垂徑定理精心修改公開(kāi)課用

1、十堰市東風(fēng)四中十堰市東風(fēng)四中 吳豐華吳豐華問(wèn)題問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎?它是它是1400多年前我國(guó)隋代建造的多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋石拱橋,是我國(guó)古代勞動(dòng)人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是我國(guó)古代勞動(dòng)人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形是圓弧形,它的跨度它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為為37 m,拱高拱高(弧的中弧的中點(diǎn)到弦的距離點(diǎn)到弦的距離)為為7.23 m，你知道趙州橋主橋拱的半徑嗎？你知道趙州橋主橋拱的半徑嗎？今天我們將研究如何求出趙州橋主拱橋的半徑。今天我們將研究如何求出趙州橋主拱橋的半徑。 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)踐探究實(shí)踐探究用紙

2、剪一個(gè)圓，沿著圓的用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸O O 實(shí)踐探究實(shí)踐探究( (小組合作討論）小組合作討論）圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸 你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？說(shuō)說(shuō)你的方法。你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？說(shuō)說(shuō)你的方法。OAADM如圖，設(shè)如圖，設(shè)CD是是 O的任意

3、一條直徑，的任意一條直徑，A為為 O上除點(diǎn)上除點(diǎn)C、D以外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作作AACD交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)A，垂足為垂足為M,連接連接OA，OA.分析：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上分析：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)關(guān)于關(guān)于直徑所在的直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上即可直徑所在的直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上即可。C在在OAA中，中，OA=OA OAA是等腰三角形是等腰三角形又又 AA CDAM=AM即即CD是是AA的垂直平的垂直平分線，這就是說(shuō)，對(duì)于分線，這就是說(shuō)，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)圓上任意一點(diǎn)A，在圓，在圓上都有關(guān)于直線上都有關(guān)于直線CD的的對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)A，因此，因此

4、O關(guān)關(guān)于直線于直線CD對(duì)稱，對(duì)稱，即任何一條直徑所在直即任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸線都是它的對(duì)稱軸 實(shí)踐探究實(shí)踐探究請(qǐng)同學(xué)們拿出自己手中的圓，任意畫(huà)出請(qǐng)同學(xué)們拿出自己手中的圓，任意畫(huà)出 O的一條弦的一條弦AB ，做直徑，做直徑CD，使使CDAB，垂足為，垂足為M請(qǐng)同學(xué)們沿著請(qǐng)同學(xué)們沿著CD折疊折疊 O，仔細(xì)觀察并回答下，仔細(xì)觀察并回答下列問(wèn)題：列問(wèn)題： 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？OABCDM活活 動(dòng)動(dòng) 三三 線段：線段： AM=BM 因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，所以把圓沿著直徑因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，所以把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD

5、兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重重合，合，AM與與BM重合，弧重合，弧AC、弧、弧AD分別與弧分別與弧BC、弧弧BD 重合重合?。夯』。夯C=弧弧BC，弧，弧AD=弧弧BD歸納總結(jié)歸納總結(jié)OABCDM由此，我們得到下面的定理：由此，我們得到下面的定理：即直徑即直徑CDCD平分弦平分弦ABAB，并且平分弧，并且平分弧AB及弧及弧ACB垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦，并平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧且平分弦所對(duì)的兩條弧AM=BM，弧，弧AD= =弧弧BD，弧，弧AC= =弧弧BC CD是是 O的直徑且的直徑且 CDAB,AM=BM, AC =BC, AD =BD.A

6、M=BM, CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,幾何語(yǔ)言表達(dá)：幾何語(yǔ)言表達(dá)：兩個(gè)兩個(gè)條件條件三三個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論關(guān)于垂徑定理有上關(guān)于垂徑定理有上述證明方法外，你述證明方法外，你還能用其他的方法還能用其他的方法證明這個(gè)結(jié)論嗎？證明這個(gè)結(jié)論嗎？說(shuō)說(shuō)你的看法？說(shuō)說(shuō)你的看法？EDCOABECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB 分析下列圖形是否具備垂徑定理的條件？分析下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ 垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：EDCOABOBCADDOBCAOBAC引申定理：定理中的垂徑可以是直徑、半徑、弦心距等過(guò)圓心的直線、線段或射線。從

7、而得到垂徑定理的變式： 例例1、如圖，在、如圖，在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8 cm，圓心，圓心O到弦到弦AB的距離為的距離為3 cm，求，求 O的半徑的半徑OABE解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5 cm.118422AEAB 在RtAOE中，總結(jié)：常構(gòu)造以弦、半徑、弦心距為邊的直角三角形，利用總結(jié)：常構(gòu)造以弦、半徑、弦心距為邊的直角三角形，利用垂徑定理和直角三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。垂徑定理和直角三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。如圖，連接OA,過(guò)點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E 解得解得R27.3(m).ODABCR解決求趙州

8、橋拱半徑的問(wèn)題：解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題：在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.52+（R7.23）2因此，趙州橋的主橋拱半徑約為因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3 m.OA2=AD2+OD2AB=37m，CD=7.23 m，OD=OCCD=R7.23分析：如圖分析：如圖如圖，用弧如圖，用弧AB表示主橋拱，設(shè)弧表示主橋拱，設(shè)弧AB所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑，半徑為為R 經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與弧與弧AB相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.根據(jù)前面的結(jié)論可知，根據(jù)前面的結(jié)論可知，D是弦是弦AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是弧是弧AB

9、的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD就是拱高就是拱高)(5 .18372121mABAD 3 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是 。cm32cm328cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半徑為半徑為4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。2 O的直徑為的直徑為10cm，圓心，圓心O到弦到弦AB的的 距離為距離為3cm，則弦，則弦AB的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 。 4. 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證:AC=BD 5如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證：四邊形，求證：四邊形ADOE是正方是正方形形OABCDE 6 6、O O的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的距