111變化率問題

1、1.1.1變化率問題變化率問題高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修2-2 第三章第三章 導數(shù)及其應用導數(shù)及其應用創(chuàng)設情景創(chuàng)設情景 一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體求物體在任意時刻的速度與加速度等在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。四、求長度、面積、體積和重心等。 導數(shù)導數(shù)是微積分的是微積分的核心核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具?；炻?、最大（小）值等問題最一般

2、、最有效的工具。 導數(shù)導數(shù)研究的問題即研究的問題即變化率問題變化率問題：研究某個變量相對：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度于另一個變量變化的快慢程度 為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了數(shù)學中引入了函數(shù)函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分微積分，微積分的創(chuàng)立與自然科學中四類問題的處理直接相關：微積分的創(chuàng)立與自然科學中四類問題的處理直接相關：氣氣球球膨膨脹脹率率問問題題1 ,):(:,334rrVdmrLV 之間的函數(shù)關系是位單與半徑單位氣球的體積我們知道 .,343VVrVr 那么的函數(shù)表示

3、為體積如果把半徑 在吹氣球的過程中在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)從數(shù)學的角度學的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢? ,.,cmrrLV6200110 氣球半徑增加了時增加到從當空氣容積 100.62/.10rrdm L氣球的平均膨脹率為 ,.,dmrrLL1601221 增加了氣球半徑時增加到當空氣容量從類似地 210.16/.21rrdm L氣球的平均膨脹率為.,脹率逐漸變小了它的平均膨隨著氣球體積逐漸變大可以看出?,均膨脹率是多少均膨脹率是多少氣球的平氣球的平時時增加

4、到增加到當空氣的容量從當空氣的容量從思考思考21VV 2121r Vr VrVVV高臺跳水高臺跳水問題問題2 .:,1056942 ttthstmh存在函數(shù)關系存在函數(shù)關系單位單位與起跳后的時間與起跳后的時間單位單位面的高度面的高度運動員相對于水運動員相對于水在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)那么述其運動狀態(tài)描時間內(nèi)的平均速度如果我們用運動員某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 這段時間里在 ./.,smhhvt28121221 這段時間里在播放暫停停止2121hththvttt 65049,:1?2?t探究計算運動員在這段時間里的平均速度 并思考下面的問題運

5、動員在這段時間里是靜止的嗎你認為用平均速度描述運動員運動狀態(tài)有什么問題嗎探究過程：如圖是函數(shù)探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，的圖像，結合圖形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv雖然運動員在雖然運動員在 這段時間里的平均這段時間里的平均速度為速度為 ，但實際情況是運動員仍然，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)能精確描述運動員的運動狀態(tài)49650 t)/(0msthO65496598t 2121)()(xx

6、xfxf在例在例2中：對于中：對于函數(shù)函數(shù)h=-4.9t2+6.5t+10計算運動員在計算運動員在0s到到0.5s內(nèi)的內(nèi)的 平均速度平均速度)/(05. 405 . 0) 0( h) 5 . 0( hsmv在例在例1中：對于函數(shù)中：對于函數(shù) 當空氣容量當空氣容量從從V1增加到增加到V2時時,氣球的氣球的 平均膨脹率平均膨脹率)/()()(1212ldmvvvrvr一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間）在區(qū)間x1，x2上的上的 平均變化率平均變化率343vr 2121)()(xxxfxf1212xxxxxx，即表示習慣上用)()()()(1212xfxfyxfxfy，即表示用所以，平均變化率可

7、以表示為：所以，平均變化率可以表示為：xxfxxf)()(111212）（）（xxxfxfxy平均變化率平均變化率: 式子式子 2121()()f xf xxx令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,則則2121()() y f xf xxxx稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)從從x1到到 x2的平均變化率的平均變化率.平均變化率的定義：.,相乘相乘與與而不是而不是是一個整體符號是一個整體符號xx11221,;,.xxxxxyf xf x 可把看作是相對于的一個 增量 可用代替類似地,.yx于是 平均變化率可表示為1、式子中、式子中x 、 y 的值可正、可負，但的值可正、可

8、負，但 的的x值不能為值不能為0， y 的值可以為的值可以為0 y x2、若函數(shù)、若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時，為常函數(shù)時， y =0 理解理解211121()()( )() f xf xf xxf xxxx3、變式、變式:2121()() y f xf xxxx 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率 表示什么表示什么?121()()f xf xxx2xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直線AB的斜率y=f (x)思考 ?,1 . 1 . 11212表示什么變化率平均圖的圖象觀察函數(shù)思考xxxfxfxyxfOxy 1xf 2xf xf

9、y 12xfxf 12xx 1x2x111 .圖圖直線直線AB的斜率的斜率AB思考例例 (1) 計算函數(shù)計算函數(shù) f (x) = 2 x +1在區(qū)間在區(qū)間 3 , 1上的平均變化率上的平均變化率 ；(2) 求函數(shù)求函數(shù)f (x) = x2 +1的平均變化率。的平均變化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 題型一：求函數(shù)的平均變化率題型一：求函數(shù)的平均變化率練習1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+x

10、,-2+y),則y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率. 2.t2質(zhì)點運動規(guī)律s=t +3,則在時間(3,3+ t)中相應的平均速度為( )9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tAx+2x0小結：小結： 1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率l2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)計算平均變化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx（1）1, 3;（2）1, 2;（3）1, 1.1;（4）1, 1.001; （5）1, 1.0001; 一一運動運動質(zhì)點的位移質(zhì)點的位移S與時間與時間t滿足滿足S(t)=t2,分別計算分別計算S(t)在下列區(qū)間上的平均變化率在下列區(qū)間上的平均變化率.(位移單位為位移單位為m,時間單位為時間單位為s) 43