足線性條件的情形下去計(jì)算回歸方程會(huì)毫無(wú)意義，最好采用非線性回歸方程的方法進(jìn)行分析。4繪制散點(diǎn)圖后，若出現(xiàn)一些特大特小的離群值（異常點(diǎn)），則應(yīng)及時(shí)復(fù)核檢查，對(duì)由于測(cè)定、記錄或計(jì)算機(jī)錄入的錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，應(yīng)予

19、以修正和剔除。否則，異常點(diǎn)的存在會(huì)對(duì)回歸方程中的系數(shù)a、b的估計(jì)產(chǎn)生較大影響。5回歸直線不要外延。直線回歸的適用范圍一般以自變量取值范圍為限，在此范圍內(nèi)求出的估計(jì)值稱(chēng)為內(nèi)插（interpolation）；超過(guò)自變量取值范圍所計(jì)算的稱(chēng)為外延（extrapolation）。若無(wú)充足理由證明，超出自變量取值范圍后直線回歸關(guān)系仍成立時(shí)，應(yīng)該避免隨意外延。 第二節(jié)直線相關(guān)分析一、直線相關(guān)的概念直線相關(guān)分析是描述兩變量間是否有直線關(guān)系以及直線關(guān)系的方向和密切程度的分析方法。直線回歸分析方法是描述兩變量間依存變化的方法。實(shí)際工作中有時(shí)并不要求由X估計(jì)Y(或者先不考慮這個(gè)問(wèn)題)而關(guān)心的是兩個(gè)變量間是否確有直線

20、相關(guān)關(guān)系，如有直線相關(guān)關(guān)系，那么它們之間的關(guān)系是正相關(guān)(positive correlation)，還是負(fù)相關(guān)(negative correlation)以及相關(guān)程度(degree of relationship)如何? 此時(shí)可應(yīng)用相關(guān)分析。直線相關(guān)的定義：如果兩個(gè)隨機(jī)變量中，一個(gè)變量由小到大變化時(shí)，另一個(gè)變量也相應(yīng)地由小到大(或由大到小)地變化，并且測(cè)得兩變量組成的坐標(biāo)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中呈直線趨勢(shì)，就稱(chēng)這兩個(gè)變量存在直線相關(guān)關(guān)系。直線相關(guān)(1inear correlation)又稱(chēng)簡(jiǎn)單相關(guān)(simple correlation)，用于雙變量正態(tài)分布(bivariate normal distr

21、ibution)資料,一般說(shuō)來(lái)，兩個(gè)變量都是隨機(jī)變動(dòng)的，不分主次，處于同等地位。兩變量間的直線相關(guān)關(guān)系用相關(guān)系數(shù)r(correlation coefficient)描述。直線相關(guān)的性質(zhì)可由散點(diǎn)圖（圖12.3）直觀地說(shuō)明。(a)0r1(b)-1r0(c)r=1(d)r=-1(e)r=0(f)r=0(g)r=0(h)r=0圖12.3相關(guān)系數(shù)示意圖a，散點(diǎn)呈橢圓形分布，宏觀而言?xún)勺兞縓、Y變化趨勢(shì)是同向的，稱(chēng)為正線性相關(guān)或正相關(guān)(0r1)；反之，圖b中的X、Y問(wèn)呈反向變化，稱(chēng)為負(fù)線性相關(guān)或負(fù)相關(guān)(-1r0)。圖c的散點(diǎn)在一條直線上、且X、Y是同向變化，稱(chēng)為完全正相關(guān)(perfect positive

22、 correlation, r=1)；反之，圖d中的X、Y呈反向變化，稱(chēng)為完全負(fù)相關(guān)(perfect negative correlation, r=-1)。圖e-圖h，兩變量間毫無(wú)聯(lián)系或可能存在一定程度的曲線聯(lián)系而沒(méi)有直線相關(guān)關(guān)系、稱(chēng)為零相關(guān)(zero correlation, r=0)。正相關(guān)或負(fù)相關(guān)并不一定表示一個(gè)變量的改變是另一個(gè)變量變化的原因，有可能同受另一個(gè)因素的影響。二、相關(guān)系數(shù)的意義及計(jì)算相關(guān)系數(shù)亦稱(chēng)積差相關(guān)系數(shù)（coefficient of product-moment correlation），用r表示樣本相關(guān)系數(shù)，表示總體相關(guān)系數(shù)。它是說(shuō)明有直線關(guān)系的兩變量間，相關(guān)關(guān)系密

23、切程度和相關(guān)方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。計(jì)算公式表示（12.20）相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位，其值-1r1。當(dāng)兩變量呈同向變化時(shí)，0r1，為正相關(guān)；兩變量呈反向變化，-1r0，為負(fù)相關(guān)；r0為零相關(guān)，表示無(wú)直線相關(guān)關(guān)系；兩變量呈同向或反向變化且點(diǎn)子分布在一條直線上，|r|1為完全相關(guān)。完全相關(guān)屬相關(guān)分析中的待例，由于醫(yī)學(xué)研究中影響因素眾多，個(gè)體變異不可避免，很少呈現(xiàn)完全相關(guān)。例10.6根據(jù)例10.1資料，試計(jì)算8歲健康男孩體重與心臟橫徑的相關(guān)系數(shù)。由例12.1已算得 ，lXX=80.2692,lYY=4.1923, lXY=16.3846三、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r是樣本相關(guān)系數(shù)，它只是總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。從

24、同一總體中抽出的不同樣本會(huì)提供不同的樣本相關(guān)系數(shù)，因而，樣本相關(guān)系數(shù)也存在變異性。所以，即使從=0的總體作隨機(jī)抽樣，由于抽樣誤差的影響，所得r值，也不一定等于零。故當(dāng)計(jì)算算出r值后，接著應(yīng)做=0的假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷兩變量的總體是否有直線相關(guān)關(guān)系。常用t檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值的計(jì)算公式如下：(12.21)例10.7根據(jù)例10.6求得的r值，檢驗(yàn)該地飲水氟含量與氟骨癥發(fā)病率是否有直線相關(guān)關(guān)系。H0: =0H1: 0已知n=8,r=0.9338查t界值表，得P50時(shí)，可通過(guò)u檢驗(yàn)進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量u值的計(jì)算公式為，（12.28）例10.7在肝癌病因研究中，某地調(diào)查了10個(gè)鄉(xiāng)的肝癌死亡率（1/10萬(wàn)）

25、與種食物中黃曲霉毒素相對(duì)含量（最高含量為10），見(jiàn)表12.1。試作直線相關(guān)分析。表12.1肝癌死亡率與黃曲霉毒素相對(duì)含量鄉(xiāng)編號(hào)(1)黃曲霉毒素相對(duì)含量肝癌死亡率（1/10萬(wàn)）d(6)=(3)-(5)d2(7)X(2)秩次(3)Y(4)秩次（5）10.7121.532421.0218.920031.7314.412443.7446.57-3954.0527.341165.1664.69-3975.5746.361185.7834.253995.9977.610111010.01055.1824合計(jì)42將兩個(gè)變量的觀察值分別從小到大編秩，若同一變量有相同觀察值，則取平均秩次，見(jiàn)表12.1第(3)、(5)欄。已知n=10,查rs界值表，rs0.02(10)=0.745，得P0.02，按水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，故可以認(rèn)為黃曲霉毒素與肝癌死亡率間存在正相關(guān)關(guān)系。若上例中10個(gè)鄉(xiāng)的黃曲霉毒素含量為：1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,5.0,5.0,5.0,10.0,10.0,則其秩次依次為：3，3，3，3，3，7，7，7，9.5, 9.5, 因相同秩次的個(gè)數(shù)較多，此時(shí)宜計(jì)算。如果其它數(shù)據(jù)不變，則TX為，查rs界值表，rs0.02(10)=0.745，得P0時(shí)，Y隨X增大而增大