平面向量的基礎(chǔ)定理和平面向量的坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)設(shè)計師

1、專題032：平面向量的基本定理和平面向量的坐標(biāo)表示（復(fù)習(xí)設(shè)計）（師）考點要求：1考查平面向量基本定理的應(yīng)用2考查坐標(biāo)表示下向量共線條件3應(yīng)理解基本定理，重點運用向量的坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘的運算以及向量共線的運算知識結(jié)構(gòu)1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.2夾角（1）已知兩個非零

2、向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的_夾角_(2)向量夾角的范圍是_0，_，a與b同向時，夾角_0_；a與b反向時，夾角_.(3)如果向量a與b的夾角是_，我們說a與b垂直，記作 ab3平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個_互相垂直_的向量，叫做把向量正交分解4平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y使axiyj，我們把有序數(shù)對_(x,y)_叫做向量a的_坐標(biāo)_，記作a（x,y），其中x叫a在_x軸_上的坐標(biāo)，y叫a在_y軸_上的坐標(biāo)設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是_終點A

3、_的坐標(biāo)，即若(x，y)，則A點坐標(biāo)為_(x,y)_，反之亦成立.(O是坐標(biāo)原點)終點A(x，y)注意：要區(qū)分點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.5平面向量坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.6平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，

4、當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時，向量a，b共線若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.7向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a(x，y)當(dāng)平面向量平行移動到時，向量不變，即(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化基礎(chǔ)自測1已知a1a2an0，且an(3,4)，則a1a2an1的坐標(biāo)為()A(4,3) B(4，3) C(3，4) D(3,4)解析a

5、1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析設(shè)cxayb，則c3ab.答案B3設(shè)向量a(m,1)，b(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為()A1 B1 C2 D2解析設(shè)ab(0)，即m且1m.解得m±1，由于0，m1.答案A4設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析設(shè)c(x，y)，則4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若

6、(ab)c，則m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1例題選講：1平面向量基本定理的應(yīng)用例1：如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知c，d，試用c，d表示，.解方法一設(shè)a，b，則ad，bc.將代入得adadc(2dc)，代入得bc×(2dc)(2cd).(2dc)，(2cd).方法二設(shè)a，b.因M，N分別為CD，BC的中點，所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd).學(xué)生練習(xí)：在ABC中，DEBC，與邊AC相交于點E，ABC的中線AM與DE相交于點N，如圖，設(shè)a，b，試用a和b表示.解，DEBC，M為BC中點，(ba).2平面向

7、量的坐標(biāo)運算例2：已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐標(biāo)和.分析： 求，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設(shè)M(x，y)，則(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18)小結(jié)：利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時，要看準(zhǔn)向量的起點和終點坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標(biāo)學(xué)生練習(xí)： 在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(

8、2,4)，(1,3)，則()A(2，4)B(3，5) C(3,5) D(2,4)解析由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B3平面向量共線的坐標(biāo)運算例3：已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在實數(shù)k，使得kab與a3b共線。分析： 根據(jù)共線條件求k。解若存在實數(shù)k，則kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若這兩個向量共線，則必有(k3)×(4)(2k2)×100.解得k. 故題設(shè)的實數(shù)k存在小結(jié)：向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示

9、列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值學(xué)生練習(xí)：已知a(1,0)，b(2,1).求|a3b|；當(dāng)k為何實數(shù)時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？解 因為a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，|a3b|. kab(k2，1)，a3b(7,3)，因為kab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時向量a3b與kab方向相反.鞏固作業(yè)： （2013年高考遼寧卷（文3）已知點（）ABCD【答案】A ，所以，這樣同方向的單位向量是，選A. （2013年高考陜西卷（文2）已知向量 , 若a/b, 則實數(shù)m等于（）ABC或D0【答案】C 因為所以,所以選C 3【2012高考全國文9】中，邊的高為，若，則（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】如圖，在直角三角形中，,則,所以,所以,即，選D.4.【2012高考廣東文3】若向量，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】.5已知a,b是不共線的向量，若1ab，a2b， (1，2R)，則A、B、C三點共線的充要條件為 ()A121B121C1210D12101CA、B、C三點共線與共線k1210.6在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(2