時(shí)間序列分析部分講義中國(guó)科學(xué)研究院安鴻志

1、時(shí)間序列分析 (J.D.Hamilton)前言: 3.平穩(wěn)ARMA過程(p49-78),6.譜分析(p180-202),11.向量自回歸(p345-409),21.異方差時(shí)間序列模型(p799-823).3. 平穩(wěn)ARMA過程3.0 概述 (認(rèn)識(shí)論,方法論,歷史觀,發(fā)展觀)什么是”回歸模型”? 什么是”自回歸模型”? 它們有什么聯(lián)系 ?為什么用”回歸”一詞 ? 它們的推廣模型是什么 ?它們的應(yīng)用背景是什么 ?* 考慮 ”父-子身高的關(guān)系”X-父親的身高,Y-兒子的身高,它們有關(guān)系嗎? 有什么樣的關(guān)系呢?不是確定的關(guān)系! 又不是沒有關(guān)系!在同族中抽取n對(duì)父-子的身高, 即有n對(duì)數(shù)據(jù):(X1,Y1

2、), (X2,Y2), , (Xn,Yn).Yk a + bXk , 1£k£n.Yk = a + bXk + ek , 1£k£n. (0.1)* 此為一元線性回歸模型. ek-個(gè)體差異, 其他因素, 等等.* 如果, 如果能記錄到一個(gè)父系的長(zhǎng)子身高序列, 即X1,X2,Xn , 顯然, (X1,X2),(X2,X3),(Xn-1,Xn)是(n-1)對(duì)父-子身高數(shù)據(jù), 與(Xk,Yk)相比, 這里的 Yk = Xk+1 , k=1,2,n-1.依同樣論述有Xk +1 = a + bXk + ek , 1£k£n. (0.2)* 此為

3、一元線性自回歸模型(自變?cè)猋k是因變?cè)猉k的延遲)* 回歸¬英文翻譯¬Regression¬(0.2),具體說來如下:m-男人平均身高. 由(0.2)得 Xk +1-m = a + bXk + ek -m (注意m=(b-1)m+bm) = a +(b-1)m + b(Xk -m)+ ek.Wk = (Xk -m)-第k代長(zhǎng)子身高與平均身高之差,c= a +(b-1)m,于是有Wk+1 = c + bWk + ek. (0.3)特別人們發(fā)現(xiàn): 0<b<1.它表明:平均說來, 當(dāng)父親身高超過平均身高時(shí), 其子身高也會(huì)超過平均身高, 但是比父親身高更靠近平

4、均身高.有回歸平均身高的趨向! 穩(wěn)定系統(tǒng)!* 回歸模型的推廣: (線性模型)* 增加自變?cè)獋€(gè)數(shù): 比如, 兒子身高不僅與父親還與母親, 甚至于祖父母有關(guān), 于是(0.1)式應(yīng)推廣為:Yk = a + b1X1k + bpXpk +ek , 1£k£n. (0.4)* 此為p元線性回歸模型.* 向非線性推廣:仍以父-子身高的關(guān)系為例, 它們的真實(shí)關(guān)系應(yīng)是比(0.1)式更一般的形式:Yk = j(Xk )+ ek , 1£k£n. (0.5)(0.4)式 更一般的形式:Yk = j(X1k,Xpk )+ ek , 1£k£n. (0.6)

5、 近年來, 又引出了比(0.6)式更廣的模型:Yk =j(X1k,Xpk )+s(X1k,Xpk )ek ,1£k£n. (0.7)* 此為異方差回歸模型. (0.7)式的更一般的形式:Yk =y(X1k,Xpk ;ek ),1£k£n. (0.8) 模型越復(fù)雜, 越近似真實(shí)情況, 也越難統(tǒng)計(jì)分析.* 應(yīng)用背景:非常廣泛!主要用于預(yù)報(bào),控制,檢測(cè),管理.模型的獲得方法有兩類.3.1 期望,平穩(wěn)性,遍歷性:確切說, 是對(duì)(0.1)至(0.8)式中ek的最起碼的假定, 根據(jù)這些假定就可以引出隨機(jī)過程和各種模型概念, 用它們近似描述ek(本來是說不清的).而且

6、, 對(duì)這些起碼的假定, 也只是以最直觀的方式, 而非嚴(yán)格的概率論觀點(diǎn), 加以介紹.* 期望和隨機(jī)過程* 隨機(jī)過程: X(t);-¥<t<¥,其中X(t)是隨機(jī)變量.* 隨機(jī)序列: Xk;k=,-1,0,1,其中Xk是隨機(jī)變量.特別當(dāng)Xk=X(kh)時(shí),序列Xk是過程X(t)的等間隔采樣序列. 回憶隨機(jī)變量X和它的樣本的定義, 我們有:* 樣本序列:,x-1,x0,x1,是序列Xk的一個(gè)樣本序列,又稱為一個(gè)實(shí)現(xiàn), 又稱為一個(gè)觀測(cè)序列,等等.請(qǐng)注意: 隨機(jī)變量X的一個(gè)樣本,就是一個(gè)數(shù); 隨機(jī)向量X的一個(gè)樣本,就是一個(gè)向量數(shù); 隨機(jī)序列Xk的一個(gè)樣本, 是一個(gè)無窮數(shù)列

7、;在實(shí)際應(yīng)用中, 我們無法記錄無窮數(shù)列,從而在討論隨機(jī)序列Xk的樣本時(shí), 只能考慮一個(gè)樣本的有限部分, 比如x1,x2,xn是序列Xk的一段觀測(cè)值序列.在理論討論時(shí),為了方便又不得不涉及無窮數(shù)列. 這些都是學(xué)習(xí)和掌握時(shí)間序列分析時(shí), 首先要認(rèn)清的起點(diǎn).* 序列的分布 :回憶隨機(jī)變量X的定義便知,它的特征被它的概率分布所確定. 同樣, 隨機(jī)序列也被它的概率分布所確定.不過, 隨機(jī)序列的分布是無窮個(gè)隨機(jī)變量的概率分布,其復(fù)雜性可以想得到. 這里為了避免涉及太深的概率論概念, 我們僅考慮最簡(jiǎn)單的特疏情況, 即XkN(mk,s2k), 它有密度fk(x)=(2ps2k)-1/2exp(x-mk)2/2

8、s2k而且(Xk+1,Xk+2,Xk+m)有聯(lián)合正態(tài)分布. 于是有:* 期望(均值): EXk=òxfk(x)dx=mk,* 方差: Var(Xk)=E(Xk-mk)2=ò(x-mk)2fk(x)dx=s2k.* 自協(xié)方差: gkj=E(Xk-mk)(Xj-mj)=òò(x-mk)(y-mj)fkj(x,y)dxdy= E(Xj-mj)(Xk-mk)= gjk.回憶二元隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差定義便可理解上式.* 平穩(wěn)序列:一類重要的特疏隨機(jī)序列.弱平穩(wěn)序列: 如果 mk=m; gkj=gk-j=gj-k .嚴(yán)平穩(wěn)序列: 如果 (Xk+1,Xk+2,Xk+

9、m)的分布與k無關(guān)!正態(tài)平穩(wěn)序列: 弱平穩(wěn)序列 嚴(yán)平穩(wěn)序列! * 遍歷性:一個(gè)重要性質(zhì)-時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ).(與大數(shù)是律有關(guān))(1/n)åk=1nXk ® EXk=òxfk(x)dx=mk, 當(dāng)n®¥.(1/n)åk=1ng(Xk )® Eg(Xk)=òg(x)fk(x)dx, 當(dāng)n®¥.3.2 白噪聲序列: 什么是? 為什么叫? 有什么用?它是基楚性的隨機(jī)序列,具體來說,e-1,e0,是相互獨(dú)立相同分布的隨機(jī)變量序列,且均值為零,方差為s2.(常用i.i.d.et表示) Eet=0, Ee

10、t2=s2, Eetes=0,(t¹s)() (3.2.2) (3.2.3)因?yàn)? 當(dāng)t¹s時(shí)gts=E(et-Eet)(es-Ees)=Eetes=EetEes=0=gt-s.為什么叫白噪聲序列,在講譜分析更能看清.它有什么用呢 ? 可以說,很多很多的隨機(jī)序列都是通過白噪聲序列的變化生成的!* 請(qǐng)看幾個(gè)例子: 例1. Yt=a+bt+et, (確定函數(shù)+白噪聲) mt=EYt=E(a+bt+et)=a+bt+Eet=a+bt, gkj=E(Yk-EYk)(Yj-EYj)=Eekej=EekEej=0,(j¹k) gkk=E(Yk-EYk)2=Eek2=s2. 例

11、2. Yt=et+a1et-1+a2et-2, (白噪聲延遲的線性和) 例3. Yt=etet-1, (白噪聲´白噪聲延遲) 例4. Yt=et/(1+et-12). (白噪聲+白噪聲延遲的函數(shù))l 一個(gè)有趣的問題: 是否用白噪聲序列能生成所有的平穩(wěn)序列 ? (回答是, 不能!) 3.3 移動(dòng)平均過程(滑動(dòng)平均序列Moving Average-MA)* 移動(dòng)平均過程定義的由來-概述:設(shè)ek為白噪聲序列, 顧名思義, 滑動(dòng)平均序列是:Yt=(et+et-1+et-m+1)/m, t=,-1,0,1,推而廣之Yt=(q0et+q1et-1+qmet-m+1)/(q0+q1+qm), 更廣

12、之 Yt=m+q1et-1+qmet-m+1+et, ()或Yt=m+åi=0¥yiet-i. (線性序列) ()Yt=m+åi=-¥¥yiet-i. (線性序列,非現(xiàn)實(shí))* 移動(dòng)平均過程的特征:* 均值函數(shù): EYt=m+åi=0¥yiEet-i=m. (By Eet-i=0) (*)* 自協(xié)方差函數(shù):gkj=E(Yk-m)(Yj-m) (用上式)=Eåi=0¥yiek-i åi=0¥yiej-i = Eåi=0¥ås=0¥yiysek-iej

13、-s= åi=0¥ås=0¥yiysEek-iej-s(By Eek-iej-s=0,if k-i¹j-s) = åi=0¥yiyi+|k-j| Ee12 (By Ee12=s2)= s2åi=0¥yiyi+|k-j| = gk-j. ()*可見, ()式的Yt是平穩(wěn)序列. 特別當(dāng)ek為正態(tài)白噪聲序列時(shí), Yt也是正態(tài)平穩(wěn)序列.還特別指出: 為保證()式可求和, 要求 åi=0¥yi2<¥. ()或者更強(qiáng)的要求åi=0¥|yi|<¥.

14、 ()由此式可導(dǎo)出 åi=0¥|gi|<¥. ()此式能保證序列Yt具有遍歷性.* 一階移動(dòng)平均過程(MA(1)Yt=m+qet-1+et, () 相當(dāng)于()式中的 y0=1,y1=q,其它yi=0. 以此代入(*)和(3.3.13)式則有 EYt=m, ()g0=s2(1+q2), g1=g-1=s2q, gi=0, 當(dāng)|i|>1時(shí).() (3.3.4) (3.3.5)()式是一階移動(dòng)平均過程的基本特征!它表現(xiàn)為自協(xié)方差函數(shù)序列g(shù)0,g1,g2,在1以后是截尾的, 即g0,g1,0,0,0,.易見, 這一特征與g0和g1的具體取值并不密切, 所以,可

15、用序列的自相關(guān)函數(shù)表述.* 自相關(guān)函數(shù): rk=gk/g0, k=0,1, ()這是因?yàn)閞k=gk/g0=gk/g01/2g01/2=E(Yt+k-m)(Yt-m)/E(Yt+k-m)2E(Yt-m)21/2,它是Yt+k和Yt的相關(guān)系數(shù), 依平穩(wěn)性它與t無關(guān), 但與k有關(guān), 所以稱函數(shù), 又因是序列自身的關(guān)系, 所以稱自相關(guān)函數(shù).* 對(duì)于()的一階移動(dòng)平均過程而言, 由(3.3.4)和(3.3.5)知 r0=1, r1=q/(1+q2), 當(dāng)k>1,rk=0. ()可見, 自相關(guān)函數(shù)在1以后全為零(截尾)是一階移動(dòng)平均過程的本質(zhì)性特征!* 以上內(nèi)容不難推廣到* q階移動(dòng)平均過程:(MA

16、(q)(見p58-59)模型Yt=m+q1et-1+qqet-q+et, ()特征gk=0, rk=0, 當(dāng)k>q. ()即,它的自協(xié)方差函數(shù)在q步以后截尾.關(guān)于g0, g1,gq的具體表達(dá)式為 g0=(1+q12+q22+qq2)s2, (s2=Eet2) ()gj=(qj+qj+1q1+qj+2q2+qqqq-j)s2,j=1,2,q ()注意, 以上()和(3.3.10)式, 表達(dá)了g0, g1,gq和參數(shù)q1,q2,qq2,s2的相互依賴關(guān)系! 但是, 除非q=1,一般很難求解. 況且, 它們的解還有不唯一性問題, 此問題方在3.7節(jié)中解答.例2(見p59).3.4自回歸過程.(

17、自回歸序列AutoRegression-AR)* 一階自回歸過程(AR(1) (相當(dāng)于概述)* 實(shí)際背景:* 定義:Yt= c + fYt-1 + et , ()其中et是白噪聲序列, 而且, et與Yt-1,Yt-2,獨(dú)立!所以, 在文獻(xiàn)中, et又被稱為新息序列!* 求解: 由()式反復(fù)迭代有: (不妨叫反復(fù)迭代法) Yt=c+fYt-1 +et =c+f(c+fYt-2 +et-1)+et=c+fc+f2Yt-2 +fet-1+et=f2Yt-2+(c+fc)+(et+fet-1)=f3Yt-3+(c+fc+f2c)+(et+fet-1+f2et-2)=fnYt-n+(c+fc+fn-1

18、c)+(et+fet-1+fn-1et-n+1)®(c+fc+f2c+)+(et+fet-1+f2et-2) (當(dāng)n®¥)=c/(1-f)+åk=0¥fket-k. ()* 平穩(wěn)性: 顯然, 上式成立的充分必要條件是:|f|<1. 即 fÎ(-1, 1)于是有名稱: 區(qū)間(-1,1)為AR(1)模型的平穩(wěn)域; ()式的解為AR(1)模型的平穩(wěn)解; - AR(1)平穩(wěn)序列; 它也是MA(¥)序列(見()式).* 均值函數(shù):由()式和Eet=0,有 Yt=c/(1-f)=m. ()* 自相關(guān)函數(shù): 在()式, 此時(shí)yj=f

19、j, j=0,1,于是AR(1)的自協(xié)方差函數(shù)為 gk=s2fj/(1-f2)=fjg0, j=0,1, ()AR(1)的自相關(guān)函數(shù)為 rk=gk/g0=fj, j=0,1, ()* 模型推演方法:(不用()式)回顧模型AR(1)()式Y(jié)t=c+fYt-1 +et, 兩邊同取均值得m=EYt=Ec+fEYt-1 +Eet=c+fm Þ m=c/(1-f).在()式兩邊同減上式 m=c+fm 得 (Yt-m)=f(Yt-1-m) +et.記Wt=(Yt-m), 它是Yt的中心化序列! 它滿足中心化的AR(1)模型 Wt=fWt-1 +et. ()以Wt-k(k³1)同乘上式兩

20、邊, 然后再同取均值得gk=EWtWt-k=fEWt-1Wt-k+EetWt-k=fgk-1, k=1,2, ()其中用到et與Wt-k獨(dú)立,和Eet=0,即EetWt-k=EetEWt-k=0.由此可得 gk=fkg0.將Wt=fWt-1 +et兩邊平方后, 再同取均值得g0=EWt2=f2EWt-1 2+Eet2+2fEWt-1et=f2g0+s2Þg0=s2/(1-f2).記L為(一步)延遲算子(運(yùn)算), 即Let=et-1,L2Wt=Wt-2,等等. 于是, Wt=fWt-1 +et 可寫成Wt=fLWt +et 或者 Wt-fLWt =et 或者 (1-fL)Wt=et .

21、 ()對(duì)上式進(jìn)行形式上的代數(shù)運(yùn)算可得 Wt=(1-fL)-1et=åk=0¥fkLket=åk=0¥fket-k.其中 (1-fL)-1=åk=0¥fkLk Û (1-fL)åk=0¥fkLk=1.以上推演方法, 不僅簡(jiǎn)便, 而且能推廣到高階情況!* 高階推廣:Yt=c+f1Yt-1+fpYt-p +et , ()m=c+f1m+fpm,Wt=f1Wt-1+fpWt-p +et ,記, , .則 Wt=f1Wt-1+fpWt-p +et 等價(jià)于 Zt=AZt-1+U et . (*)于是, 以上對(duì)模型AR

22、(1)的推演步驟都無困難地推廣到以上p元一階AR模型. 唯一的差別就是要用到矩陣運(yùn)算. 例如, 類似于()式的解為 Zt=åk=0¥A kU et-k. (*)此時(shí)()式具有平穩(wěn)解的充分必要條件是: A 的本征值的模都小于1, r(A)<1. (對(duì)比 |f|<1, r(A)是A的譜半徑)我們所說的模型推演方法暫敘到此.* 二階AR模型:(見p64-66)(概述其難點(diǎn)所在)模型: Yt=c+f1Yt-1 +f2Yt-2+et, Wt=f1Wt-1 +f2Wt-2+et, ()依前所述, 只要求得()式的解, 就不難獲得AR(2)模型的個(gè)項(xiàng)特征量. 要獲得(3.4.

23、10)式的解,就等價(jià)于求Wt的()式中的系數(shù)yj(0£j<¥). 如上所述, 我們有兩種方法: 一是用()式反復(fù)迭法;(仿(3.4.2)式)一是算子的代數(shù)運(yùn)算法;(求二元一階AR模型的解)說實(shí)話,都不簡(jiǎn)單! 為什么? 請(qǐng)看若用()式反復(fù)迭法, 則有Wt=f1Wt-1 +f2Wt-2+et=et+f1(f1Wt-2 +f2Wt-3+et-1) +f2Wt-2 =et+f1et-1+(f12+f2)Wt-2+f1f2Wt-3=以下難于尋找 et-2, et-3,的系數(shù)的表示法. (難于尋找規(guī)律) 若用算子的代數(shù)運(yùn)算求解()式, 此時(shí) Zt=, A=,在用(*)式求Zt的表

24、達(dá)式時(shí), 要求出Ak(k=1,2,), 同樣難于尋找規(guī)律!究其根源在于: 此時(shí)()式可寫為Wt-f1Wt-1 -f2Wt-2=et, ()記 F(L)=1-f1L -f2L2, 則()式又可寫為 F(L)Wt=et, ()于是有解Wt=F-1(L)et=åj=0¥yjet-j (=Yt-m=Yt-cF-1(1)其中 F-1(L)=åi=0¥yiLj Û F(L)=åi=0¥yiLj=1式中的系數(shù)yj與F(x)=0的根有關(guān), 而且只有當(dāng) F(x)=0的根都在單位圓外, 即F(x)¹0,對(duì)|x|<1.()()式才

25、有平穩(wěn)解! 而且,一般難于給出yj的顯示表達(dá)式! 對(duì)Ak而言也如此!注意AR(1)時(shí)只有一個(gè)實(shí)根;AR(2)時(shí)可能有兩個(gè)不同的實(shí)根, 有一個(gè)的實(shí)的雙重根, 有兩個(gè)不同的但是共軛的復(fù)根.對(duì)于注重應(yīng)用者, 更關(guān)心自協(xié)方差函數(shù), 請(qǐng)看:將 Wt=f1Wt-1 +f2Wt-2+et 兩邊同乘 Wt-k , 再求均值可得EWtWt-k=f1EWt-1Wt-k+f2EWt-2Wt-k+EetWt-k 注意, 對(duì)于k³1時(shí), EetWt-k=EetEWt-k=0, 于是有 gk=f1gk-1 +f2gk-2, k³1, 或者 ()gk-f1gk-1 -f2gk-2=0, k³1

26、. ()當(dāng)k=0時(shí), 將Wt=f1Wt-1 +f2Wt-2+et 兩邊同乘Wt, 再求均值得EWtWt=f1EWt-1Wt+f2EWt-2Wt+EetWt =f1g1+f2g2+Eet(f1Wt-1 +f2Wt-2+et) =f1g1+f2g2+f1EetWt-1+f2EetWt-2+Eet2 (By EetWt-j=0,j³1)=f1g1+f2g2+s2. ()至此我們得到了()式和(3.4.25)式. 人們已注意到, (3.4.25)式也是二階差分方程, 也難得顯示解. 但是我們不關(guān)心它的解, 而關(guān)心g0,g1,g2和參數(shù)f1,f2,s2的相互依賴關(guān)系! 至于g3,g4, 它們被

27、 g0,g1,g2(或f1,f2,s2)唯一確定, 而且不被關(guān)注. 進(jìn)一步而言, (3.4.29)式和(3.4.25)式中取k=1,2就唯一確定了g0,g1,g2和參數(shù)f1,f2,s2的相互依賴關(guān)系! 現(xiàn)寫下這三個(gè)方程: g0=f1g1+f2g2+s2, g1=f1g0 +f2g1,g2=f1g1 +f2g0.將g0同除以上后兩式的 r1=f1+f2r1, ()r2=f1r1 +f2. ()由此不難解出r1,r2與f1,f2的關(guān)系.其實(shí),我們更關(guān)心f1,f2對(duì)r1,r2的依賴關(guān)系! 注意,()和(3.4.28)式聯(lián)合起來, 稱為(AR(2)的)Yule-Walker方程.* p階AR模型:(見

28、p66-68)模型: Yt=c+f1Yt-1 +fpYt-p+et, () 記Wt=Yt-m=Yt-c/(1-f1 -fp),Wt=f1Wt-1 +fpWt-p+et, ()Wt-f1Wt-1 -fpWt-p=et, F(L)Wt=et,F(L)=1-f1L -fpLp.平穩(wěn)條件: F(x)=0的根都在單位圓外, 即F(x)¹0,對(duì)|x|<1.()Y-W方程:rt=f1rt-1 +fprt-p, t=1,2, ()若記 f=(f1,f2,fp)t, r=(r1,r2,rp)t, 再記 R=則 由()式可得 Rf=r. ()有解f=R-1r. ()* 偏相關(guān)函數(shù): 若將()中的p

29、用k代替, 并記相應(yīng)的記號(hào)為f(k)=(f1k,f2k,fkk)t, r(k)=(r1,r2,rk)t和R(k),則有f(k)=R-1(k)r(k), k=1,2, ()* 序列fkk:k=1,2,為偏相關(guān)函數(shù)列.請(qǐng)注意, rk是Wt+k和 Wt的相關(guān)系數(shù),而fkk是在已知Wt+1,Wt+2,Wt+k-1條件下, Wt+k和 Wt的相關(guān)系數(shù). 粗略地說, 在扣除Wt+1,Wt+2,Wt+k-1的影響后, Wt+k和 Wt的相關(guān)系數(shù).可以證明, 對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列而言, 偏相關(guān)函數(shù)列在p以后都為零, 也稱截尾, 即fkk:k=1,2,=f11,f22,fpp,0,0,. (*)3.5自回歸滑

30、動(dòng)平均過程:(ARMA(p,q)討論ARMA(p,q)模型時(shí), 用多元化的方法并不方便, 常用的方法是延遲算子的方法. 具體如下:* ARMA(p,q)模型:Yt=c+f1Yt-1+fpYt-p+q1et-1+qqet-q+et. ()Yt-f1Yt-1-fpYt-p=c+et+q1et-1+qqet-q記F(L)= 1-f1L-fpLp ; Q(L)= 1+q1L+qqLq ;于是()式可寫成 F(L)Yt=c+Q(L)et, ()上式有解 Yt=F-1(L)c+F-1(L)Q(L)et, =m+y(L)et. 其中m=c/(1-f1-fp) (書中有此式,但無編號(hào))=cF-1(1)y(L)

31、et=F-1(L)Q(L)et=(åk=0¥jkLk)Q(L)et =åk=0¥ykLket=åk=0¥yket-k=Wt.于是()(或(3.5.2)有解Yt=m+Wt=m+åk=0¥yket-k. (*)中心化的ARMA模型為F(L)Wt=Q(L)et, ()Wt=F-1(L)Q(L)et.關(guān)于ARMA(p,q)模型的特性, 能說些什么呢 ? 它的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都不截尾, 可以說, 正因?yàn)槎疾唤匚?就不得不考慮引入ARMA(p,q)模型.當(dāng)然也不是無條件的, 細(xì)究起來要讀第5章. 在此, 我們僅介紹以下性

32、質(zhì).* ()有平穩(wěn)解的條件:F(x)=0的根都在單位圓外, 即F(x)¹0,對(duì)|x|<1.()* 自協(xié)方差序列的尾部特征: 將()兩邊同乘Wt-k(k>q), 再取均值得E(Wt-f1Wt-1-fpWt-p)Wt-k=E(et+q1et-1+qqet-q)Wt-k即有g(shù)t-f1gt-1 +fpgt-p=0, t=q+1,q+2, ()很有趣, 雖然ARMA(p,q)序列的自協(xié)方差序列不截尾, 但是它的線性組和序列g(shù)t-f1gt-1 +fpgt-p確在q步后截尾. 由此既可給出此模型的判別依據(jù), 又可找到g0,g1 ,gp+q和參數(shù)f1,f2,fp,q1,q2,qq,s2的

33、依賴關(guān)系.(見第5章)3.6自協(xié)方差生成函數(shù)(譜表示)(移至第6章)3.7可逆性:* 先舉兩個(gè)例子,首先看Wt=et+(1/2)et-1 (*)其中et為正態(tài)白噪聲,即 etN(0,s2). 于是有EWt=0, EWt2=s2+(1/2)2s2=(1+(1/4)s2=(5/4)s2,g1=EWtWt-1=E(et+(1/2)et-1)(et-1+(1/2)et-2)=(1/2)s2.再考查另一模型Zt=ht+2ht-1, (*)其中ht為正態(tài)白噪聲,即 htN(0,s2/4), 即,Eht2=sh2=s2/4, 于是有EZt=0, EZt2=sh2+4sh2=5sh2=(5/4)s2,g1=EZtZt-1=E(