無窮小的比較

1、第七節(jié) 無窮小的比較教學(xué)目的：使學(xué)生掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。教學(xué)重點(diǎn)：用等價(jià)無窮小求極限教學(xué)過程：一、講授新課： 在第三講中我們討論了無窮小的和、差、積的情況，對(duì)于其商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如： （為常數(shù)，為自然數(shù)）可見對(duì)于取不同數(shù)時(shí)，與趨于0的速度不一樣，為此有必要對(duì)無窮小進(jìn)行比較或分類：定義：設(shè)與為在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，(i) 若，就說是比高階的無窮小，記為；(ii) 若，就說是比低階的無窮??；(iii) 若，就說是比同階的無窮??；(iv) 若，就說與是等價(jià)無窮小，記為?！纠?】 當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小，即；反之是的低階無窮小； 與是同階無窮?。慌c是等價(jià)無窮小，即。

2、注 1：高階無窮小不具有等價(jià)代換性，即：，但，因?yàn)椴皇且粋€(gè)量，而是高階無窮小的記號(hào)； 2：顯然(iv)是(iii)的特殊情況； 3：等價(jià)無窮小具有傳遞性：即； 4：未必任意兩個(gè)無窮小量都可進(jìn)行比較，例如：當(dāng)時(shí)，與既非同階，又無高低階可比較，因?yàn)椴淮嬖冢?5：對(duì)于無窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價(jià)無窮小可以簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，事實(shí)上，有：定理：若均為的同一變化過程中的無窮小，且，及，那么。【例2】 求。解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以 ?！纠?】 求解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 所以 原式。7：在目前，常用當(dāng)時(shí)，等價(jià)無窮小有：；8：用等價(jià)無窮小代換適用于乘、除，對(duì)于加、減須謹(jǐn)慎！二、課堂練習(xí)：三、布置作業(yè)：第七節(jié) 無

3、窮小的比較教學(xué)目的：使學(xué)生掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。教學(xué)重點(diǎn)：用等價(jià)無窮小求極限教學(xué)過程：一、講授新課： 在第三講中我們討論了無窮小的和、差、積的情況，對(duì)于其商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如： （為常數(shù)，為自然數(shù)）可見對(duì)于取不同數(shù)時(shí)，與趨于0的速度不一樣，為此有必要對(duì)無窮小進(jìn)行比較或分類：定義：設(shè)與為在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，(v) 若，就說是比高階的無窮小，記為；(vi) 若，就說是比低階的無窮小；(vii) 若，就說是比同階的無窮?。?viii) 若，就說與是等價(jià)無窮小，記為。【例1】 當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小，即；反之是的低階無窮??； 與是同階無窮??；與是等價(jià)無窮小，即。注 1

4、：高階無窮小不具有等價(jià)代換性，即：，但，因?yàn)椴皇且粋€(gè)量，而是高階無窮小的記號(hào)； 2：顯然(iv)是(iii)的特殊情況； 3：等價(jià)無窮小具有傳遞性：即； 4：未必任意兩個(gè)無窮小量都可進(jìn)行比較，例如：當(dāng)時(shí)，與既非同階，又無高低階可比較，因?yàn)椴淮嬖冢?5：對(duì)于無窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價(jià)無窮小可以簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，事實(shí)上，有：定理：若均為的同一變化過程中的無窮小，且，及，那么。【例2】 求。解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以 。【例3】 求解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 所以 原式。7：在目前，常用當(dāng)時(shí)，等價(jià)無窮小有：；8：用等價(jià)無窮小代換適用于乘、除，對(duì)于加、減須謹(jǐn)慎！二、課堂練習(xí)：三、布置作業(yè)： 第九節(jié) 連續(xù)函

5、數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)目的：使學(xué)生了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性；并會(huì)應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性定義、間斷點(diǎn)的分類 二、講解新課：（一）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理1(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則)：若均在連續(xù)，則及（要求）都在連續(xù)。定理2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果在區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)。注1：亦為的反函數(shù)，如上知：在上有上述性質(zhì)。定理3：設(shè)當(dāng)時(shí)的極限存在且等于，即，又設(shè)在處連續(xù)，那么，當(dāng)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的極限存在，且等于，即。注2：可類似討論時(shí)的情形。定理4：

6、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么，復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。注3：定理3、4說明與的次序可交換。注4：在定理3中代入，即得定理4?！纠?】 由于（為正整數(shù)）在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，由定理2，其反函數(shù) 在上也嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，進(jìn)而：對(duì)于有理冪函數(shù)（為正整數(shù)）在定義上是連續(xù)的。【例2】求解：因?yàn)?，及在點(diǎn)連續(xù)，故由定理3，原式。（二） 初等函數(shù)的連續(xù)性我們已知道在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，由定理2知和在其定義域也是連續(xù)的?？勺C明指數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)的，進(jìn)而有對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域是連續(xù)的。又（為常數(shù)），由定理4知：在內(nèi)是連續(xù)的，當(dāng)取有理數(shù)時(shí)，見例1，總之在定義域內(nèi)是連續(xù)的。綜合以上結(jié)果，得：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，由基本初等函數(shù)的連續(xù)性，及定理14，即得：結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間