概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(20211111124213)

1、第五章點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)設(shè)總體X的分布類型，參數(shù)未知，如分布函數(shù)為 F(x;r)(或分布律為 p(x;r)，概率密度為f(x;日)，日=(L)日k是未知參數(shù)，如總體服從泊松分布，X兀仏)，九未知；總體服從均勻分布，區(qū)間兩端未知，X U (a,b),a :：: b是兩個(gè)未知參數(shù)等。于是從總體中抽取簡單隨機(jī)樣本 X1JH-Xn，來估計(jì)未知參數(shù)。估計(jì)的方式有兩種，一是構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量T(XiJ|l,Xn)估計(jì)二，稱為點(diǎn)估計(jì)，另一種是構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，使該區(qū)間覆蓋參數(shù)真值的概 率到達(dá)要求的置信度，稱為區(qū)間估計(jì)。下面分別介紹這兩種方法。5.1矩估計(jì)極大似然估計(jì)設(shè)總體x的分布，如概率密度為f(xp)(或分布律為p(x

2、；e)，e =他,.,縱)是未知參數(shù)，根據(jù)獲得的樣本，如何構(gòu)造點(diǎn)估計(jì)？下面介紹兩種經(jīng)典的方法：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。矩估計(jì)的思想是將未知的參數(shù)轉(zhuǎn)化為未知的總體矩，而總體矩用樣本矩進(jìn)行估計(jì)。具體步驟如下：第1步，計(jì)算飛=E(X)=gg,川耳)，卩2 =E(X ) = g2 (日111),比=E(Xk)=gk(ql|,®)第2步，將參數(shù)轉(zhuǎn)化為總體矩的函數(shù)勺f岸川岸k),22(% 川 H),I - 耳譏宀川")._ 1 n第3步，由樣本矩估計(jì)總體矩 ？ =X,|I|,% =九=丄7 X：,得參數(shù)的矩估計(jì)n im卑=hi(也,刃2 川 I，%) = hi (X , A?川 i,

3、 Ak),層 2(氣,刃2,川,)2(X,A2，| 山 AQ,g =hk(Ki,蔦，川，魔)=hk(X,A2,IH,Ak).注：如果有k個(gè)未知參數(shù)，要求總體至少有k階矩二E(Xk)存在，且九，入與叫，,一一對(duì)應(yīng)，否那么要用到更高階矩。例如，總體只有一個(gè)參數(shù) 二，計(jì)算EX =gG，解得“ =hEX，從而矩估計(jì)hX。，解得3二=.3EX2，從而矩估計(jì)?=3Xi2。n i 二假設(shè)要估計(jì)的是總體的均值和方差二2，計(jì)算2，解得假設(shè)總體XU一二0未知，貝y EX=O，需要繼續(xù)算二階矩 Ex2卩 1 n 2' 2，于是矩估計(jì)為 ？ = x,；?2 =A2 -X2 = 7 (Xj - X)2 =b2.

4、這也說明如- 八2 -叫n V果總體有兩個(gè)未知參數(shù)弓，二2，那么叫遼遷7曾J,解得：2 =EX = g2 哥,二2 彳二 0 (?1, ?2)= h(X , A?),t$=h2(!?,建2)=h2(X,A2).r2吩E(X)弋何日2),解得 /?*(%，)= h；(X,B2),同解。= E(X -E(X)2=g2(qp2).篦"；們)"；區(qū)閃.例設(shè)總體xnC，X1jH,Xn是總體x的簡單隨機(jī)樣本，1假設(shè),二2均未2 2 2知，求匚的矩估計(jì)；2假設(shè)'未知，二=1，求的矩估計(jì)；3假設(shè)二未知，"-1， 求二2的矩估計(jì)。_ _ 1 n _解: 1二匚2的矩估計(jì)為？

5、=X,；?2 =a2-X2Xi-X2=B2；n im2 J的矩估計(jì)為電=X ；1 n(3)E(X)=1,E(X2)=二2 1，所以，二2 二 E(X2)1，:？2 二 A21Xj21。n im例設(shè)總體X B3, p，p未知，對(duì)總體進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)觀察，結(jié)果為3, 1, 1, 2,2,求p的矩估計(jì)值。解：EX=3p , p=EX/3 , X=1.8，所以 p 的矩估計(jì)值 p = 0.6。極大似然估計(jì)的思想是參數(shù)的估計(jì)是使得樣本值出現(xiàn)的概率到達(dá)最大對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。即假設(shè)總體X的分布律為p(X；d),-=(哥,，和)是未知參數(shù)，X/H，Xn是總體的簡單隨機(jī)樣本，其樣本觀測(cè)值為Xi,川，Xn , L(R

6、二P(Xi =Xi,HI,Xn二Xn)二P(Xi； 0.卩(冷旳稱為似然函數(shù)，假設(shè)：?滿足L(訶=maxL(R，稱役為極大似然估計(jì)。0對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 f(x;R，-(哥,.,丑)是未知參數(shù)，X"，川，Xn是總體的 簡單隨機(jī)樣本，其樣本觀測(cè)值為 咅，川，X.，似然函數(shù)定義為L(R = f (Xi；R.f(Xn；“，極 大似然估計(jì)T?滿足L(3二maxL(R。這里，樣本在觀測(cè)值鄰域的概率近似值為6P(為 _Xi 為 LXi,川，Xn _Xn _Xn LXn)f(XiR).f(XnC)XiX ，而區(qū)域 .兇厶禺的大小與參數(shù)無關(guān)，是事先確定的，因此似然函數(shù)取為 L f (X1)

7、.f(Xn) o求極大似然估計(jì)通常采用的方法是:nn px；bL二 n丨【f(Xj；R i呂第1步，根據(jù)樣本求似然函數(shù)當(dāng)離散型總體有分布律p(x;巧時(shí)，當(dāng)連續(xù)型總體有概率密度f(x;R時(shí).第2步，求對(duì)數(shù)似然函數(shù)ln L(r),第3步，令號(hào)?九點(diǎn)，解得約|沁即為參數(shù)皿山的極大似然估計(jì)。注1：取對(duì)數(shù)似然函數(shù)的目的只是簡化計(jì)算，因?yàn)長(R與ln L(R在同一點(diǎn)到達(dá)極大值，而許多分布律或概率密度具有指數(shù)型，導(dǎo)數(shù)為0的解通常是可能的極值點(diǎn)，而對(duì)于分布律或概率密度而言，其解都是極大值點(diǎn)，因此不再去驗(yàn)證它。注2:有些似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)是單調(diào)函數(shù)，此時(shí)求導(dǎo)不可能等于0,這種情況通常發(fā)生在似然函數(shù)的取值范圍與參數(shù)

8、有關(guān)，極大似然估計(jì)按定義直接計(jì)算。注3：假設(shè)？是二的極大似然估計(jì)，那么 gL)的極大似然估計(jì)為 g(巧。注4:“估計(jì)是“估計(jì)量和“估計(jì)值的統(tǒng)稱，假設(shè)估計(jì)結(jié)果是用樣本表示的，就是估計(jì) 量；如果估計(jì)結(jié)果是用樣本觀測(cè)值表示的，就是估計(jì)值。兩者是不會(huì)引起混淆的。例設(shè)總體XN(»；") , Xi,lH,Xn是總體X的簡單隨機(jī)樣本，(1)假設(shè)J2均未知，求 亠;2的極大似然估計(jì)；(2 )假設(shè)亠未知，匚2 =1，求)的極大似然估計(jì)；(3)假設(shè)二2未知，亠-1，求二2的極大似然估計(jì)。1 n1丄送Xi_k2解：1 L；2 - e 2；- V ,2、nJ2w ln L.L,匚2 - - nin

9、2 二_nin 2 打' 人-2 ,222o i 4幷1 nin LC - - -2Xi - = 0,= ? = X 2 i4n 1 二 / llx2 cRLf:?2丄Xi - X2n i即J2的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)相同。1(2)二 2 =1，L(士嚴(yán)叮廠, in LV -ln2 二-丄、x J2 ,22 y心nY in L " - -' Xj -， = 0,= ? = Xi 呂即匚2時(shí),J的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)相同。21= 2'n3 l；2= N22 nn 212in L二in2 二 in 二化一12 ,1 2一 ' Xi -12 n i d222c

10、r2 72in L匚2 厶 'X -12 = 0，= ；?22二2二 id2即J =1時(shí)，二的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)不相同。日 0 < x £1例設(shè)總體X的概率密度為f(XL), 0為未知參數(shù)，XjHXnI 0,其他解：矩估計(jì)：EX =X dX,EX ,_. m X。B+11 -EX1-X是X的簡單隨機(jī)樣本，求 二的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì):nLLrnX1ll|Xn,in L" = nin 二二 -1、in Xi，i =1_n、Tn Xji 4nnIn L(r) =' In XjB i4例設(shè)總體X U(a,b), 0 :：: a :：: b未知

11、，X1JH,Xn是X的簡單隨機(jī)樣本，求a,b的矩 估計(jì)與極大似然估計(jì)。L(a,b)1(b -a)Rn/iR-maxXi，而似然函數(shù)iL (a, b) 關(guān)于a單調(diào)增，(b a)解：矩估計(jì)：Xa +bE(X) - 2 la 二E(X)-、. 3D(X)?=X-.3B2D(X) (b-a)b 二 E(X) . 3D(X)t?=X 、3B?i ( _ 12i極大似然估計(jì)：1L(a, b) ,a 二 Xj 三b, i =1,., n，等價(jià)于(b a)關(guān)于b單調(diào)減，因此a的最大值與b的最小值分別為a,b的極大似然估計(jì)，注意到 a的取值 不高于min Xi， b的取值不低于 maxXj，因此a,b的極大似然

12、估計(jì)為i <<i 豈？XidmaxXi。5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)一一無偏性從上節(jié)的例中看出，用不同的方法得到參數(shù) 二的不同估計(jì)量，那么這些估計(jì)量如何進(jìn)行比擬呢？所以，這一節(jié)介紹估計(jì)量的一些重要的也是根本的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)總體x有未知參數(shù)二，xjH,xn是總體x的簡單隨機(jī)樣本，依據(jù)某種方法，得到二的估計(jì)量=(XiJ|,Xn)，假設(shè)E(為“，稱孑是二的無偏估計(jì)量。例 5.2.1 設(shè)總體 X 的數(shù)字特征 E(X)二D(X) =：；2,E(Xk)二二k,k-2存在，X，川，Xnn是總體X的簡單隨機(jī)樣本。證明：(1)AX：,l =1，,k是7的無偏估計(jì)，特別地,n i#1 n 2 2X是的無偏估計(jì)

13、；(2) B2(Xj -X)2不是匚2的無偏估計(jì)，而n y1n -1n_、(Xj -X)2是二2的無偏估計(jì)。i =1證明:1 ni n(1)E(A)E(X；)：nn i丄(2)B2=-x (Xi X)2(Xi L)_(X)2(Xin i 4n i 4n i 丄一i2 _X 一 T21 n1 nE(B2)= ' E(Xi -i)2-E(X)2 = ' D(Xi)-D(X)二 n i ±n i an 1 222nn n 122lim E(B?) =lim, E(S ) = E(B2)=n'n ； ： nn -1 n -1 n例總體X N(1,；2)，二2未知，X,

14、|H，Xn是總體X的簡單隨機(jī)樣本，由例n和例，得2的矩估計(jì)為?2=送X： -1，極大似然估計(jì)為n yn；?22 二-' (Xi -1)2，n z判斷它們是否為二2的無偏估計(jì)。解:nE(?2)E(X：) 一1 二(D(Xi ) 1) -c2n nEC?22EXi -12DXi -2，均是無偏估計(jì)。n i壬n y下面通過一個(gè)簡單例子說明無偏估計(jì)的意義。例設(shè)總體X的分布律如下表所示，那么總體均值為8/3 = 2.66667X的取值134概率1/31/31/3從總體中采用放回抽樣，取得n=2的樣本，而所有可能的樣本均值見下表編號(hào)樣本樣本均值編號(hào)樣本樣本均值編號(hào)樣本樣本均值11, 1143, 1

15、274, 12.521, 3253, 3384, 33.531, 42.563, 43.594, 44即對(duì)于一次具體的抽樣結(jié)果，用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)可能估計(jì)過高，可能估計(jì)過低，不過這9個(gè)樣本均值的平均恰好為 8/3,就是總體均值，這就是無偏性！5.3區(qū)間估計(jì)對(duì)于總體X的未知參數(shù)二，根據(jù)樣本X,lH,Xn，不僅要得到二的點(diǎn)估計(jì)，還要了解估計(jì)的精確度，即希望給出一個(gè)區(qū)間硏，使P玄£日v況耳-a，稱1-a為置信度或置信水平, 爲(wèi)趕 為雙側(cè)置信區(qū)間。假設(shè)P玄£日釘-a，稱卑是置信度為1-。的單側(cè)置信下限，假設(shè)PT £比g，稱況是置信度為1 -口的單側(cè)置信上限。容易證明

16、，假設(shè)g是置信度為1-a,的單側(cè)置信下限，每是置信度為1-«2的單側(cè)置信上限，那么何，瓦是置信度為1口15的雙側(cè)置信區(qū)間。常取 。1=口2=。/2。對(duì)于參數(shù)00，Pg CO。c氏=1a的置信區(qū)間銃，況的含義是：將樣本 X1,|",Xn實(shí)現(xiàn)N次，得到N個(gè)具體的區(qū)間，這些區(qū)間中包含 V。的約占1 - ，不包含V。的約占。P呂£日。=1 -a的單側(cè)置信下限 憶的含義是：將樣本XjHXn實(shí)現(xiàn)N次，得到N個(gè)具 體的下限值，這些值中小于 卞的約占1，大于等于氏的約占：。P0。£況=1 -a的單側(cè)置信上限 每的含義是：將樣本 X1,|",Xn實(shí)現(xiàn)N次，得到N

17、個(gè)具體的上限值，這些值中大于 。的約占1 - :，小于等于®的約占二。F面兩圖模擬了正態(tài)總體均值的置信度為95%和80%的置信區(qū)間，這里真值=2，樣本量n =9，重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)各為 N=200。從圖中可以看出，置信度越高，得到的置信區(qū)間越 長，如果置信區(qū)間的長度作為精確度指標(biāo)，那么說明精確度越低。此外，對(duì)于一次具體的試驗(yàn),所得到的置信區(qū)間要不包含真值，要不就不包含真值，這里無概率可言。1 1 2 1 1 5 6 1 1 9 1 1 * 3 4 1 1 1 8 1系列1系列2系列343.532.521.510.503.532.521.51系列1系列2系列30.5liinii|iinii|

18、iinii|iinni n ijin mu iimi|iniiiinii|iiiiii|iini|inii|iirin itiiiii iiiii iiiiiii|iiiTii|inii|iinii|iinii|iniiiii i n iiiiiiniiiriiiiniinii1 1 2 1 1 5 6 1 1 9 1 1 彳 3 4 1 1 1 8 1如何構(gòu)造置信區(qū)間？在這里介紹的是一種最根本的構(gòu)造置信區(qū)間的方法一一樞軸量方法。先 來看一個(gè)例子:2例設(shè)某袋裝食品重量單位：克 X N,3 ，現(xiàn)從一大批該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 10件，稱得重量如下：251.3249.6250.4248.8 246.42

19、49.1252.3247.5255.4250.2試在置信度為0.95下求總體均值的雙側(cè)置信區(qū)間。解：首先獲得 的點(diǎn)估計(jì)量，就是樣本均值X ;進(jìn)一步得到點(diǎn)估計(jì)量的分布，由 132X - 1 ，即 3,0，因此只要有a,b，使得Pa ： Xb = 0.95，等價(jià)地有PX310a) =0.95，即(X 1ob,X3,10a為丄的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間。求置信區(qū)間的關(guān)鍵點(diǎn)是我們找到了X - J3 .10它是樣本與待估參3A/10數(shù)的函數(shù)，它的分布，分布中不含未知參數(shù)， 稱之為樞軸量。另一方面，我們注意到a,b 的選取并不唯一，這時(shí)就要考慮另一個(gè)指標(biāo)一一精確度，要使得區(qū)間最短，等價(jià)于b-a最小，

20、對(duì)于對(duì)稱分布而言，當(dāng) a,b是對(duì)稱點(diǎn)，即b = -a = z0.025時(shí)，精確度最高，因此最后的置信區(qū)間為X= 1.96，置33_命 Z0.025' * 冷 Z0.025)，計(jì)算得 二 250.1，查表得 Z0.025信區(qū)間為248.24，251.96。這個(gè)置信區(qū)間包含了真值嗎？如果袋裝食品的標(biāo)注重量為250克，顯然這個(gè)置信區(qū)間包含了真值。 但是還有很多情況我們并不知道真值是多少，這時(shí)得到的置信區(qū)間又如何解釋呢？通常我們描述成“有95%把握認(rèn)為置信區(qū)間包含了真值。樞軸量定義：設(shè)總體X的分布含有待估的未知參數(shù)二,XjH,Xn是總體X的簡單隨機(jī)樣本，G(Xi,川，Xn,R稱為樞軸量，如果它

21、是樣本與待估參數(shù)的函數(shù)，此外不含其他未 知參數(shù)，并且G(Xi,HI,XnJ)的分布(或近似分布)，分布中不含未知參數(shù)。例如當(dāng)總體 XN(*2), X1JH，Xn是總體X的簡單隨機(jī)樣本，眾所周知，XXX _ IX一 N(0,1)，對(duì)于待估參數(shù) 卩，假設(shè)0T，那么-一就是樞軸量，假設(shè)QT未知，那么X一 二，n'匚.n二.n就不是樞軸量，此時(shí)八是樞軸量，八t( n_1)。s：亦求雙側(cè)置信區(qū)間可以按如下步驟進(jìn)行：第一步：求待估參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，首選為極大似然估計(jì)，也可以是其他估計(jì)，如無偏估計(jì)， 矩估計(jì)等；第二步：根據(jù)點(diǎn)估計(jì)的分布，改造得到樞軸量G(X1l,Xn)；第三步：根據(jù)置信度1 -：，找兩個(gè)

22、點(diǎn)a,b，使P(a ：，川，Xnj) ： b)=仁：，等價(jià)于 P(g(X1, |,Xn，a,b)<8 <(X1，|",Xn，a,b)=1-a，并使況氏=min。求單側(cè)置信限的步驟與求雙側(cè)置信區(qū)間的步驟類似，如求單側(cè)置信下限，前兩步一樣， 第三步修改為：根據(jù)置信度1 -：，找一個(gè)點(diǎn)a，使P( a G 1X關(guān)鍵是要等價(jià)于P(G(X1 川l,Xn,R ：a) =1-，到底 用哪個(gè)PXa =0.95,3 -10，P£X1，|,Xn，a,b二=1-:。例如，在例中求均值J的置信度為95%的單側(cè)置信下限,于是得，a=ZoO5 =1.645，因此卩的置信度為95%的單側(cè)置信下

23、限 x - 3竺 =248.54。U10同理可得的置信度為95%的單側(cè)置信下限 X - 320.05 = 251.66。V10正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間(一)設(shè)總體X NC-2),未知,二2，求的置信度為1 -:的雙側(cè)置信區(qū)間。設(shè)X1,|,Xn是X的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，按照求置信區(qū)間的三步驟,(1)的極大似然估計(jì)為 X ；2X »X LI(2) X NO1,)，轉(zhuǎn)化為1 N(0,1)，符合樞軸量條件,na/<na/Vn(3)求a,b，使得P(a ： X八b) =1-：，等價(jià)地有 cr/JnP(X 二b ： ： X >a) =1 ：，且(X 二 a) (X 二 b) (

24、b a)二 min vnVnVnVn vn得的置信度為1 - : 的雙側(cè)置信區(qū)間為(X-= z,2, X- z_.2)。Qnyjn類似可得J的置信度為1 -二的單側(cè)置信下限為 X _二=乙.，置信度為1 -二的單側(cè)置信上Jn限為X 乙.。請(qǐng)讀者自行完成。-、nJ的置信度為1 -:的雙側(cè)置信區(qū)間。2s是樣本方差，按照求置信區(qū)間的三(二)設(shè)總體 XN(L,；2)，丄未知，匚2未知，求設(shè)XiJH,Xn是X的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值, 步驟,(1)的極大似然估計(jì)為 X ；(2) XN(»)，轉(zhuǎn)化為X二;N(0,1)，但匚2未知，因此X二 不符合樞軸量條n電 d nnX _ 4f=x _ 4

25、件，進(jìn)一步得到:t(n -1)，其中S =S，樞軸量為.；GS'd n(3)求 a,b，使得 P(acb) =1口，等價(jià)地有- ssP(X b - X a) =1 ，且 JndnE(X 莘a)(X 莘6=耳豈山a)=min ，根據(jù)t分布的對(duì)稱性，得UnQnQnb二-a =t-.2(n T)，因此亠的置信度為1二的雙側(cè)置信區(qū)間為(X 孚tg(n 1), X + 享t“2(n 1)。TnTn在方差未知的情況下，類似可得J的置信度為1 -:-的單側(cè)置信下限為t：.(n -1),S置信度為1 -a的單側(cè)置信上限為 X +t (n _1)。Vn請(qǐng)讀者自行完成。22(三)設(shè)總體X N(i,二),未

26、知，二未知，求2-的置信度為17-的雙側(cè)置信區(qū)間。設(shè)Xi,|,Xn是X的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值,S2是樣本方差，按照求置信區(qū)間的三步驟,n 1(1)匚2的極大似然估計(jì)為 B2S2 ；(2)由定理421，22nB2 _ (n -1)S二2n' (Xi -X)2V 22(n-1)，因此CJ2魚驢是樞軸量;(3) 求a,bP(a ： (n 一驢:b) =1一：，CT等價(jià)地有P(n -1)Sb(n-1)S2a)=1 _ ：,且(n _1)E(S2)( _丄)=min a b，但2( n-1)分布不對(duì)稱性，最優(yōu)解沒有顯式表示，為方便起見，取a,b滿足條件2P(7_CT2»P(fCT

27、a“2-a) 得 b = . 2(n - 1),a 二2“2 21_：.2(n-1)，因此二的置信度為1-的雙側(cè)置信區(qū)間為(n-1)S2(n-1)S21 Y2 (n - D類似可得二2的置信度為1 -的單側(cè)置信下限為(叮)S，置信度為1 -：的單側(cè)置信上限2(n-1)£。請(qǐng)讀者自行完成。1_：(n _1)例設(shè)新生兒體重(單位：克) X NCC 2)，J，二2均未知，現(xiàn)對(duì)某婦產(chǎn)醫(yī)院的調(diào)查 16 名新生兒體重分別為：3400，3250，2800, 3510，3640, 4650, 3100，4080，2350，2820，2950，3450，3030，2930，3610，2270，分別求&

28、quot;與二 的置信度為95%的雙側(cè)置信 區(qū)間。解：利用EXCEL將16個(gè)數(shù)據(jù)置于 A1:A16，在B1鍵入“=AVERAGE(A1:A16) ，得到樣本均值只=3240，在B2鍵入“=STDEV (A1:A16) ，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S= 604.4391，在B3 鍵入 “=TINV(0.05, 15) ,得到 t0.025(15) = 2.13145,在 B4 鍵入 “=CHIINV(0.025, 15) ,2 2得到尤0.025(15) =27.48839,在 B5鍵入“=CHIINV(0.975, 15) ,得到尤°.975(15) = 6.262138。利用XS- s t-

29、.2n 一1, X爲(wèi)一t-.2n-1，計(jì)算得的置信度為95%的雙側(cè)置信區(qū)間為 .n '. n '(2917.9, 3562.1);利用(n _1)S2閉，計(jì)算得二2的置信度為95 %的雙側(cè)置信區(qū)間為(199364.1, 875132.5)。例某種電子元件的使用壽命單位：萬小時(shí)2 2XN,；，二均未知，現(xiàn)隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，測(cè)得樣本均值X= 5.78，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s二0.92，求的置信度為95%的單側(cè)置信下限。解：根據(jù)公式，的置信度為95%的單側(cè)置信下限為S"nt0.05(n -1) =5.780 92刖83曲。四設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的總體X NC£2,Y

30、 NCf；，叫匕未知，F(xiàn)2，打,求7 -的置信度為1 -:-的雙側(cè)置信區(qū)間。設(shè)XjH,Xn和Y,l",Ym分別為X和Y的兩個(gè)獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本， X,Y分別是樣本均值,S2,s；分別為樣本方差，按照求置信區(qū)間的三步驟,(1)丄1 - '2的點(diǎn)估計(jì)為X -Y ；X -Y N( 1n，轉(zhuǎn)化為xYJ12No,1,因此m°°X -丫W(wǎng)為樞軸量;2_2 _2(J CJ2n m3求a,b，使得Pa c X -丫_片二2 呦=1 "，等價(jià)地有P(X -丫 -b2 _ 2(X -Y _a(門- -2) (X _Y _bY n m2遼=1，且m2 b - a二mi

31、n，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) m分布的對(duì)稱性，得 b二-a二z一.2，因此 叫- J的置信度為1-：的雙側(cè)置信區(qū)間為(X-Y-zJ巴+空，X-Y+zJ+P)。V n m n m類似可得叫-.二2的置信度為1 -的單側(cè)置信下限為X.221 C 2、Y Z-,，置信度為* n m1 -:的單側(cè)置信上限為X -Y -乙.，'12二 22。請(qǐng)讀者自行完成。m五設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的總體 XN 已,打,丫N2,打，-U2 未知，二 12*；?"未知，求 叫一亠2的置信度為1的雙側(cè)置信區(qū)間。設(shè)XiJ|,Xn和丫，|",Ym分別為X和Y的兩個(gè)獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本， X,Y分別是樣本均值,S2,S；分

32、別為樣本方差，按照求置信區(qū)間的三步驟,(1)叫- J2的點(diǎn)估計(jì)為X -丫 ；(2)2 1 1X -Y N(7()，轉(zhuǎn)化為n m(X -Y)-(72)N0,1，但二 2 未知,因此X -Y -72不符合樞軸量條件，而 S2,M 都 是的無偏估計(jì)，從而sW =2 2(n -1Q (m -1)Sn m -2也是匚2的無偏估計(jì)，由定理4.2.2 5得到TIT，因此Hi' n m為樞軸量;(3)求 a,b，使得 p(a :SvJ丄+ 1P(X -Y -bSw11 ：叫2 X 丫 一aSwn m11 一，且n m1 1 _ _E(X -Y _aSw)-(X-Y-bSn m = E(Sw)J1+ 丄

33、(b a) = min，根據(jù) n m標(biāo)準(zhǔn)t分布的對(duì)稱性，得 b二-a “一.2(n m -2)，因此 亠-2的置信度為1 -:的雙側(cè)置信區(qū)間為(,2(n 5-2)%：；, E 2)%：；)。類似可得氣巴的置信度為1 -«的單側(cè)置信下限為 X -Y Q(n + m-2)SwJ丄+丄，置Y n m信度為1 -的單側(cè)置信上限為 X -丫 t.(n - m-2)Sw。請(qǐng)讀者自行完成。(六)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的總體X N(嘰匚2), Y N(2,；擰)，12,匚12,打均未知,X1 JH,Xn和YJHYm分別為X和Y的兩個(gè)獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本,X,Y分別是樣本均值,-2S2,s；分別為樣本方差，求

34、三 的置信度為1 - ：的雙側(cè)置信區(qū)間。-2按照求置信區(qū)間的三步驟,(1)牙的點(diǎn)估計(jì)為s ；(2)由定理， "S/12 F (n 1,m -1)，因此S2 /務(wù)是樞軸量;(3)求a,b，使得P(a詣_ 2 2二：b) = 1 ，等價(jià)地有 P(SS211且E(-2)() =min，但F(n - 1,m-1)分布不對(duì)稱性，最優(yōu)解沒有顯式表示，為方便S2 a b起見，取a,b滿足條件P(W°2aS2爲(wèi) bS222b = F 2(n=Fi_- 2(n -n -1),因此得的置信度為 1 -：a2的雙側(cè)置信區(qū)間為S1s2SfF皆(n 1,m1)' ST2(1，1)Os；_2類

35、似可得二26的置缶度為 心 的單側(cè)置缶下限為 gFJn_1,m1'置缶度為“的單側(cè)置信上限為s22 F m _ 1,n _ 1。請(qǐng)讀者自行完成。S2七成對(duì)數(shù)據(jù) 實(shí)際中經(jīng)常碰到這種情況，要了解一種降壓藥的作用，測(cè)量病人服藥前與服藥后的血壓；要了解兩種不同品種種子的產(chǎn)量差異， 選假設(shè)干塊不同的土地， 每塊土地隨機(jī) 分成兩塊大小相同的局部，隨機(jī)種下兩種種子；要比擬兩種儀器的測(cè)量效果，選假設(shè)干件被測(cè) 物體，分別用這兩種儀器測(cè)量。 這些例子中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)都是一對(duì)一對(duì)的，如果觀察 n次,就有n對(duì)數(shù)據(jù)，記為X1，Y,XnM,通常X1，|H，Xn相互獨(dú)立，Y，|H，Yn也相互獨(dú)立,但Xj，Y，i =1,2,., n不獨(dú)立。對(duì)于成對(duì)數(shù)據(jù)，通常設(shè) Di=Xi-Y,i=1,