111變化率問題

1、1.1.1變化率問題變化率問題高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-2 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景 一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等在任意時(shí)刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。四、求長度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是微積分的是微積分的核心核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具?；炻?、最大（?。┲档葐栴}最一般

2、、最有效的工具。 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)研究的問題即研究的問題即變化率問題變化率問題：研究某個(gè)變量相對(duì)：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度于另一個(gè)變量變化的快慢程度 為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象，在為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分微積分，微積分的創(chuàng)立與自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：微積分的創(chuàng)立與自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：氣氣球球膨膨脹脹率率問問題題1 ,):(:,334rrVdmrLV 之間的函數(shù)關(guān)系是位單與半徑單位氣球的體積我們知道 .,343VVrVr 那么的函數(shù)表示

3、為體積如果把半徑 在吹氣球的過程中在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)從數(shù)學(xué)的角度學(xué)的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢? ,.,cmrrLV6200110 氣球半徑增加了時(shí)增加到從當(dāng)空氣容積 100.62/.10rrdm L氣球的平均膨脹率為 ,.,dmrrLL1601221 增加了氣球半徑時(shí)增加到當(dāng)空氣容量從類似地 210.16/.21rrdm L氣球的平均膨脹率為.,脹率逐漸變小了它的平均膨隨著氣球體積逐漸變大可以看出?,均膨脹率是多少均膨脹率是多少氣球的平氣球的平時(shí)時(shí)增加

4、到增加到當(dāng)空氣的容量從當(dāng)空氣的容量從思考思考21VV 2121r Vr VrVVV高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水問題問題2 .:,1056942 ttthstmh存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系單位單位與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間單位單位面的高度面的高度運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)那么述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描時(shí)間內(nèi)的平均速度如果我們用運(yùn)動(dòng)員某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 這段時(shí)間里在 ./.,smhhvt28121221 這段時(shí)間里在播放暫停停止2121hththvttt 65049,:1?2?t探究計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度 并思考下面的問題運(yùn)

5、動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎探究過程：如圖是函數(shù)探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，的圖像，結(jié)合圖形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv雖然運(yùn)動(dòng)員在雖然運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均這段時(shí)間里的平均速度為速度為 ，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)49650 t)/(0msthO65496598t 2121)()(xx

6、xfxf在例在例2中：對(duì)于中：對(duì)于函數(shù)函數(shù)h=-4.9t2+6.5t+10計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0s到到0.5s內(nèi)的內(nèi)的 平均速度平均速度)/(05. 405 . 0) 0( h) 5 . 0( hsmv在例在例1中：對(duì)于函數(shù)中：對(duì)于函數(shù) 當(dāng)空氣容量當(dāng)空氣容量從從V1增加到增加到V2時(shí)時(shí),氣球的氣球的 平均膨脹率平均膨脹率)/()()(1212ldmvvvrvr一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間）在區(qū)間x1，x2上的上的 平均變化率平均變化率343vr 2121)()(xxxfxf1212xxxxxx，即表示習(xí)慣上用)()()()(1212xfxfyxfxfy，即表示用所以，平均變化率可

7、以表示為：所以，平均變化率可以表示為：xxfxxf)()(111212）（）（xxxfxfxy平均變化率平均變化率: 式子式子 2121()()f xf xxx令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,則則2121()() y f xf xxxx稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)從從x1到到 x2的平均變化率的平均變化率.平均變化率的定義：.,相乘相乘與與而不是而不是是一個(gè)整體符號(hào)是一個(gè)整體符號(hào)xx11221,;,.xxxxxyf xf x 可把看作是相對(duì)于的一個(gè) 增量 可用代替類似地,.yx于是 平均變化率可表示為1、式子中、式子中x 、 y 的值可正、可負(fù)，但的值可正、可

8、負(fù)，但 的的x值不能為值不能為0， y 的值可以為的值可以為0 y x2、若函數(shù)、若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時(shí)，為常函數(shù)時(shí)， y =0 理解理解211121()()( )() f xf xf xxf xxxx3、變式、變式:2121()() y f xf xxxx 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率 表示什么表示什么?121()()f xf xxx2xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直線AB的斜率y=f (x)思考 ?,1 . 1 . 11212表示什么變化率平均圖的圖象觀察函數(shù)思考xxxfxfxyxfOxy 1xf 2xf xf

9、y 12xfxf 12xx 1x2x111 .圖圖直線直線AB的斜率的斜率AB思考例例 (1) 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù) f (x) = 2 x +1在區(qū)間在區(qū)間 3 , 1上的平均變化率上的平均變化率 ；(2) 求函數(shù)求函數(shù)f (x) = x2 +1的平均變化率。的平均變化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 題型一：求函數(shù)的平均變化率題型一：求函數(shù)的平均變化率練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x

10、,-2+y),則y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率. 2.t2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=t +3,則在時(shí)間(3,3+ t)中相應(yīng)的平均速度為( )9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tAx+2x0小結(jié)：小結(jié)： 1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率l2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)計(jì)算平均變化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx（1）1, 3;（2）1, 2;（3）1, 1.1;（4）1, 1.001; （5）1, 1.0001; 一一運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移質(zhì)點(diǎn)的位移S與時(shí)間與時(shí)間t滿足滿足S(t)=t2,分別計(jì)算分別計(jì)算S(t)在下列區(qū)間上的平均變化率在下列區(qū)間上的平均變化率.(位移單位為位移單位為m,時(shí)間單位為時(shí)間單位為s) 43