高等代數(shù)教案 北大版 第二章

1、授課內(nèi)容 第二章 行列式 第一講 引言、排列教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授與互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)使學(xué)生了解行列式的背景，要求學(xué)生熟練掌握二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則，掌握有關(guān)排列的基本概念、并能熟練掌握排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定。教學(xué)重點(diǎn)二、三元線性方程組的計(jì)算公式，二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則，有關(guān)排列的基本概念、排列的奇偶性。教學(xué)難點(diǎn)二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則，排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定教學(xué)方法與手段 啟發(fā)式 講練相結(jié)合教學(xué)過程解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本的問題，特別是在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，解方程占有重要地位.這一章和下一章主要討論一般的多元一次方程組，即線性方程組.一、對(duì)于二元線性方程組當(dāng)時(shí)，此

2、方程組有唯一解，即我們稱為二級(jí)行列式，用符號(hào)表示為.于是上述解可以用二級(jí)行列式敘述為：當(dāng)二級(jí)行列式時(shí)，該方程組有唯一解，即.二、對(duì)于三元線性方程組有相仿的結(jié)論.設(shè)有三元線性方程組稱代數(shù)式為三級(jí)行列式，用符號(hào)表示為：.當(dāng)三級(jí)行列式時(shí)，上述三元線性方程組有唯一解，解為其中 .三、元線性方程組是否也有類似的結(jié)論呢？為此，首先給出級(jí)行列式的定義并討論它的性質(zhì)，最后來解決這一問題，這是本章的主要內(nèi)容.四、排列的定義定義1 由組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)級(jí)排列.級(jí)排列的總數(shù)是.顯然也是一個(gè)級(jí)排列，這個(gè)排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來的；其它的排列或多或少地破壞自然順序.定義2 在一個(gè)排列中，如果一對(duì)

3、數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)記為 例：排列53214的逆序數(shù)7定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。應(yīng)該指出，我們同樣可以考慮由任意個(gè)不同的自然數(shù)所組成的排列，一般也稱為級(jí)排列。對(duì)這樣一般的級(jí)排列，同樣可以定義上面這些概念。五、排列的奇偶性把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列.這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對(duì)換。顯然，如果連續(xù)施行再次相同的對(duì)換，那么排列就還原了。由此得知，一個(gè)對(duì)換把全部級(jí)排列兩兩配對(duì)，使每兩個(gè)配成對(duì)的級(jí)排列在這個(gè)對(duì)換下互變。定

4、理1 對(duì)換改變排列的奇偶性.這就是說，經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列.推論 在全部級(jí)排列排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有個(gè).定理2 任意一個(gè)級(jí)排列與排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變，并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性. 結(jié)論：任意兩個(gè)排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變.討論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第二講 n級(jí)行列式教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授與互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)使學(xué)生掌握行列式的定義，要求學(xué)生真正的理解行列式的定義以及行與列地位的對(duì)稱教學(xué)重點(diǎn)一般行列式的定義、行與列的地位是對(duì)稱的教學(xué)難點(diǎn)行列式的定義教學(xué)方法與手段 講授法 啟發(fā)式教學(xué)過程一、級(jí)行列式的概念在給出級(jí)行列式的定義之前，先來

5、看一下二級(jí)和三級(jí)行列式的定義。我們有 (1) (2)從二級(jí)和三級(jí)行列式的定義中可以看出，它們都是一些乘積的代數(shù)和，而每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構(gòu)成的，并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成.另一方面，每一項(xiàng)乘積都帶有符號(hào).這符號(hào)是按什么原則決定的呢？在三級(jí)行列式的展開式(2)中，項(xiàng)的一般形式可以寫成 (3)其中是1，2，3的一個(gè)排列.可以看出，當(dāng)是偶排列時(shí).對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在(2)中帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)帶有負(fù)號(hào). 定義4 級(jí)行列式 (4)等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積 (5) 的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)(5)都按下面規(guī)則帶有符號(hào)；當(dāng)是偶排列時(shí)，(5)帶有

6、正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)，(5)帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫成 (6) 這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.定義表明，為了計(jì)算級(jí)行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積.把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后由列指標(biāo)所成的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號(hào).由定義看出，級(jí)行列式是由項(xiàng)組成的.例1 計(jì)算行列式.例2 計(jì)算上三角形行列式. (7) . (8) 這個(gè)行列式就等于主對(duì)角線（從左上角到右下角這條對(duì)角線）上元素的乘積.特別主對(duì)角線以外的元素全為零的行列式稱為對(duì)角形行列式.對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積.容易看出，當(dāng)行列式的元素全是數(shù)域中的數(shù)，它的值也是數(shù)域中的一個(gè)數(shù).二、行列式的性質(zhì)

7、在行列式的定義中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，把元素按行指標(biāo)排起來.事實(shí)上，數(shù)的乘法是交換的，因而這些元素的次序是可以任意寫的，一般地，級(jí)行列式中的項(xiàng)可以寫成, （11） 其中是兩個(gè)級(jí)排列.利用排列的性質(zhì)，不難證明，(11)的符號(hào)等于 (12) 按(12)來決定行列式中每一項(xiàng)的符號(hào)的好處在于，行指標(biāo)與列指標(biāo)的地位是對(duì)稱的，因而為了決定每一項(xiàng)的符號(hào)，同樣可以把每一項(xiàng)按列指標(biāo)排起來，于是定義又可以寫成. (15) 由此即得行列式的下列性質(zhì)：性質(zhì)1 行列互換，行列式不變.即. (16) 性質(zhì)1表明，在行列式中行與列的地位是對(duì)稱的，因之凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式討

8、論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第三講 n級(jí)行列式的性質(zhì)教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授與互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)行列式性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法與手段 講授法 啟發(fā)式教學(xué)過程行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題，也是一個(gè)很復(fù)雜的問題.因此有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì).利用這些性質(zhì)來簡化行列式的計(jì)算.在行列式的定義中，雖然每一項(xiàng)是個(gè)元素的乘積，但是由于這個(gè)元素是取自不同的行與列，所以對(duì)于某一確定的行中個(gè)元素(譬如)來說，每一項(xiàng)都含有其中的一個(gè)且只含有其中的一個(gè)元素.因之，級(jí)行列式的項(xiàng)可以分成組，第一組的項(xiàng)都含有，第二組的項(xiàng)都含有等等.再分別把行的元素提出來，就有

9、 (1) 其中代表那些含有的項(xiàng)在提出公因子之后的代數(shù)和(至于究竟是哪一些項(xiàng)的和暫且不管，到§6 再來討論).從以上討論可以知道，中不再含有第行的元素，也就是全與行列式中第行的元素?zé)o關(guān).由此即得. 性質(zhì)2 這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.令，就有如果行列式中一行為零，那么行列式為零.性質(zhì)3 .這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣.性質(zhì)3顯然可以推廣到某一行為多組數(shù)的和的情形.性質(zhì)4 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零.所謂兩行相同就是說兩行的

10、對(duì)應(yīng)元素都相等.性質(zhì)5 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零.性質(zhì)6 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變.性質(zhì)7 對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).例1 計(jì)算級(jí)行列式例2 計(jì)算行列式.由于上(下)三角形行列式容易計(jì)算，因此計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是利用行列式的性質(zhì)，把行列式化成上(下)三角形行列式進(jìn)行計(jì)算.例3 一個(gè)級(jí)行列式，假設(shè)它的元素滿足 , (4) 證明，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零.討論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第四講 行列式的計(jì)算教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授與互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)矩陣的初等變換、行列式計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)行列式的

11、計(jì)算教學(xué)方法與手段 講授法 啟發(fā)式教學(xué)過程在第二講我們看到，一個(gè)上三角形行列式就等于它主對(duì)角線上元素的乘積這個(gè)計(jì)算是很簡單的.下面我們想辦法把任意的級(jí)行列式化為上三角形行列式來計(jì)算.定義5 由個(gè)數(shù)排成的行(橫的) 列(縱的)的表 (1)稱為一個(gè)矩陣.數(shù),稱為矩陣(1)的元素，稱為元素的行指標(biāo)，稱為列指標(biāo).當(dāng)一個(gè)矩陣的元素全是某一數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它就稱為這一數(shù)域上的矩陣.矩陣也稱為級(jí)方陣.一個(gè)級(jí)方陣定義一個(gè)級(jí)行列式稱為矩陣的行列式，記作.定義6 所謂數(shù)域上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；2）把矩陣的某一行的倍加到另一行，這里是中任意一個(gè)數(shù)；3) 互換矩陣中兩行

12、的位置.一般說來，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等行變換后，就變成了另一個(gè)矩陣.當(dāng)矩陣經(jīng)過初等行變換變成矩陣時(shí)，我們寫成若一個(gè)矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零，則稱這樣的矩陣為階梯形矩陣.可以證明，任意一個(gè)矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣.現(xiàn)在回過來討論行列式的計(jì)算問題.一個(gè)級(jí)行列式可看成是由一個(gè)級(jí)方陣決定的，對(duì)于矩陣可以作初等行變換，而行列式的性質(zhì)2，6，7正是說明了方陣的初等行變換對(duì)于行列式的值的影響.每個(gè)方陣總可以經(jīng)過一系列的初等行變換變成階梯形方陣.由行列式性質(zhì)2，6，7，對(duì)方陣每作一次初等行變換，相應(yīng)地，行列式或者不變，或者差一非零的倍數(shù)，也就是顯然，階梯形

13、方陣的行列式都是上三角形的，因此是容易計(jì)算的.例 計(jì)算不難算出，用這個(gè)方法計(jì)算一個(gè)級(jí)的數(shù)字行列式只需要做次乘法和除法.特別當(dāng)比較大的時(shí)候，這個(gè)方法的優(yōu)越性就更加明顯了.同時(shí)還應(yīng)該看到，這個(gè)方法完全是機(jī)械的，因而可以用電子計(jì)算機(jī)按這個(gè)方法來進(jìn)行行列式的計(jì)算.對(duì)于矩陣同樣可以定義初等列變換，即1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一列；2）把矩陣的某一列的倍加到另一列，這里是中任意一個(gè)數(shù)；3) 互換矩陣中兩列的位置.為了計(jì)算行列式，也可以對(duì)矩陣進(jìn)行初等列變換.有時(shí)候，同時(shí)用初等行變換和列變換，行列式的計(jì)算可以更簡單些.矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.討論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第五講 行列

14、式按一行(列)展開教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授與互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生會(huì)應(yīng)用行列式展開性質(zhì)來計(jì)算行列式教學(xué)重點(diǎn)行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)展開性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法與手段 講授法 啟發(fā)式教學(xué)過程在第三講看到，對(duì)于級(jí)行列式，有 (1)現(xiàn)在來研究這些,究竟是什么.三級(jí)行列式可以通過二級(jí)行列式表示： (2) 定義7 在行列式中劃去元素所在的第行與第列，剩下的個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)行列式 (3)稱為元素的余子式，記作下面證明. (4) 為此先證明級(jí)行列式與級(jí)行列式的下面這個(gè)關(guān)系， (5) 其次,在(1)中令即可得證定義8 上面所談到的稱為元素的代數(shù)余子式.這樣，公式(1)就是說，行列式等于

15、某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.在(1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如說，第行的元素，也就是于是右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，應(yīng)該為零，這就是說，在行列式中，一行的元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.定理3 設(shè)表示元素的代數(shù)余子式，則下列公式成立： (6) (7)用連加號(hào)簡寫為 在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用展開式(6)或(7)不一定能簡化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)級(jí)行列式的計(jì)算換成個(gè)()級(jí)行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用公式(6)或(7)才有意義.但這兩個(gè)公式在理論上是重要的.例1 計(jì)算行列式例2 行列式 (8)稱為級(jí)的范德蒙德

16、(Vandermonde)行列式.證明對(duì)任意的，級(jí)范德蒙德行列式等于這個(gè)數(shù)的所有可能的差的乘積.用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡寫為.由這個(gè)結(jié)果立即得出，范德蒙德行列式為零的充要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.例3 證明.討論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第六講 Cramer法則教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授與互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解教學(xué)重點(diǎn)Gramer法則的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)Gramer法則的應(yīng)用教學(xué)方法與手段 講授法 啟發(fā)式教學(xué)過程現(xiàn)在應(yīng)用行列式解決線性方程組的問題.在這里只考慮方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形.定理4 如果線性方程組 (1)的系數(shù)矩陣 (2)的行列式

17、那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為, (3)其中是把矩陣中第列換成常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式，即 (4)定理中包含著三個(gè)結(jié)論：1）方程組有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)給出.這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的，因此證明的步驟是：1. 把代入方程組，驗(yàn)證它確是解.2. 假如方程組有解，證明它的解必由公式(3)給出.定理4通常稱為克拉默法則.例1 解方程組應(yīng)該注意，定理4所討論的只是系數(shù)矩陣的行列式不為零的方程組，它只能應(yīng)用于這種方程組；至于方程組的系數(shù)行列式為零的情形，將在下一章的一般情形中一并討論.常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組.顯然齊次方程組總是有解的，因?yàn)榫褪且粋€(gè)解，它稱為零解.對(duì)于齊次線性方