2022年2022年高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計專題復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高考復(fù)習(xí)專題之：概率與統(tǒng)計一，概率：隨機大事A 的概率是頻率的穩(wěn)固值,反之,頻率是概率的近似值.可編輯資料 - - - 歡迎下載隨機大事A 的概率 0P A1 ,其中當(dāng)P A1時稱為必定大事. 當(dāng)P A0時稱為不行能大事PA=0 .可編輯資料 - - - 歡迎下載注：求隨機概率的三種方法：（一）枚舉法例 1 如圖 1 所示, 有一電路AB 是由圖示的開關(guān)把握,閉合 a,b,c,d,e 五個開關(guān)中的任意兩個開關(guān),使電路形成通路就使電路形成通路的概率是分析：要運算使電路形成通路的概率,列舉出閉合五個開關(guān)中的任意兩個可能顯現(xiàn)的結(jié)果總數(shù),從中找出能使電路形成通路的結(jié)果數(shù),依據(jù)概率的意義

2、運算即可.解：閉合五個開關(guān)中的兩個,可能顯現(xiàn)的結(jié)果數(shù)有10 種,分別是ab，ac ，ad，ae，bc， bd，be，cd，ce ，de,可編輯資料 - - - 歡迎下載其中能形成通路的有6 種,所以 p 通路 =6 = 3可編輯資料 - - - 歡迎下載105評注 : 枚舉法是求概率的一種重要方法, 這種方法一般應(yīng)用于可能顯現(xiàn)的結(jié)果比較少的大事的概率運算.（二）樹形圖法例 2 小剛和小明兩位同學(xué)玩一種玩耍玩耍規(guī)章為：兩人各執(zhí)“象，虎，鼠”三張牌,同時各出一張牌定勝敗,其中象勝虎，虎勝鼠，鼠勝象,如兩人所出牌相同,就為平局例如,小剛出象牌,小明出虎牌,就小剛勝.又如,兩人同時出象牌,就兩人平局假

3、如用A，B，C 分別表示小剛的象，虎，鼠三張牌,用A1，B1，C1 分別表示小明的象，虎，鼠三張牌,那么一次出牌小剛勝小明的概率是多少？分析：為了清楚地看出小亮勝小剛的概率,可用樹狀圖列出全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果,并從中找出小剛勝小明可能顯現(xiàn)的結(jié)果數(shù).解：畫樹狀圖如圖樹狀圖.由樹狀圖（樹形圖）或列表可知,可能顯現(xiàn)的結(jié)果有 9 種,而且每種結(jié)果顯現(xiàn)的可能性相同,其中小剛勝小明的結(jié)果有3 種所以 P（一次出牌小剛勝小明）= 13點評 : 當(dāng)一大事要涉及兩個或更多的因素時,為了不重不漏地列出全部可能的結(jié)果,通過畫樹形圖的方法來運算概率（三）列表法例 3 將圖中的三張撲克牌背面朝上放在桌面上,從中隨機摸出兩

4、張,并用這兩張撲克牌上的數(shù)字組成一個兩位數(shù)請你用畫樹形（狀）圖或列表的方法求：（1）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率.（2）組成的兩位數(shù)是6 的倍數(shù)的概率分析： 此題可通過列表的方法,列出全部可能組成的兩位數(shù)的可能情形,然后再找出組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的可能情形和組成兩位數(shù)是 6 的倍數(shù)的可能情形.可編輯資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：列的表格如下： 依據(jù)表格可得兩位數(shù)有：23,24,32,34,42,43所可編輯資料 - - - 歡迎下載以（ 1）兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為23（ 2）兩位數(shù)是6 的倍數(shù)的概率為1 3可編輯資料 - - - 歡迎下載點評： 當(dāng)一大事要涉及兩個或更多的因素時,為了不

5、重不漏地列出全部可能的結(jié)果,通過畫樹形圖的方法來運算概率2. 等可能大事的概率（古典概率）：PA=m .n3，互斥大事：（ A，B 互斥,即大事A，B 不行能同時發(fā)生）.運算公式：PA+B PA+PB .4，對立大事 ：（ A，B 對立,即大事A，B 不行能同時發(fā)生,但A，B 中必定有一個發(fā)生）.運算公式是：P（ A） + PB . P A =1 PA .5，獨立大事： （大事 A，B 的發(fā)生相互獨立,互不影響） PA.B PA. PB.提示：（ 1）假如大事 A，B 獨立,那么大事 A 與 B ， A 與 B 及大事 A 與 B 也都是獨立大事.（ 2）假如大事 A， B相互獨立,那么大事

6、A，B 至少有一個不發(fā)生的概率是 1 P（ A B） 1 PAPB .（ 3）假如大事 A， B 相互獨立,那么大事 A，B 至少有一個發(fā)生的概率是 1 P（ A B ） 1 P A P B .可編輯資料 - - - 歡迎下載6，獨立大事重復(fù)試驗：大事 A 在 n 次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生了k 次的概率P kC k p k 1p n k 是二項可編輯資料 - - - 歡迎下載nn可編輯資料 - - - 歡迎下載開放式 1pp n的第 k+1 項 ,其中 p 為在一次獨立重復(fù)試驗中大事A 發(fā)生的概率.可編輯資料 - - - 歡迎下載提示： （ 1）探求一個大事發(fā)生的概率,關(guān)鍵是分清大事的性質(zhì).在

7、求解過程中常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解 分類或分步 轉(zhuǎn)化思想處理,把所求的大事：轉(zhuǎn)化為等可能大事的概率 常常接受排列組合的學(xué)問 .轉(zhuǎn)化為如干個互斥大事中有一個發(fā)生的概率.利用對立大事的概率,轉(zhuǎn)化為相互獨立大事同時發(fā)生的概率.看作某一大事在n 次試驗中恰有k 次發(fā)生的概率,但要留意公式的使用條件.（ 2）大事互斥是大事獨立的必要非充分條件,反之, 大事對立是大事互斥的充分非必要條件.（ 3） 概率問題的解題規(guī)范：先設(shè)大事A=“”,B= “”.列式運算.作答.二，隨機變量.1. 隨機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是不確定的. 試驗假如中意下述條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行.試驗的全部可能結(jié)果是明確可知的,并且不

8、止一個. 每次試驗總是恰好顯現(xiàn)這些結(jié)果中的一個,但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會顯現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.2. 離散型隨機變量：假如對于隨機變量可能取的值,可以按確定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨可編輯資料 - - - 歡迎下載機變量 . 如 是一個隨機變量,a, b 是常數(shù) . 就ab 也是一個隨機變量. 一般地,如 是隨機變量,f x 是可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù),就f 也是隨機變量 . 也就是說,隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載設(shè)離散型隨機變

9、量 可能取的值為：x1 ,x 2 ,x i ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 取每一個值x 1 i1,2, 的概率 Px i p i ,就表稱為隨機變量 的概率分布,簡稱 的分布列 .可編輯資料 - - - 歡迎下載x1x 2x iPp1p 2p i可編輯資料 - - - 歡迎下載有性質(zhì)：p10, i1,2,. p1p 2pi1.可編輯資料 - - - 歡迎下載留意： 如隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量. 例如：0,5 即可以取 0可編輯資料 - - - 歡迎下載5 之間的一切數(shù),包括整數(shù)，小數(shù)，無理數(shù).學(xué)習(xí)必備歡迎下載可編輯資料

10、 - - - 歡迎下載k3. 二項分布 ：假如在一次試驗中某大事發(fā)生的概率是P,那么在n 次獨立重復(fù)試驗中這個大事恰好發(fā)生k 次可編輯資料 - - - 歡迎下載的概率是：PkC k pk q n 其中 k0,1, n, q1p 于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的可編輯資料 - - - 歡迎下載n隨機變量 聽從二項分布,記作 B（ n·p）,其中n, p 為參數(shù),并記C k p k qn kbk; np .可編輯資料 - - - 歡迎下載n二項分布的判定與應(yīng)用.二項分布 ,實際是對n 次獨立重復(fù)試驗. 關(guān)鍵是看某一大事是否是進行n 次獨立重復(fù),且每次試驗只有兩種結(jié)果,假如不中

11、意此兩條件,隨機變量就不聽從二項分布. 當(dāng)隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小,而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果,此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗,利用二項分布求其分布列.可編輯資料 - - - 歡迎下載4. 幾何分布 ：“k ”表示在第k 次獨立重復(fù)試驗時,大事第一次發(fā)生, 假如把 k 次試驗時大事A 發(fā)生記為A k ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載事 A 不發(fā)生記為A k , PA k q ,那么P kPA 1 A 2A k 1A k . 依據(jù)相互獨立大事的概率乘法分式：可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載P kP

12、A 1P A 2 PA k1 PA k q k 1 p k1,2,3, 于是得到隨機變量的概率分布列.可編輯資料 - - - 歡迎下載123k可編輯資料 - - - 歡迎下載Pqqpq 2 pq k 1 p可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載我們稱 聽從幾何分布,并記gk, pq k 1 p ,其中 q1p.k1,2,3可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載5. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N 件,其中有M（M N）件次品,今抽取n1nN 件,就其中的次品數(shù)是可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載一離散型隨機變量,分布

13、列為P kkn kCCMN M0kM,0nkNM . 分子是從M件次品中取k 件,從可編輯資料 - - - 歡迎下載Cn NmN-M 件正品中取n-k 件的取法數(shù),假如規(guī)定m r 時 C r0 ,就 k 的范疇可以寫為k=0 , 1, n. 可編輯資料 - - - 歡迎下載超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a 件次品， b 件正品組成,今抽取n 件（ 1 n a+b）,就次品數(shù)的可編輯資料 - - - 歡迎下載分布列為P kkn kC a Cbnk0,1, n. .可編輯資料 - - - 歡迎下載C a b超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a 件次品， b 件正品組成,不放回抽取n 件時

14、,其中次品數(shù)聽從超幾何分布. 如放回式抽取,就可編輯資料 - - - 歡迎下載其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把 ab 個產(chǎn)品編號, 就抽取 n 次共有 ab n 個可能結(jié)果, 等可能： k 含可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載nC k ak b nk 個結(jié)果,故P kkkn kC n a bnkC n ak 1an k, k0,1,2, n ,即 Bna . 我們先為 k 個次可編輯資料 - - - 歡迎下載abababab可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載品選定位置,共n 種選法.然后每個次品位置有a 種選法,每個正品位置有b 種選

15、法 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載C k很大而抽取個數(shù)不多時,P kPk ,因此二項分布可作為超幾何分布的近似,無放回抽樣可近似看作放可編輯資料 - - - 歡迎下載回抽樣 .三，數(shù)學(xué)期望與方差.1. 期望的含義 ：一般地,如離散型隨機變量 的概率分布為x1x 2xi可編輯資料 - - - 歡迎下載P就稱 Ex1 p1p1x2 p2p 2xn pnpi為 的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)，均值. 數(shù)學(xué)期望又簡稱期望. 數(shù)學(xué)期望反映了離散型可編輯資料 - - - 歡迎下載隨機變量取值的平均水平.學(xué)習(xí)必備歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 -

16、 - - 歡迎下載2. 隨機變量ab 的數(shù)學(xué)期望：EEabaEb可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a0 時,Ebb ,即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a1 時, EbEb ,即隨機變量與常數(shù)之和的期望等于 的期望與這個常數(shù)的和.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載01Pqp當(dāng) b0 時,Ea aE,即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載單點分布：Ec1c 其分布列為：P1c .可

17、編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載兩點分布：E0q1pp ,其分布列為：（p + q = 1）可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載二項分布 ： Ekn.k. npkk .q n knp其分布列為可編輯資料 - - - 歡迎下載Bn, p . （ P 為發(fā)生的概率）幾何分布 ： E1其分布列為 qk , p . （ P 為發(fā)生的概率）p可編輯資料 - - - 歡迎下載3. 方差，標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機變量的分布列為P x k p k k1,2, 時,就稱可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載D x1E 2 px

18、2E 2 p xnE 2 p為 的方差 .明顯 D0 ,故D.為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差. 隨機可編輯資料 - - - 歡迎下載12n變量 的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量 取值的穩(wěn)固與波動,集中與離散的程度. D越小,穩(wěn)定性越高,波 動越小 .4. 方差的性質(zhì) .可編輯資料 - - - 歡迎下載隨機變量ab 的方差 D D aba 2D. （a，b 均為常數(shù)）可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載單點分布：D0其分布列為P1p01可編輯資料 - - - 歡迎下載兩點分布：D二項分布：D幾何分布：Dpqnpq q2其分布列為：（p + q = 1）Pqp可編輯資料 - - -

19、歡迎下載p5. 期望與方差的關(guān)系.假如 E和 E都存在,就E EE可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載設(shè) 和是相互獨立的兩個隨機變量,就EEE, DDD可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載期望與方差的轉(zhuǎn)化：DE 2 E 2 EE E E E （由于 E為一常數(shù)）EE0 .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載四，正態(tài)分布. （基本不列入考試范疇）1. 密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量 ,位于 x 軸上方, 落在任一區(qū)間 a, b 內(nèi)的概率等于它與x 軸.可編輯資料 - - - 歡迎下載直線 xa 與直線 x

20、b 所圍成的曲邊梯形的面積yy=f x可編輯資料 - - - 歡迎下載（如圖陰影部分）的曲線叫 的密度曲線,以其作為可編輯資料 - - - 歡迎下載圖像的函數(shù)f x 叫做 的密度函數(shù),由于“x, ”x可編輯資料 - - - 歡迎下載是必定大事,故密度曲線與x 軸所夾部分面積等于1.ab可編輯資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載 x 22.正態(tài)分布與正態(tài)曲線：假如隨機變量 的概率密度為：f x1e2 2. （ xR,為常數(shù),且0 ）,2稱 聽從參數(shù)為,的正態(tài)分布, 用 N ,2 表示 . f x 的表達式可簡記為N ,2 ,它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線 . 正態(tài)分布的期望與方差：如 N ,2 ,就 的期望與方差分別為：E, D2. 正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x 軸上方,與x 軸不相交 .曲線關(guān)于直線x對稱 .當(dāng) x時曲線處于最高點,當(dāng)x 向左，向右遠離時,曲線不斷地降低,顯現(xiàn)出“中間高，兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng) x 時,曲線上升.當(dāng)x 時,曲線下降,并且當(dāng)曲線向左，向右兩邊無限延長時,以x 軸為漸近線,向 x 軸無限的靠近 .當(dāng)確定時,曲線的形狀由確定,越大,曲線越“矮胖”. 表示總體的分布越分散.越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中.2x可編輯資料 - - - 歡迎下載3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：假如隨機變量 的概率函數(shù)為 x1e2 2x ,就稱 聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即可編輯資