繩子拉船問(wèn)題

1、繩子拉船問(wèn)題的理解與求解一、繩子拉船問(wèn)題的理解 1繩子拉船問(wèn)題 如圖1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用繞過(guò)定滑輪O的輕繩勻速地拉動(dòng)水面上的一只小船，如果人拉動(dòng)繩子的速度大小為V，則當(dāng)繩子OA與水平面的夾角為時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)的速度為多大。 2常見(jiàn)錯(cuò)誤及原因分析 對(duì)此問(wèn)題，很多學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤是把拉動(dòng)繩子的速率V沿豎直和水平兩個(gè)方向分解，如圖2所示，因此錯(cuò)誤地認(rèn)為船沿水面運(yùn)動(dòng)的速度，就是繩子沿水平方向的分速度，即V船=Vcos           &#

2、160;    （1） 造成上述錯(cuò)誤的原因，就是沒(méi)有分清楚合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)，錯(cuò)誤地認(rèn)為與船相連的繩子沿收縮方向是合運(yùn)動(dòng)，小船的運(yùn)動(dòng)為它的分運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，繩子A端與船相連，它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與小船運(yùn)動(dòng)相同，也是水平向左，這才是合運(yùn)動(dòng)。 3常規(guī)解法 如圖1所示，當(dāng)繩子拉著小船水平向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，定滑輪右邊的繩子運(yùn)動(dòng)有這樣的效果：一方面，沿繩子方向收縮；另一方面，繩子繞定滑輪O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，可將繩A端（或小船）水平向左的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（合運(yùn)動(dòng)）分解成上述兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，而沿繩子收縮方向的分速度大小等于人通過(guò)定滑輪拉動(dòng)繩子的速度大小V，故小船

3、運(yùn)動(dòng)的速度為             （2）1功能原理法 設(shè)定滑輪的質(zhì)量、滑輪與軸之間的摩擦均不計(jì)，則人在利用繞過(guò)定滑輪的繩子拉船過(guò)程中，人拉輕繩所做的功等于繩子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉繩與繩拉船的時(shí)間相同，則有，即P人 = P船             （3） 設(shè)人對(duì)繩子的拉力為F，則繩對(duì)船的拉力大小也為F，根據(jù)功率的計(jì)算公

4、式P=FVcos，有 P人 = F·V                   （4） P船 = F·V船cos            （5） 聯(lián)立（3）、（4）、（5）式可得 類型題： 繩聯(lián)物體的速度分解問(wèn)題 【例題】如圖所示，人用繩子通過(guò)定滑輪以不變

5、的速度拉水平面上的物體A，當(dāng)繩與水平方向成角時(shí)，求物體A的速度。v0A解析：解法一（分解法）：本題的關(guān)鍵是正確地確定物體A的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。物體A的運(yùn)動(dòng)（即繩的末端的運(yùn)動(dòng)）可看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長(zhǎng)縮短。繩長(zhǎng)縮短的速度即等于；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動(dòng)，它不改變繩長(zhǎng)，只改變角度的值。這樣就可以將按圖示方向進(jìn)行分解。所以及實(shí)際上就是的兩個(gè)分速度，如圖所示，由此可得。解法二（微元法）：要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間來(lái)求它的平均速率，當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率。v0ACBxL設(shè)船在角位置經(jīng)t時(shí)間向左行駛x距離，滑輪右側(cè)的繩長(zhǎng)縮短

6、L，如圖所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時(shí)，ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，兩邊同除以t得：即收繩速率，因此船的速率為：總結(jié)：“微元法”?？稍O(shè)想物體發(fā)生一個(gè)微小位移，分析由此而引起的牽連物體運(yùn)動(dòng)的位移是怎樣的，得出位移分解的圖示，再?gòu)闹姓业綄?duì)應(yīng)的速度分解的圖示，進(jìn)而求出牽連物體間速度大小的關(guān)系。解法三（能量轉(zhuǎn)化法）：由題意可知：人對(duì)繩子做功等于繩子對(duì)物體所做的功。人對(duì)繩子的拉力為F，則對(duì)繩子做功的功率為；繩子對(duì)物體的拉力，由定滑輪的特點(diǎn)可知，拉力大小也為F，則繩子對(duì)物體做功的功率為，因?yàn)樗浴Ｔu(píng)點(diǎn)：在上述問(wèn)題中，若不對(duì)物體A的運(yùn)動(dòng)認(rèn)真分析，就很容易得出的錯(cuò)誤結(jié)果；當(dāng)物體A向左移動(dòng)，將

7、逐漸變大，逐漸變大，雖然人做勻速運(yùn)動(dòng)，但物體A卻在做變速運(yùn)動(dòng)。總結(jié)：解題流程：選取合適的連結(jié)點(diǎn)（該點(diǎn)必須能明顯地體現(xiàn)出參與了某個(gè)分運(yùn)動(dòng)）；確定該點(diǎn)合速度方向（物體的實(shí)際速度為合速度）且速度方向始終不變；確定該點(diǎn)合速度的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果從而依據(jù)平行四邊形定則確定分速度方向；作出速度分解的示意圖，尋找速度關(guān)系?！纠}】如圖所示，在高為H的光滑平臺(tái)上有一物體用繩子跨過(guò)定滑輪C，由地面上的人以均勻的速度v0向右拉動(dòng)，不計(jì)人的高度，若人從地面上平臺(tái)的邊緣A處向右行走距離s到達(dá)B處，這時(shí)物體速度多大？物體水平移動(dòng)了多少距離？hv0sBAs解析：人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，將此合運(yùn)動(dòng)分解在沿繩方向和垂直于繩的方向。全

8、解設(shè)人運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，繩與地面的夾角為。人的運(yùn)動(dòng)在繩的方向上的分運(yùn)動(dòng)的速度為：。物體的運(yùn)動(dòng)速度與沿繩方向的運(yùn)動(dòng)速度相同，所以物體的運(yùn)動(dòng)速度為。物體移動(dòng)的距離等于滑輪右端繩子伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，。答案：， 小結(jié)分清合運(yùn)動(dòng)是關(guān)鍵，合運(yùn)動(dòng)的重要特征是，合運(yùn)動(dòng)都是實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，此題中，人向前的運(yùn)動(dòng)是實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，是合運(yùn)動(dòng)；該運(yùn)動(dòng)分解在沿繩的方向和垂直于繩的方向，這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物理意義是明確的，從滑輪所在的位置來(lái)看，沿繩的方向的運(yùn)動(dòng)是繩伸長(zhǎng)的運(yùn)動(dòng)，垂直于繩的方向的運(yùn)動(dòng)是繩繞滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，人同時(shí)參與了這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，其實(shí)際的運(yùn)動(dòng)（合運(yùn)動(dòng)）即是水平方向的運(yùn)動(dòng)【例題】如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過(guò)繩帶動(dòng)小車m沿斜面升高問(wèn)：當(dāng)

9、滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成角，且重物下滑的速率為v時(shí)，小車的速度為多少？mvM解析：重物M的速度v的方向是合運(yùn)動(dòng)的速度方向，這個(gè)v產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使繩的這一端繞滑輪做順時(shí)針?lè)较虻膱A周運(yùn)動(dòng)；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率v運(yùn)動(dòng)，如圖所示，由圖可知，vv·cos【例題】一根繞過(guò)定滑輪的長(zhǎng)繩吊起一重物B，如圖所示，設(shè)汽車和重物的速度的大小分別為，則（ BD ）vAvBA B C D重物B的速度逐漸增大【例題】如圖所示，一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B（可視為質(zhì)點(diǎn)）。將其放在一個(gè)直角形光滑槽中，已知當(dāng)輕桿與槽左壁成角時(shí)，A球沿槽下滑的速度為VA，求此時(shí)B球的速度

10、VB？ABa解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下時(shí)，可分解為：一個(gè)使桿壓縮的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為VA1；一個(gè)使桿繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為VA2。而B球沿斜槽上滑的運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為VB，可分解為：一個(gè)使桿伸長(zhǎng)的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為VB1，VB1=VA1；一個(gè)使桿擺動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)設(shè)其速度為VB2；ABavA2vAvBvA1vB2vB1由圖可知： 【例題】如圖所示，臨界角C為450的液面上有一點(diǎn)光源S發(fā)出一束光垂直入射到水平放置于液體中且距液面為d的平面鏡M上，當(dāng)平面鏡M繞垂直過(guò)中心O的軸以角速度做逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過(guò)，則觀察者們觀察到的光斑在水面上掠過(guò)的最大速度為多少？

11、SOdM解析：設(shè)平面鏡轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，光線反射到水面上的P點(diǎn)，光斑速度為V，由圖可知：SOdMvvvP且，而故液體的臨界角為C，當(dāng)2=C=450時(shí)，V達(dá)到最大速度類型題： 面接觸物體的速度問(wèn)題 求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題時(shí)，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出?！纠}】一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度V0勻速運(yùn)動(dòng)。在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為，求豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度。ROPv0v1解析：設(shè)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速

12、度為V1，方向豎直向上，由于彈力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有，解得V1=V0。tan【例題】一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球A，靠在一個(gè)質(zhì)量為M，高為h的物塊上，如圖所示，若物塊與地面摩擦不計(jì)，試求當(dāng)物塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球A的線速度vA（此時(shí)桿與水平方向夾角為）。oA解析：解題方法與技巧：選取物與棒接觸點(diǎn)B為連結(jié)點(diǎn)。 （不直接選A點(diǎn)，因?yàn)锳點(diǎn)與物塊速度的v的關(guān)系不明顯）。因?yàn)锽點(diǎn)在物塊上，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變且與物塊運(yùn)動(dòng)方向一致，故B點(diǎn)的合速度（實(shí)際速度）也就是物塊速度v；B點(diǎn)又在棒上，參與沿棒向A點(diǎn)滑動(dòng)的速度v1和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v2。

13、因此，將這個(gè)合速度沿棒及垂直于棒的兩個(gè)方向分解，由速度矢量分解圖得：v2=vsin。設(shè)此時(shí)OB長(zhǎng)度為a，則a=h/sin。令棒繞O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，則：=v2/a=vsin2/h。故A的線速度vA=L=vLsin2/h。 淺談“運(yùn)動(dòng)速度的分解”中隱形的知識(shí)點(diǎn)李澤龍高中物理力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)部分，速度的正交分解這一知識(shí)點(diǎn)常?！半[形”的滲透到不同運(yùn)動(dòng)方向的兩個(gè)或多個(gè)連結(jié)體運(yùn)動(dòng)的情景中，或者運(yùn)動(dòng)物體的速度瞬間發(fā)生突變時(shí)的情景中。如果解題者稍有不慎，就會(huì)因不能辯識(shí)出或者不能正確的應(yīng)用速度分解，而造成對(duì)整道題的解答錯(cuò)誤。下面例舉幾道常出現(xiàn)速度分解的典型例題加以討論分析，把握此知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的規(guī)律性，

14、以便靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用。一. 速度投影類的速度分解1. 速度分解“隱形”在力學(xué)的超重、失重物理情景中例1. 如圖1，在不計(jì)滑輪摩擦和繩質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A的受力情況是（ ）A. 繩的拉力大于A的重力B. 繩的拉力等于A的重力C. 繩的拉力小于A的重力D. 拉力先大于A的重力，后小于重力圖1分析與點(diǎn)撥：此類問(wèn)題通常是通過(guò)定滑輪造成繩子兩端的連接體運(yùn)動(dòng)方向不一致，導(dǎo)致主動(dòng)運(yùn)動(dòng)物體和被動(dòng)運(yùn)動(dòng)物體的加速、減速的不一致性。解答時(shí)必須運(yùn)用兩物體的速度在各自連接處繩子方向投影相同的規(guī)律。解析：把小車的速度為合速度進(jìn)行分解，即根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果向沿繩的方向和與繩垂直的方向進(jìn)行正交分解，分別是v2

15、、v1。如圖1所示，題中物體A的運(yùn)動(dòng)方向與連結(jié)處繩子的方向相同，不必分解。A的速度等于v2，小車向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變小，可知逐漸變大，故A向上做加速運(yùn)動(dòng)，處于超重狀態(tài)，繩子對(duì)A的拉力大于重力，故選項(xiàng)A正確。2. 速度分解“隱形”在桿的各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不同的情景中例2. 如圖2所示，當(dāng)放在墻角的均勻直桿A端靠在豎直墻上，B端放在水平地面，滑到圖示位置時(shí)，B點(diǎn)的速度為v，則A點(diǎn)的速度是_（為已知）。圖2分析與點(diǎn)撥：由于桿AB下滑時(shí)各點(diǎn)的速度不同，但各點(diǎn)速度沿桿方向的投影相同，即沿桿方向的速度效果相同，所以把兩端點(diǎn)的速度必須向沿桿方向上和桿垂直的方向上正交分解。解析：把A、B兩端點(diǎn)的速度為vA、vB各自做

16、為合速度向沿桿AB的方向和與桿垂直的方向進(jìn)行正交分解，如圖2所示，沿桿AB方向的投影分速度相同，都是v1，那么有：，即求解出A下滑的速度：。二. 速度分解“隱形”在水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的物理情景中例3. 如圖3，一個(gè)小球被繩子牽引在光滑的水平板上，以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑，現(xiàn)將牽引的繩子迅速放長(zhǎng)20cm，使小球在更大半徑的新軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求實(shí)現(xiàn)這一過(guò)渡所需的時(shí)間？在新軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子對(duì)小球的牽引力F2是原來(lái)繩子對(duì)小球牽引力F1的多少倍？圖3分析與點(diǎn)撥：當(dāng)繩子放長(zhǎng)后，牽引力迅速變?yōu)镺，球沿切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在繩長(zhǎng)50cm處被拉緊時(shí)，速度的方向突然發(fā)生改變后，才能沿新軌

17、道圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程有動(dòng)能損失。如果忽視這一瞬間的速度分解的關(guān)鍵處理方法，認(rèn)為速率不變的進(jìn)入新的圓周運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致題問(wèn)的錯(cuò)解。解析：假設(shè)球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)開(kāi)始放長(zhǎng)，可轉(zhuǎn)化成直視平面圖4，球從A點(diǎn)沿切線方向AB飛出，并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再被拉緊時(shí)在B點(diǎn)，OB為新軌道圓的半徑，。球在B點(diǎn)被拉緊前的瞬間速度沿AB方向，即拉緊后在新圓周上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v1，二者不相等。按照vB的運(yùn)動(dòng)效果并作為合速度正交分解，分速度分別是：新圓上過(guò)B點(diǎn)沿半徑OB向外的速度v2和過(guò)B點(diǎn)的切線方向的速度為v1，如圖4所示。圖4，v2被繩子的拉力作用瞬間變?yōu)镺，半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力，半徑為r1的一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)

18、的向心力，三. 速度分解“隱形”在機(jī)械能守恒的物理情景中例4. 如圖5，三物體A、B、C質(zhì)量相等，A、B用細(xì)繩繞過(guò)輕小的定滑輪相連接，開(kāi)始A、B靜止，滑輪間的細(xì)繩長(zhǎng)MN為2a，現(xiàn)將C物體輕輕掛在MN繩的中點(diǎn)，試求松手后，C物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程能達(dá)到的最大速度為多少？圖5分析與點(diǎn)撥：易分析C物體速度最大時(shí)合力為0，如圖5所示，此時(shí)C、A、B的速度分別為：vC、vA、vB，常犯把速度vC向MO1、NO1兩方向分解而得到的錯(cuò)誤。實(shí)際上物體C的運(yùn)動(dòng)有四個(gè)效果，應(yīng)采用兩個(gè)速度正交分解圖處理，如圖6（a）、（b）。顯然物體A、B在最大時(shí)，它們的速率相等，。圖6解析：假設(shè)O點(diǎn)下落到O1位置時(shí)C物體速度最大，如圖5所示，此位置結(jié)點(diǎn)O1受到合力為O，C物體的速度最大為，A、B兩物體的速度大小相等即，。A、B兩物體上升的高度，C物體下降的高度，合速度的兩個(gè)速度分解如圖6（a）（b）而求出。由于該過(guò)程A、B、C繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：，代入求解得四. 速度分解“隱形”在電學(xué)情景中例5. 如圖7所示，在一個(gè)平行板電容器的水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，用絲線在固定點(diǎn)懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的小球，使小球帶正電，電量正好使小球的重力為小球所受電場(chǎng)力的倍，現(xiàn)拉開(kāi)小球至絲線正好水平伸直的A位置后自由釋放，求小球到最低點(diǎn)B處時(shí)線上拉力的大??？圖7分析與點(diǎn)撥：必須考慮到球沿直線AC方向運(yùn)動(dòng)到沿