常微分方程數(shù)值解

1、第八章 常微分方程數(shù)值解姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：歐拉方法的構(gòu)造，單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論，線性多步法中亞當(dāng)姆斯方法的構(gòu)造和討論。1 用改進(jìn)的歐拉公式，求以下微分方程的數(shù)值解（取步長(zhǎng)），并與精確解作比較。（改進(jìn)的尤拉公式的應(yīng)用）解：原方程可轉(zhuǎn)化為 ，令，有解此一階線性微分方程，可得 。利用以下公式求在節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解，其中，初值為。MATLAB程序如下：x(1)=0;%初值節(jié)點(diǎn)y(1)=1;%初值fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn',1,x(1),1,y(1),1,y(1);for i=1:5 yp=y(i)+0.2*(y(i)

2、-2*x(i)/y(i);%預(yù)報(bào)值 yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2;%改進(jìn)值 x(i+1)=x(i)+0.2;%節(jié)點(diǎn)值 yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精確解fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1);end程序運(yùn)行的結(jié)果如下：x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.18

3、3216x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.7320512用四階龍格庫(kù)塔法求解初值問(wèn)題，取, 求時(shí)的數(shù)值解. 要求寫出由直接計(jì)算的迭代公式，計(jì)算過(guò)程保留3位小數(shù)。（龍格庫(kù)塔方法的應(yīng)用）解：四階龍格-庫(kù)塔經(jīng)典公式為由于，在各點(diǎn)的斜率預(yù)報(bào)值分別為：四階經(jīng)典公式可改寫成以下直接的形式：在處，有在處，有

4、注：這兩個(gè)近似值與精確解在這兩點(diǎn)的精確值十分接近。3 用梯形方法解初值問(wèn)題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。解：顯然，是原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。求解一般微分方程初值問(wèn)題的梯形公式的形式為對(duì)于該初值問(wèn)題，其梯形公式的具體形式為，于是：亦即：注意到：，令，有從而 即：當(dāng)時(shí)，收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。4對(duì)于初值問(wèn)題，證明當(dāng)時(shí)，歐拉公式絕對(duì)穩(wěn)定。（顯式和隱式歐拉公式的穩(wěn)定性討論）證明：顯式的歐拉公式為從而，由于，因此，顯式歐拉公式絕對(duì)穩(wěn)定。隱式的歐拉公式為，由于，因此，隱式的歐拉公式也是絕對(duì)穩(wěn)定的。5證明：梯形公式無(wú)條件穩(wěn)定。（梯形公式的穩(wěn)定性討論）解：對(duì)于微分方程初值問(wèn)題其隱式的梯形

5、公式的具體形式可表示為，從而由，可知，故隱式的梯形公式無(wú)條件穩(wěn)定。6設(shè)有常微分方程的初值問(wèn)題，試用泰勒展開(kāi)法，構(gòu)造線性兩步法數(shù)值計(jì)算公式，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。（局部截?cái)嗾`差和主項(xiàng)的計(jì)算）解：假設(shè)，利用泰勒展式，有又 欲使其具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差，必須，從而 ，于是數(shù)值計(jì)算公式為 。該數(shù)值計(jì)算公式的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為7已知初值問(wèn)題取步長(zhǎng)，利用阿當(dāng)姆斯公式，求此微分方程在0，10上的數(shù)值解，求此公式的局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。（阿當(dāng)姆斯公式的應(yīng)用）解：假設(shè)，利用泰勒展開(kāi)，有，而該阿當(dāng)姆斯兩步公式具有2階精度，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為。取步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn)（），注意到，其計(jì)算公式可改寫

6、為僅需取一個(gè)初值，可實(shí)現(xiàn)這一公式的實(shí)際計(jì)算。其MATLAB下的程序如下：x0=0;%初值節(jié)點(diǎn)y0=0;%初值for n=0:99 y1=y0+0.02*n+0.01; x1=x0+0.1; fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8fn',n+1,x1,n+1,y1); x0=x1; y0=y1;end運(yùn)行結(jié)果如下：x( 1)=0.10000000,y( 1)=0.01000000x( 2)=0.20000000,y( 2)=0.04000000x( 3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000x( 4)=0.40000000,y(

7、4)=0.16000000x( 5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000x( 6)=0.60000000,y( 6)=0.36000000x( 7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000x( 8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000x( 9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000x( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000x( 11)=1.10000000,y( 11)=1.21000000x( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000x( 13)=1.30000000

8、,y( 13)=1.69000000x( 14)=1.40000000,y( 14)=1.96000000x( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000x( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000x( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000x( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000x( 19)=1.90000000,y( 19)=3.61000000x( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000x( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000x(

9、 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000x( 23)=2.30000000,y( 23)=5.29000000x( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000x( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000x( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000x( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000x( 28)=2.80000000,y( 28)=7.84000000x( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000x( 30)=3.00000000,y( 3

10、0)=9.00000000x( 31)=3.10000000,y( 31)=9.61000000x( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000x( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000x( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000x( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000x( 36)=3.60000000,y( 36)=12.96000000x( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000x( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000

11、x( 39)=3.90000000,y( 39)=15.21000000x( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000x( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000x( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000x( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000x( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000x( 45)=4.50000000,y( 45)=20.25000000x( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000x( 47)=4.700

12、00000,y( 47)=22.09000000x( 48)=4.80000000,y( 48)=23.04000000x( 49)=4.90000000,y( 49)=24.01000000x( 50)=5.00000000,y( 50)=25.00000000x( 51)=5.10000000,y( 51)=26.01000000x( 52)=5.20000000,y( 52)=27.04000000x( 53)=5.30000000,y( 53)=28.09000000x( 54)=5.40000000,y( 54)=29.16000000x( 55)=5.50000000,y( 55)

13、=30.25000000x( 56)=5.60000000,y( 56)=31.36000000x( 57)=5.70000000,y( 57)=32.49000000x( 58)=5.80000000,y( 58)=33.64000000x( 59)=5.90000000,y( 59)=34.81000000x( 60)=6.00000000,y( 60)=36.00000000x( 61)=6.10000000,y( 61)=37.21000000x( 62)=6.20000000,y( 62)=38.44000000x( 63)=6.30000000,y( 63)=39.69000000

14、x( 64)=6.40000000,y( 64)=40.96000000x( 65)=6.50000000,y( 65)=42.25000000x( 66)=6.60000000,y( 66)=43.56000000x( 67)=6.70000000,y( 67)=44.89000000x( 68)=6.80000000,y( 68)=46.24000000x( 69)=6.90000000,y( 69)=47.61000000x( 70)=7.00000000,y( 70)=49.00000000x( 71)=7.10000000,y( 71)=50.41000000x( 72)=7.200

15、00000,y( 72)=51.84000000x( 73)=7.30000000,y( 73)=53.29000000x( 74)=7.40000000,y( 74)=54.76000000x( 75)=7.50000000,y( 75)=56.25000000x( 76)=7.60000000,y( 76)=57.76000000x( 77)=7.70000000,y( 77)=59.29000000x( 78)=7.80000000,y( 78)=60.84000000x( 79)=7.90000000,y( 79)=62.41000000x( 80)=8.00000000,y( 80)

16、=64.00000000x( 81)=8.10000000,y( 81)=65.61000000x( 82)=8.20000000,y( 82)=67.24000000x( 83)=8.30000000,y( 83)=68.89000000x( 84)=8.40000000,y( 84)=70.56000000x( 85)=8.50000000,y( 85)=72.25000000x( 86)=8.60000000,y( 86)=73.96000000x( 87)=8.70000000,y( 87)=75.69000000x( 88)=8.80000000,y( 88)=77.44000000x( 89)=8.90000000,y( 89)=79.21000000x( 90)=9.00000000,y( 90)=81.00000000x( 91)=9.10000000,y( 91)=82.81000000x( 92)=9.20000000,y( 92)=84.64000000x( 93)=9.30000000,y( 93)=86.4