高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)(最全版)

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)1不等式的基本性質(zhì) 1實(shí)數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B.當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，ab(3)兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小與這兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)的關(guān)系(不等式的意義)(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的步驟作差；變形；判斷差的符號(hào)；結(jié)論2不等關(guān)系與不等式(1)不等號(hào)有，bbb，bcac；(3)可加性：ab，cRacbc；(4)加法法則：ab，cdacbd；(5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(7)乘方法則：ab0，nN且n2anbn；(8)開(kāi)方法則：ab0，nN且n2.（9）倒數(shù)法

2、則，即ab00，那么 ( )，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(2)定理2的應(yīng)用：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，它們的積P取得最大值，最大值為.如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，它們的和S取得最小值，最小值為2.3基本不等式的幾何解釋如圖，AB是O的直徑，C是AB上任意一點(diǎn)，DE是過(guò)C點(diǎn)垂直AB的弦若ACa，BCb，則ABab，O的半徑R，RtACDRtDCB，CD2ACBCab，CD，CDR，當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，CDR，即.4幾個(gè)常用的重要不等式(1)如果aR，那么a20，當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)取等號(hào)；(2)如果a，b0，那么ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立(3)如果a

3、0，那么a2，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)等號(hào)成立(4)如果ab0，那么2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式1如果a、b、cR，那么a3b3c33abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2(定理3)如果a、b、cR，那么 ()，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均3如果a1，a2，anR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立即對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均二絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式1絕對(duì)值及其幾何意義(1)絕對(duì)值定義：|a|(2)絕對(duì)值幾何意義：實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離|OA|.(3)數(shù)軸

4、上兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x1，x2，則|AB|x1x2|2絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立推論1：如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a|b|ab|a|b|.推論2：如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a|b|ab|a|b|.(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解法1|x|a型不等式的解法設(shè)a0，則(1)|x|aaxaxa；(4)|x|axa或xa2|axb|c(c0)與|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb

5、|caxbc或axbc3|xa|xb|c與|xa|xb|c型不等式的解法(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對(duì)值的幾何意義，給絕對(duì)值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋(2)以絕對(duì)值的零點(diǎn)為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類(lèi)討論的思想確定各個(gè)絕對(duì)值號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式的正、負(fù)號(hào)，進(jìn)而去掉絕對(duì)值號(hào)(3)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫(huà)出函數(shù)圖象(有時(shí)需要考察函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵注：絕對(duì)值的幾何意義(1)|x|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x與原點(diǎn)O的距離；(2)|xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之和；(3)|xa

6、|xb|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之差2絕對(duì)值不等式的幾何意義(1)|x|a(a0)的幾何意義是以點(diǎn)a和a為端點(diǎn)的線(xiàn)段，|x|a的解集是a，a(2)|x|a(a0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點(diǎn)a和a為端點(diǎn)的線(xiàn)段后剩下的兩條射線(xiàn)，|x|a的解集是(，a)(a，)3解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值變形為不含絕對(duì)值的不等式(組)求解例題：例如：分類(lèi)討論法：即通過(guò)合理分類(lèi)去絕對(duì)值后再求解。例1： 解不等式。分析:由，得和。和把實(shí)數(shù)集合分成三個(gè)區(qū)間，即，按這三個(gè)區(qū)間可去絕對(duì)值，故可按這三個(gè)區(qū)間討論。解:當(dāng)x-2時(shí)，得，解得：當(dāng)-2x1時(shí)，得，解得：當(dāng)時(shí)，得 ， 解得：綜上，原不等式的解集為。

7、例2：解不等式|2x4|3x9|2時(shí)，原不等式可化為解得x2.當(dāng)3x2時(shí)，原不等式可化為解得x2.當(dāng)x3時(shí)，原不等式可化為解得x12.綜上所述，原不等式的解集為 x|x第二講證明不等式的基本方法 一比較法比較法主要有1.作差比較法2.作商比較法1作差比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)比差法)(1)作差比較法的證明依據(jù)是：abab0；abab0；abab0時(shí)，1ab；1ab；1ab時(shí)，一定要注意b0這個(gè)前提條件若b0，b，1ab，1a；(nN*)；當(dāng)ab0，m0時(shí)，等第三講柯西不等式與排序不等式1二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立2柯西

8、不等式的向量形式設(shè)，是兩個(gè)向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立3二維形式的三角不等式設(shè)x1，y1，x2，y2R，那么 注意：1二維柯西不等式的三種形式及其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo)表示2理解并記憶三種形式取“”的條件(1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)取等號(hào)(2)向量形式中當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，k或0時(shí)取等號(hào)(3)三角形式中當(dāng)P1，P2，O三點(diǎn)共線(xiàn)且P1，P2在原點(diǎn)O兩旁時(shí)取等號(hào)3掌握二維柯西不等式的常用

9、變式(1) |acbd|.(2) |ac|bd|.(3) acbd.(4)(ab)(cd)()2.4基本不等式與二維柯西不等式的對(duì)比(1)基本不等式是兩個(gè)正數(shù)之間形成的不等關(guān)系二維柯西不等式是四個(gè)實(shí)數(shù)之間形成的不等關(guān)系，從這個(gè)意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級(jí)的不等式(2)基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當(dāng)和(或積)為定值時(shí)，可求積(或和)的最值，同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效二一般形式的柯西不等式1三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b

10、2a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1，2，3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1，2，3)時(shí)，等號(hào)成立2一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1，2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1，2，n)時(shí)，等號(hào)成立注意：1對(duì)柯西不等式一般形式的說(shuō)明：一般形式的柯西不等式是二維形式 、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類(lèi)比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式2關(guān)于柯西不等式的證明：對(duì)于函數(shù)f(x)(

11、a1xb1)2(a2xb2)2 (anxbn)2，顯然f(x)0時(shí)xR恒成立，即f(x)(aaa)x22(a1b1a2b2anbn)x(bbb)0對(duì)xR恒成立， 4(a1b1a2b2anbn)24(aaa)(bbb)0，除以4得(aaa)(bbb) (a1b1a2b2anbn)2.3一般形式柯西不等式成立的條件：由柯西不等式的證明過(guò)程可知0f(x)min0a1xb1a2xb2anxbn0b1b2bn0，或.4柯西不等式的幾種常見(jiàn)變形：(1)設(shè)aaabbb1，則1a1b1a2b2anbn1；(2)設(shè)aiR(i1，2，3，n)，則 ；(3)設(shè)aiR，bi0(i1，2，3，n)，則；(4)設(shè)aibi

12、0(i1，2，3，n)，則.三排序不等式 1亂序和、反序和、順序和設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，稱(chēng)a1c1a2c2a3c3ancn為亂序和，a1bna2bn1a3bn2anb1為反序和，a1b1a2b2a3b3anbn為順序和2排序不等式(又稱(chēng)排序原理)設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an或b1b2bn時(shí)，反序和等于順序和3排序原理的簡(jiǎn)記反序和亂序和順序和第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一數(shù)學(xué)

13、歸納法1數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)nn0時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN且kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍適用于證明一個(gè)與無(wú)限多個(gè)正整數(shù)有關(guān)的命題3數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗(yàn)證當(dāng)nn0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)命題成立，推導(dǎo)nk1時(shí)命題也成立(3)結(jié)論：由(1)(2)可知，命題對(duì)一切nn0的自然數(shù)都成立

14、注意：用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉”，因此必須注意以下三點(diǎn)：(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0就是我們要證明的命題對(duì)象的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定就是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法要注意的第一個(gè)問(wèn)題(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k1”的過(guò)程，必須把歸納假設(shè)“nk”時(shí)命題成立作為條件來(lái)導(dǎo)出“nk1”時(shí)命題成立，在推導(dǎo)過(guò)程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次，沒(méi)有用上歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法(3)正確尋求遞推關(guān)系數(shù)學(xué)歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的

15、，那么如何尋找遞推關(guān)系呢？在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并正確寫(xiě)出來(lái)，這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的；探求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個(gè)位置；在書(shū)寫(xiě)f(k1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫(xiě)出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清楚二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立由可知命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

16、的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在)，即假設(shè)f(k)g(k)成立，證明f(k1)g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義：如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx(2)作用：在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1x)n縮小為簡(jiǎn)單的1nx的形式，這在數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中有重要應(yīng)用例如：當(dāng)x是實(shí)數(shù)，且x1，x0時(shí)，由貝努利不等式不難得到不等式1對(duì)一切不小于2的正整數(shù)n成立(3)貝努利不等式的一般形式(1)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿(mǎn)足1或1)；(2)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿(mǎn)足01)3歸納猜想證明的思想方法數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法1關(guān)于用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四點(diǎn)注意(1)在從nk到nk1的過(guò)程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端(一般是左端)項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)nk1時(shí)的遞推目標(biāo)，從中分離出nk時(shí)的相應(yīng)式子，借助不等式性質(zhì)用上歸納