高中常見數(shù)列求通項公式

1、高中常見數(shù)列通向公式的求法數(shù)列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的很好載體，高考對數(shù)列知識的考察也逐年增重，數(shù)列在高中階段有著重要的作用。新課標(biāo)將數(shù)列從大綱版高考考題的壓軸題放到解答題的第一個或者第二個題位置，也是對數(shù)列考查的常規(guī)解法作進(jìn)一步的強(qiáng)調(diào)，而數(shù)列通向公式的求法是考察該知識點的一個熱點。本文想總結(jié)一下在高中階段，求數(shù)列的通項公式的常用方法和策略。高中常見求通項公式的方法有：定義法、公式法、迭加法、迭乘法、構(gòu)造法（構(gòu)造等差或等比數(shù)列，其中用到待定系數(shù)法）以及倒數(shù)法。1.定義法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，

2、且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：，點評：此類方法著重考查學(xué)生對等差數(shù)列和等比數(shù)列定義和公式的應(yīng)用，利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例題2.數(shù)列的前n項和為，=1， ( n),求的通項公式。解：由=1，=2，當(dāng)n2時=得=3，因此是首項為=2，q=3的等比數(shù)列。故= (n2),而=1不滿足該式 所以=。點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并3. 迭代法，分為累加法和累乘法.累加法：若求。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通

3、項公式為。點評：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式。這個問題通常和數(shù)列的求和練習(xí)在一起，下面這個求通項之后轉(zhuǎn)化為用裂項相消來求和。例題4 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，累乘法：形如 (n=2、3、4)，且可求，則用累乘法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。已知求，用累乘法：。例5. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為點評：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式。

4、5.已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（等比數(shù)列、構(gòu)造等差）。構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=。（1）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行求解通項公式形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例7. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.例8已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。即（2）構(gòu)造等差數(shù)列進(jìn)行求解通項公式構(gòu)造等差數(shù)列

5、解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決.。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。點評：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式。例10已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以6.倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。例11：例：已知數(shù)列滿足 ，求證：是等差數(shù)列，并求的通向公式。解： ，即 是首項為1，公差為3的等差數(shù)列。 .例題12已知數(shù)列，=

6、， ，求=？解：把原式去倒數(shù)變形得是首項為，d=的等差數(shù)列故。變式練習(xí) 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，7. 構(gòu)造數(shù)列，使其為等比數(shù)列。 該類型中 遞推公式為=p+q (p、q均為常數(shù))（又稱二階遞歸），含有三項的遞推關(guān)系解法： 將原遞推公式=p+q，轉(zhuǎn)化為-（-）并且由解出、因此可以得到數(shù)列-是等比數(shù)列。例題13：已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：設(shè) ，即則 與 比較后的得 . 或 .當(dāng)時，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。 (). 經(jīng)驗證，n=1時適合上式，. 同理，當(dāng)時，也得到.綜上知.點評：解決此類問題主要是要把構(gòu)造的等比數(shù)列找出來，也就是題目中的的值求出來。例題14 已知數(shù)列中a1=1，a2= =-,求數(shù)列的通項公式。解： 令-（-）由解得：1、則由此可得-（-）， a2-a1= -= （-）+（-）+（a2-a1）+a1=+1=3-.3-數(shù)列求通項的常規(guī)解法