【線性代數(shù)】矩陣的秩

1、2.5 2.5 矩陣矩陣的的秩秩矩陣秩的概念利用初等變換求矩陣的秩線性方程組的解一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念矩陣的秩矩陣的秩10101011000001200000 例：矩陣的秩矩陣的秩=3=3特點(diǎn)： (1)1)元素全為零的行位于矩元素全為零的行位于矩陣的最下面；陣的最下面； (2)(2)每行的第一個(gè)非零元素每行的第一個(gè)非零元素（首非零元）下面的元素都（首非零元）下面的元素都為為0.0. (3) (3)階梯形矩陣的秩等于其階梯形矩陣的秩等于其非零行的個(gè)數(shù)非零行的個(gè)數(shù). . 任何矩陣總經(jīng)過有限次初等行（列）變換將任何矩陣總經(jīng)過有限次初等行（列）變換將它變?yōu)樽詈?jiǎn)行（列）梯形陣，梯形矩陣中非零行

2、它變?yōu)樽詈?jiǎn)行（列）梯形陣，梯形矩陣中非零行的行數(shù)是確定的。的行數(shù)是確定的。2mnAkkkm,knkAkAk 定定義義1 1 在在矩矩陣陣中中任任取取行行列列（），位位于于這這些些行行列列交交叉叉處處的的個(gè)個(gè)元元素素, ,不不改改變變它它們們?cè)谠谥兄兴幪幍牡奈晃恢弥么未涡蛐蚨玫玫牡?階階行行列列式式，稱稱為為矩矩陣陣的的階階子子式式. .123123235 ,235471471123-5,2371A 例：其中分別為矩陣A的一個(gè)2階子式是矩陣A的一個(gè)3階子式思考：矩陣A的一階子式有 個(gè)，二階子式有 個(gè)， 三階子式的個(gè)數(shù)是941A0kDr10DArAR(A) 定定義義2 2設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣中

3、中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于的的階階子子式式，且且所所有有階階子子式式（如如果果存存在在的的話話 ）全全等等于于 ，那那末末稱稱為為矩矩陣陣 的的最最高高階階非非零零子子式式，數(shù)數(shù) 稱稱為為矩矩陣陣的的秩秩，記記作作. .并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩等等于于零零. .)( 子式的最高階數(shù)子式的最高階數(shù)中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩陣矩陣AARAnm ，對(duì)于對(duì)于TA).()(ARART 顯有顯有問題：下列矩陣問題：下列矩陣A A的秩為多少？求矩陣的秩為多少？求矩陣的秩的方法有哪些？的秩的方法有哪些？123235471A答：方法有兩種:一是通過定義定義 二是通過初等變換例例1 1.174

4、532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個(gè)階子式只有一個(gè)的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2 2的秩的秩求矩陣求矩陣121232211B解解因?yàn)橐驗(yàn)锽 B的唯一的最高三階子式的唯一的最高三階子式01121232211 B所以所以 R(B)=3.R(B)=3.例例2 2解解行，行，其非零行有其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，是一個(gè)行階梯形矩陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B,0400230312 而而. 3)( BR.00000340005213023012的的秩秩求求矩矩陣陣 B., 梯梯形形等等行行變變換換把把他他變變?yōu)闉?/p>

5、行行階階總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣nmA 二、用初等變換求矩陣的秩二、用初等變換求矩陣的秩經(jīng)過有限次初等行變換矩陣的秩仍不變經(jīng)過有限次初等行變換矩陣的秩仍不變定義：定義：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換：1)交換兩行(記為r i r j);2)以數(shù)k 0乘某一行所有元素（記rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去（記作r i +kr j ）初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用把矩陣用初等行變換初等行變換變成為行階梯形矩，行變成為行階梯形矩，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是

6、矩陣的秩. .例例4 4的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式秩，并求秩，并求的的求矩陣求矩陣設(shè)設(shè)AAA,41461351021632305023 階階梯梯形形矩矩陣陣：作作初初等等行行變變換換，變變成成行行對(duì)對(duì)A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 1641404311 0004800048

7、1641404311 -0004800000 332rr 442rr ( )3, R A 例例5 5 4321,6063324208421221bA設(shè)設(shè)的秩的秩 . .及矩陣及矩陣求矩陣求矩陣A AB=(A b)B=(A b) 10000500000120011221 00000100000120011221. 3)(, 2)( BRAR2322rrr 243rr 53 r34rr 1221 124802=(A : b)242333606 4B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 解：解： 我們知道 n未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組 mnmnmmnnnnbxa

8、xaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111可以寫成 Ax xb b 其中A(aij) x x(x1 x2 xn)T b b矩陣B(A， b b)稱為線性方程組的增廣矩陣 線性方程組如果有解 就稱它是相容的 如果無解就稱它不相容 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回補(bǔ)充例題首頁(yè)三、線性方程組的解12n .xxx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 補(bǔ)充例題v定理2 線性方程組Ax xb b有解的充分必要條件是R(A)R(A b b) v定理3 n元齊次線性方程組Ax x0 0有非零解的充分必要條件是R(A)n v定理1 n元線性方程組Ax xb b (1)無解的充分必要條件是R(A)R(A

9、b b) (2)有唯一解的充分必要條件是R(A)R(A b b)n (3)有無限多解的充分必要條件是R(A)R(A b b)n 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 補(bǔ)充例題32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx 例2 求解非齊次線性方程組 解 對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換 得 322122351311321B104501045011321 121332rrrr200001045011321 23rr 可見R(A)2 R(B)3 故方程組無解 322122351311321B104501045011321 121332rrrr322122351311321B104501045011321 121332rrrr 200001045011321 23rr 1212xxxx 求解線性方程組