摘要文章澄清了測(cè)量不確定度教學(xué)中易混淆的一些概念給出了實(shí)用

1、摘要 文章澄清了測(cè)量不確定度教學(xué)中易混淆的一些概念，給出了實(shí)用的展伸不確定度公式；在數(shù)據(jù)處理中，倡導(dǎo)利用回歸法；提出在作圖法中畫出誤差桿，以更明確地表明實(shí)驗(yàn)的精度。關(guān)鍵詞 誤差，測(cè)量不確定度，標(biāo)準(zhǔn)差，展伸不確定度，數(shù)據(jù)處理，誤差桿，回歸法。測(cè)量不確定度n 采用不確定度的必然性國(guó)際計(jì)量局等七個(gè)國(guó)際組織于1993年指定了具有國(guó)際指導(dǎo)性的“測(cè)量不確定度表示指南 ISO 1993（E）” （以下簡(jiǎn)稱指南）。幾年來國(guó)際與國(guó)內(nèi)的科技文獻(xiàn)開始采用不確定度概念，我國(guó)各個(gè)高校也不斷開展這方面的討論，改革教學(xué)內(nèi)容與方法，以求與國(guó)際接軌。雖然一些學(xué)者對(duì)指南的有些內(nèi)容持批評(píng)態(tài)度注1，但總的趨勢(shì)是在貫徹指南的同時(shí)，不斷

2、改善它。測(cè)量不確定度定義為測(cè)量結(jié)果帶有的一個(gè)參數(shù)，用以表征合理賦予被測(cè)量量的分散性，它是被測(cè)量客觀值在某一量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定。不確定度理論將不確定度按照測(cè)量數(shù)據(jù)的性質(zhì)分類：符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，稱為A類不確定度，而不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的統(tǒng)稱為B類不確定度。測(cè)量不確定度的理論保留系統(tǒng)誤差的概念，也不排除誤差的概念。這里的誤差指測(cè)量值與平均值之差或測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值（用更高級(jí)的儀器的測(cè)量值）的偏差。n 測(cè)量不確定度的 B類分量= 儀器的最大允差儀測(cè)量中凡是不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱為B類不確定度，記為B 。它包含了由測(cè)量者估算產(chǎn)生的部分估和儀器精度有限所產(chǎn)生的最大允差儀。儀包含了儀器的系統(tǒng)誤差，也包含了環(huán)境以

3、及測(cè)量者自身可能出現(xiàn)的變化（具隨機(jī)性）對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。儀可從儀器說明書中得到，它表征同一規(guī)格型號(hào)的合格產(chǎn)品，在正常使用條件下，一次測(cè)量可能產(chǎn)生的最大誤差。一般而言，儀為儀器最小刻度所對(duì)應(yīng)的物理量的數(shù)量級(jí)（但不同儀器差別很大，一些常用儀器的最大允差見第26頁）。= 測(cè)量者的估算誤差估測(cè)量者對(duì)被測(cè)物或?qū)x器示數(shù)判斷的不確定性會(huì)產(chǎn)生估算誤差估。對(duì)于有刻度的儀器儀表，通常估為最小刻度的十分之幾，小于儀（因?yàn)樽畲笤什钜寻藴y(cè)量者正確使用儀器的估算誤差）。比如，估讀螺旋測(cè)微器最小刻度的十分之一為0.001毫米，小于其最大允差0.004毫米；估讀鋼板尺最小刻度的十分之一為0.1毫米，小于其最大允差0.1

4、5毫米。但有時(shí)估會(huì)大于儀。比如，用電子秒表測(cè)量幾分鐘的時(shí)間，測(cè)量者在計(jì)時(shí)判斷上會(huì)有秒的誤差。而電子秒表的穩(wěn)定性為10-5秒/天，顯然儀器的最大允差小得實(shí)在可以忽略。又如第30屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)題中要測(cè)量一個(gè)擺桿的質(zhì)心到一端的距離。將擺桿放到一個(gè)“”型物上并使之平衡，測(cè)量支撐點(diǎn)到擺一端的距離。由于“”型物棱寬為2mm ，擺桿在棱上移動(dòng)±1mm均能保持平衡，使得一次測(cè)量的估算誤差應(yīng)為±1mm ，大于鋼直尺的最大允差儀=0.15mm 。在拉伸法測(cè)金屬絲楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，由于難以對(duì)準(zhǔn)金屬絲被軋頭夾住的位置，鋼絲長(zhǎng)度的估算誤差可達(dá)±（1-2）mm 。在暗室中做幾何光學(xué)

5、實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行長(zhǎng)度測(cè)量時(shí)，長(zhǎng)度的估算誤差也可達(dá)±（1-2）mm 。如果估和儀是彼此無關(guān)的，B類不確定度B為它們的合成：若估和儀中，某個(gè)量小于另一量的三分之一，平方后將小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則可以忽略不計(jì)。由于一般而言，估比儀?。ㄕＪ褂孟乱寻渲校?，在以下的討論中僅以儀表示B。= B類分量的標(biāo)準(zhǔn)差多次用同一規(guī)格型號(hào)的不同儀器測(cè)量同一物理量，測(cè)量值可能不同。這些測(cè)量值與平均值之差也是按一定概率分布的。正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最常用、最重要的分布。一般而言，在相同條件下大批生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)一般服從正態(tài)分布。如某個(gè)數(shù)量指標(biāo)X是很多隨機(jī)因素之和，而每種因素所起的作用均勻微小，則X為服從隨機(jī)分布

6、的變量。例如，工廠大量生產(chǎn)某一產(chǎn)品，當(dāng)設(shè)備、技術(shù)、原材料、工藝等可控制的生產(chǎn)條件都相對(duì)穩(wěn)定，不存在系統(tǒng)誤差的明顯因素，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布。如果儀器的測(cè)量誤差在最大允差范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率都相等（如長(zhǎng)度塊規(guī)在一定溫度范圍內(nèi)由于熱脹冷縮導(dǎo)致的長(zhǎng)度值變化），就為均勻分布。界于兩種分布之間則可用三角分布來描述。一次測(cè)量值的B類標(biāo)準(zhǔn)差為其中C稱為置信系數(shù)。在最大允差范圍內(nèi)，對(duì)于正態(tài)分布，C=9 =3；對(duì)于三角分布，C= 6，對(duì)于均勻分布，C=3。第32頁給出幾種常用儀器的誤差分布以及C的取值，見下表注2：儀器名稱 米尺游標(biāo)卡尺 千分尺物理天平 秒表誤差分布 正態(tài)分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)

7、分布 C 3 3 3 3 3符合正態(tài)分布的測(cè)量列中某次測(cè)量值與平均值之差落在-，之間的概率為68.3%,落在-2，2之間為95.55%,落在-3，3之間的概率為99.73%（見圖1），所以儀器的最大允差規(guī)定為儀=3。不同的分布，在相同范圍內(nèi)的置信概率有所不同。不明確這一點(diǎn)，在合成不確定度的A類分量和B類分量時(shí)，就無法給出正確的置信概率和置信區(qū)間。為了說明這一點(diǎn)，先要做一些數(shù)學(xué)鋪墊。= 三種儀器誤差分布按照概率統(tǒng)計(jì)理論注3，若x是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)，則其數(shù)學(xué)期望值為其方差為標(biāo)準(zhǔn)差為對(duì)于等精度測(cè)量，隨機(jī)量其數(shù)學(xué)期望值（即平均值）為方差為標(biāo)準(zhǔn)差為設(shè)隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分

8、布（見圖2），即其平均值為其方差為其標(biāo)準(zhǔn)差為特例：當(dāng)a = -儀 ,b =儀時(shí)，(X)=儀/3 0.577儀。也即如果儀器誤差符合均勻分布，其一次測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值之差落在-，內(nèi)的概率為57.7%，低于正態(tài)分布相應(yīng)的68.3%；而落在-3，3內(nèi)的概率就已經(jīng)達(dá)到100%，與正態(tài)分布有很大不同（比較圖1和圖2）。設(shè)隨機(jī)變量X在-儀 ,儀上的分布為三角分布（見圖3）由其對(duì)稱性易得測(cè)量列的平均值為方差為標(biāo)準(zhǔn)差X落在-, 之間的概率P（），如圖3中陰影的面積，P（）=0.758；而 P（2）=0.966。三種分布的標(biāo)準(zhǔn)差以及各置信區(qū)間相應(yīng)的概率如下表： 分布 標(biāo)準(zhǔn)差 P（） P（2） P（3） 正態(tài)分布 /

9、3 0.683 0.955 0.997 三角分布 /6 0.758 0.966 1 均勻分布 /3 0.577 1 1因此，不能籠統(tǒng)地說測(cè)量誤差落在標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為68.3%，落在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95.5%。在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，要注意區(qū)分不同的分布。n 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和展伸不確定度將A類和B類標(biāo)準(zhǔn)差合成得到置信概率P=0.68的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：若考慮到測(cè)量次數(shù)，還應(yīng)t因子修正。將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以一個(gè)與一定置信概率相聯(lián)系的包含因子（或稱覆蓋因子）K，得到增大置信概率的不確定度叫做展伸不確定度（或擴(kuò)展不確定度）。通常取置信概率為0.95，K=2。對(duì)正態(tài)分布，k0.95=1.9

10、6 K=2。這時(shí)的展伸不確定度為考慮到通常測(cè)量6次左右,查閱t因子表，t0.95=2.57, t2/61,C=3, Kk0.95=1.96,(K/C)0.5。所以，置信概率P=0.95的展伸不確定度的便于操作的公式為用均勻分布或三角分布得到的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度與服從正態(tài)分布的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度來計(jì)算合成不確定度時(shí)，要用到卷積運(yùn)算，其結(jié)果和與儀之比有關(guān)，可參閱文獻(xiàn)4。注意到不確定度的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義和在上述操作中的近似，在實(shí)際工作中，常常忽略不同分布的差別（有時(shí)也不知道是什么分布），而把儀 當(dāng)成均勻分布，取置信因子C=3。這樣得到一種較為保守的公式其置信概率應(yīng)記為P0.95。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理n 幾種常用方法列

11、表法、作圖法、逐差法和回歸法。n 誤差桿的概念和應(yīng)用在研究?jī)蓚€(gè)物理量之間的關(guān)系時(shí)，常用到作圖法。在作圖法中，一對(duì)測(cè)量值確定一個(gè)點(diǎn)，叫做“數(shù)據(jù)點(diǎn)”（教材第一冊(cè)43頁）。如果在作圖時(shí)用線段標(biāo)示出測(cè)量值的不確定度±儀，則將會(huì)更全面地反映出實(shí)驗(yàn)的精度。線段的長(zhǎng)度為2儀，這種小線段稱為誤差桿?？紤]到通常選比較容易測(cè)量的物理量作為自變量，常用橫坐標(biāo)表示之，且其儀較小，所以在作圖中往往只需沿縱坐標(biāo)方向畫出誤差桿。如果絕大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)可以擬合成一條直線（或曲線），只有一個(gè)點(diǎn)偏離甚遠(yuǎn)，就要考慮這一對(duì)測(cè)量值的可靠性了。嚴(yán)格地講，應(yīng)該重新測(cè)量。但有時(shí)無法或沒必要重做實(shí)驗(yàn)，可不可以舍棄這個(gè)點(diǎn)呢？一般來說，在有

12、限范圍內(nèi)，兩個(gè)物理量之間的關(guān)系多為連續(xù)的；反映其關(guān)系的曲線不大可能有大的突然起伏。我們可以參照測(cè)量不確定度理論中剔除壞值的3原則來處理。如果該點(diǎn)到按其他點(diǎn)擬合的曲線的距離大于1.5倍誤差桿的長(zhǎng)度，就可以舍棄該點(diǎn)。不畫出誤差桿就難以判斷。要注意，曲線擬合是對(duì)多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義下的操作，若一共只有3、4個(gè)點(diǎn)，就不能草率地舍棄任何一個(gè)點(diǎn)了。還要注意，各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差桿長(zhǎng)度不一定相等?；蛘?，對(duì)數(shù)據(jù)做某種處理（如取對(duì)數(shù)）后，再進(jìn)行作圖，誤差桿的長(zhǎng)度也會(huì)變化。譬如，某1.0級(jí)的電壓表的量程為100伏，對(duì)于測(cè)量值為20.0伏、30.0伏、40.0伏和 50.0伏，它們的最大允差均為±1.0伏。

13、若縱坐標(biāo)為電壓，則誤差桿的長(zhǎng)度都是2×0.1伏；而若以電壓值的對(duì)數(shù)為縱坐標(biāo)，則誤差桿的長(zhǎng)度為2×V/V=0.2/V，電壓值不同，誤差桿長(zhǎng)度就不同。n 作圖法和回歸法的比較作圖法的最大優(yōu)點(diǎn)是直觀。在諸多數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合中，如果發(fā)現(xiàn)有一個(gè)點(diǎn)明顯偏離所擬合的曲線，就需要在這個(gè)點(diǎn)所處物理?xiàng)l件附近，再進(jìn)行仔細(xì)的實(shí)驗(yàn)，查明是否是實(shí)驗(yàn)誤差，還是有新的現(xiàn)象或規(guī)律。但作圖法需較長(zhǎng)時(shí)間，曲線擬合過程中會(huì)引入誤差；求解實(shí)驗(yàn)方程參數(shù)及其不確定度比較麻煩。用回歸法只需按動(dòng)計(jì)算器的幾個(gè)鍵，就可以確定實(shí)驗(yàn)方程的參數(shù)及其不確定度。但如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤，或所擬合的方程形式不合適，則相關(guān)系數(shù)小，必須重新檢查數(shù)據(jù)或方

14、程形式，由于不直觀，一時(shí)難以斷定問題之所在。若數(shù)據(jù)點(diǎn)可以擬合為一條直線，線性方程的一般形式為數(shù)據(jù)為Xi和Yi,每次測(cè)量的最大允差為Xi和Yi，i = 1,2,n。擬合直線的斜率m的相對(duì)不確定度為*式中分別為相應(yīng)測(cè)量值最大允差的平方平均值。截距的不確定度為*概率論給出回歸法線性擬合的斜率的標(biāo)準(zhǔn)差為式中n 為X（或Y）的測(cè)量數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，r為相關(guān)系數(shù)。截距的標(biāo)準(zhǔn)差為如果兩組物理量之間的關(guān)系確實(shí)為線性，按 * 和 * 式由各個(gè)測(cè)量值最大允差計(jì)算得到的和一般大于由回歸法計(jì)算得到的結(jié)果。前者只考慮每次測(cè)量值的儀器最大允差，而不考慮各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于所擬合的直線的偏離情況（線性擬合的程度由眼睛直觀判斷）。而回歸法

15、則相反，不考慮每次測(cè)量值的儀器最大允差，只考慮各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于所擬合的線性關(guān)系的偏離情況。線性擬合程度的“好壞”由相關(guān)系數(shù)給出。如果測(cè)量值中有一個(gè)“壞值”，由于作圖法能直觀察覺，方便作出相應(yīng)處理（剔除壞值或重做實(shí)驗(yàn)改正錯(cuò)誤）。而回歸法則是根據(jù)所有數(shù)據(jù)計(jì)算，一個(gè)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)也可能使相關(guān)系數(shù)嚴(yán)重減小。這時(shí)難以判斷是整體線性不好，還是個(gè)別數(shù)據(jù)出了差錯(cuò)。兩全的辦法是先畫出圖來，直觀判斷線性好壞。如果確定線性關(guān)系，再用計(jì)算器按鍵操作，很方便地求出線性方程的斜率和截距以及它們的標(biāo)準(zhǔn)差，不必按公式詳細(xì)計(jì)算。對(duì)于不是線性關(guān)系的物理規(guī)律，擬合曲線比較麻煩；由曲線求解實(shí)驗(yàn)方程的參數(shù)也比較困難。有時(shí)可以對(duì)物理量進(jìn)行適當(dāng)變

16、換，按變換后的的物理量作圖，把曲線改成直線，就方便處理了。現(xiàn)在，很多商品計(jì)算器對(duì)于線性、對(duì)數(shù)、指數(shù)和冪函數(shù)關(guān)系都具有回歸計(jì)算功能，只需按相應(yīng)的鍵就可以擬合這些函數(shù)關(guān)系。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法也應(yīng)“與時(shí)俱進(jìn)”，充分享用新技術(shù)帶給人類的方便。有必要讓我們的學(xué)生掌握這些方法。參考文獻(xiàn)注1 錢鐘泰編著，執(zhí)行“測(cè)量不確定度表示指南ISO1993（E）”的問題及解決方法，1999 年， 中國(guó)計(jì)量出版社 注2 歐陽九令主編，常用物理測(cè)量手冊(cè) ，1998年，中國(guó)工人出版社注3 許小平等編，概率統(tǒng)計(jì)，1996年，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社注4 劉智敏，不確定度與分布合成，物理實(shí)驗(yàn)，vol.19,No.5 (1999/5)標(biāo)題英譯： Teaching of Uncertainty of Measurement and Treatment of Experimental DataAbstract: This article clears up some confusable concepts and give