高數(shù)B2分題型練習

1、高等數(shù)學 B2 分題型練習 ( 參考答案 )一、單頂選擇題1、 (C)2、(D)3、(C)4 、(C)5、(C)6、(D)7、 (B)8、(B)9、 (B)10、 (C )11 、(D)12 、( A)13 、(A)14 、(D)15、( D)16 、( A)17 、(B)18、 ( B)19、 (B)20 、(C)21、 (C )22 、(C)23、 (D)24、 (C )25 、 (D)26、 ( A)27 、(B)28、 ( A)29 、(A)30、 (D )31 、 (D)32、 ( B)33 、(A)34 、(B) 35、(C)36、 ( A)二、填空題1 、 02 、 03 、04

2、、 05、 16、 17、 08、 2dxdy9 、 1dxdy2220022 ( xdx1arccosyf (x, y)dx10、11 、12 、2ydy)13、dyxy0012111x14、dyf ( x, y)dx15、dxf ( x, y)dy16、dxf ( x, y) dy0arcsin y0x0x217、 118、S 19、 a020、 1p2 21、 (3 ,3 )22、 223、 1,1)63324、 (2,4)25、( 1)n xn , x(1,1)26 、xn27 、(1)nx2n1, x(, )n0n 0n!n0(2n1)!28、129 、 e x 30 、 y2ex

3、31 、 2 32 、 yC1e xC2e3x33 、 y x3C1x C 210C4534、 y35 、 yx2C1x C2x15三、計算定積分1、求定積分2 ecosx sin xdx0解： 2 ecos x sin xdx2 ecos xd cos xecosx |02e 1002、求定積分x cosxdx0解：x cos xdxxd(sin x) x sin x |0sin xdx cos x |0 20003、求定積分2 12x40 42 dxx212x2122x2 dx解：4x2 dx0 42 dx4 x0x01x 2222arctan2|0ln(4 x) |08ln 2dx5、求

4、定積分02 x22x22、求定積分x ln xdx122ln xd( x2)解： x ln xdx112x222 xln x |1dx2x212232ln 24|12ln 24解：dx0d ( x1)arctan( x1) |02()02 x22x 22 1 ( x 1)244211 x26 、求定積分dx22x2解：令 xsint ，則 dx1時， t； x1 時， t。costdt ，且當 x242于是121x2dx2cost costdt2 cot2 tdt2x24sin2 t42 (csc2 t1)dt (cot tt ) |214x447 求定積分3dx0 11x解：令 xt 21,

5、dx2tdt , x0, t1; x3,t2,3xdx2 t21222t)dt1312250 11 x2tdt(t2(tt) |11 1 t13238、求定積分x sin xdx0解：x sin xdx0xd( cosx)x cosx |00cosxdxsin x |009、求定積分1x1dx0x211x 1dx1xdx111ln( x2111ln 2解：10 x20 x21dx1) |0arctan x |00 x2122410、求定積分24x2 dx0解：由定積分的幾何意義可知，積分值為區(qū)域D( x, y) | x2y24 落在第一象限的部2x2 dx分的面積，即4，0解法二，令x2sin

6、 t ，則 dx2cos tdt ，且當 x0 時， t0 ，當 x2 時， t，則224x2 dx2 4cos 2 tdt2 2 (1 cos2t )dt2(t1sin 2t) |02000211、求定積分3dx1x2 1 x2解： 令 xtan t ，則 dx sec2 tdt ，且當 x1 時， t； x3 時， t。43于是3dx3sec2 tdt3costdt1|3223x21 x22t sect2tsin t314 tan4 sin412、求定積分1e x dx0解：令 xt2 ,dx 2tdt , x0,t0; x1,t1,1x dx112tet |10 21et dt2e2et

7、 |102e2tet dt2 tdet0000四、計算偏導(dǎo)數(shù)、全微分1、設(shè) zuv, 其中 u xy,vxy ，求z ,z 。xy解： z ( x y) xy x2 y xy 2 ,z2xy y2 ,zx22xyxy2、設(shè) zx2 ysin x cos y ，求 dz解：因為z2xycos x cos y,zx2sin xsin y，xy所以 dz(2 xycos x cos y) dx( x2sin x sin y) dy3 、設(shè) z u2 ln v, ux ,v3x 2 y ，求z , z 。yxy解：zz uz v2u ln v1 u232xln(3 x2 y)3x2xuxv xyvy2

8、y2 (3x2 y)zz uz v2u ln v (x)u2( 2)yuyvyy2v2x2ln(3 x2 y)2 x2y3y2 (3 x 2 y)4、設(shè) zxexy ，求 dz 。解：因為zxexyxyexy , zyx2exy ，所以dz(exyxyexy ) dx x2exydy5、設(shè) zxe2 yy2ln(1x2 ) ，求 dz 。2解：因為zxe2 y2xy 2 , zy2xe2 y2 y ln(1x2 ) ，1x2所以dz (e2 y 2xy ) dx (2 xe2 y 2 y ln(1 x2 ) dy 1 x26、設(shè) zf (3 x2 y) ， f 是可微的函數(shù)，求2z3 z 。x

9、y解：zf(3 x2 y) 3,zf (3x2y) 2xy2z3z2 f ( x2y2 ) 3 3 f (3 x 2 y) 2 0xy7、設(shè) zf (x, y) 是由方程 x2y2z24ez 所確定的隱函數(shù)，求z ,z 。xy解：設(shè) F ( x, y, z)x2y 2z24ez, 則 Fx2x, Fy2 y, Fz2z4ezzFx2xxzFy2 yyxFz2z 4ez2ezz ,yFz2z 4ez2ezz8、設(shè)二元函數(shù)zf ( x, y) 是由方程 xexyeyzez1所確定的隱函數(shù)，求z ,z 。xy解：設(shè) F ( x, y, z)xexyeyzez1, 則Fxexxex , Fy(eyye

10、y ), Fz( ezzez )zFxexxexexxexzFyeyyeyxFzzzzz ,yFzzz(e ze ) e zee ze9、設(shè)二元函數(shù) zf (x, y) 是由方程 ezxyz0 所確定的隱函數(shù)，求z ,z 。xy解：設(shè) F ( x, y, z)ezxyz, 則 Fxyz, Fyxz, Fz ezxyzFxyzzFyxzxFzez,yFzezxyxy10、設(shè)二元函數(shù) zf ( x, y) 是由方程 exyzxyz 所確定的隱函數(shù)，求z ,z 。xy解：設(shè)F ( x, y, z)exyzxy z ，則 Fxyzexyz1, Fy xzexyz1, Fzxyexyz 1zFxyzex

11、yz1zFyxzexyz1所以xFzxyz ,yFz1xyz1 xyexye11、設(shè)二元函數(shù) zf ( x, y) 是由方程 ezy2yx 2xz2 所確定的隱函數(shù)，求z ,z 。xy解：設(shè)F ( x, y, z)y2yx2xz2ez ，則Fx2xy z2 , Fyx22 y, Fz2xzez所以zFx2 xy z2zFyx22yxFzez,yFzez2xz2xz12、設(shè)二元函數(shù) zf (x, y) 是由方程 e xy2zez0 所確定的隱函數(shù)，求z ,z 。xy解：設(shè)F (x, y, z)e xy2z ez ，則Fxye xy , Fyxe xy , Fz2 ezzFyexyzFyxexy,

12、所以xxFz2zyFz2zee五、計算二重積分1、求二重積分x2y 2 dxdy ，其中： D 為 3xx2y 29, x0, y0D解：利用極坐標，D : 0,3cosr3，2x2y2 dxdy2 3r 2dr d12 2727cos 3d9 2 1 cos3d9(2)D03cos300232、計算二重積分sin x dxdy ，其中區(qū)域D 是曲線 yx2 和直線 yx 所圍成的閉區(qū)域。D x解：sin x1x sin x1 sin xx1dxdy0x2dydx0 yx2 dx0sin x x sin x dxDxxxcos xxcos xsin x10 1sin13、計算二重積分( x )

13、2 dxdy ，其中區(qū)域 D 是直線 x2, y x 及曲線 y1所圍成的閉區(qū)域。Dyx解：曲線 y1與直線 yx 的交點為 (1,1)， D( x, y) | 1y x,1x 2xx(x 2dxdy2xx2dy )dx22(1xdx23x) dx1x41229)(1 ()( x) |1(x(x) |1Dy1xy1yx14244、求二重積分xdxdy ，其中 D 是由直線 yx 和圓x2( y1)21 所圍成且在直線yx 下D方的平面區(qū)域。解：直線與圓的交點為(0,0),(1,1), D( x, y) | yx1( y1)2 ,0y111( y1)2111)2y2 dy1( y22y3 ) 1

14、01ydxdyxdxdy1( yD0y202365、求二重積分x2 ydxdy，其中 D 是由直線 y0 和圓 ( x1)2y21所圍成的在第一象限D(zhuǎn)的平面區(qū)域。解： D( x, y) | 0y2xx2 ,0x2222 x x222 12 22x x2dx2 122)dxx ydxdyx ydy dx x y |0x(2 xxD000202(1 x41 x5 ) |10441056、求二重積分(xy)dxdy ，其中區(qū)域 D 是由直線 y0和半圓x2y 21( y0) 所圍成。D解： D( x, y) | 0y1x2 , 1x1211 x2y) dy dx1( xy121 x2dxx ydxd

15、y0(xy) |0D112 x1x21 (1x2 )dx1 x3 ) |121 ( x1112233六、判定級數(shù)的斂散性sin n21、判綻級數(shù)n43的斂散性。n 11解：因為 |unsin n2|111 收斂，所以級數(shù)sin n2| |3，而正項級數(shù)n 1 n43 絕n41n41 n4n 1 n41對收斂。sin n2、判定級數(shù)3 的斂散性。n 1 n21sin nsin n111解： | un | |23 | |23 |2，而正項級數(shù)收斂，2n2n2n2n 1 n2nsin nsin n所以n 1 n23收斂 ，因此原級數(shù)n 1 n23絕對收斂。223、判綻級數(shù)n21 的斂散性。n 12n

16、解：這是一個正項級數(shù)，且limun1(n1)212n11 ，所以由比值判別法unlim2n1n212nn知級數(shù)n21收斂。2nn 14、已知級數(shù)an收斂散性，求常數(shù)a 的取值范圍。n1 n3n解：設(shè) unan，則 lim| un1 | a |n 1(n1)3n 1| a |nlimnn，n3n| un |n| a |n33所以當 | a |1時，級數(shù)an絕對收斂，| a |1時，級數(shù)a n絕對發(fā)散。n 1 n3n33n 1 n3n而當 a3時，級數(shù)為1 ，是發(fā)散的，當a3時，級數(shù)為(1)n 1 ，是收斂的。因n1 nn 1n此當級數(shù)an3a3。收斂時，常數(shù) a 的取值范圍為n 1 n3n5、判

17、定級數(shù)(1)n1 n31 的斂散性。n 13n| un 1|(n 1)3 1 3nlim(n 1)3111，解：因為 limlimn133n|un |n3n1n3(n1)3所以級數(shù)(1)n 1 n31 絕對收斂。n13nsin n6、判定級數(shù)(為常數(shù) ) 的斂散性，并指出是否絕對收斂。n 1n3n 1解： | un |sin n|111 ，而正項級數(shù)1q1n1n 1nn 1 3n 1 是一個公比為的等比級數(shù)，n3n333sin nsin n所以收斂，因此n3n1收斂 ，因此原級數(shù)n 1絕對收斂。n 1n1 n3七、冪級數(shù)1、求冪級數(shù)nx n 1 的收斂域及和函數(shù)。n1解：由于an1n11R 1

18、limanlimn，所以所以，冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為 (1,1) .nn當 x1時，冪級數(shù)成為(1)n 1 n ，顯然是發(fā)散的；當x1 時，冪級數(shù)成為n ，n0n 0也是發(fā)散的 . 因此，收斂域為(1,1)。當 x (1,1)時， S( x)nxn1( xn ) (xn )( x)1n 1n 1n 11 x(1 x)22、求冪級數(shù)(1)nx2 n1的收斂域。n12n1解：此冪級數(shù)缺少偶次冪項, 所以不能用定理8 中的公式求收斂半徑. 我們可根據(jù)定理7求收斂半徑 . 設(shè) un (x)(nx2n11)2n，1由于 limun1 ( x)lim2n1x| x |22nun ( x )n2n32

19、11x1 時，冪級數(shù)絕對收斂；當21，即 x1或 x1所以，當x，即x時，冪級數(shù)發(fā)散.因此，收斂半徑R1 ，收斂區(qū)間為( 1,1) . 當 x1 時，冪級數(shù)成為( 1)n 11，顯然是收斂的；當x1時，冪級數(shù)成為(1)n1，也是收斂的，n 12n1n 12n1所以收斂域為1,1.3、將函數(shù) f (x)x展開成 x 的冪級數(shù)。3x解：因為1xn ( 1 x 1)1xn 0所以 f ( x)xx1xx( x) n3x313 n 0334、將函數(shù) f (x)1展開成 x 的冪級數(shù)。x4解：因為1xn (1x1)1xn 0所以 f ( x)1111( x )n4x41x 4 n 044xn 1( 3

20、x 3)n 1n 0 3xn( 4x4)n 0 4n 15、將函數(shù) f (x)1展開成 x 的冪級數(shù)。9x2解：因為1xn ,(1x1)1xn0所以 f ( x)1111( x2 ) nx2 n，（3 x3 ）9 x29 1 x29 n 0 9n 0 9n 19n6、求冪級數(shù)x 的和函數(shù)。n 1n解：冪級數(shù)的收斂半徑為R1，收斂域為 1,1)設(shè) s( x)xn，則當 x(1,1)時，n 1ns (x)(xnxnxn 11)()1 xn 1nn 1nn 1對上式兩邊從 0到 x 積分，得s(x)s(0)ln(1 x) ，即 s( x)ln(1 x)冪級數(shù)的和函數(shù)s( x) 在收斂域 (1,1上連續(xù)，所以有s( 1)lim s( x)lim ln(1x)ln 2x1x1因