第三章空間向量

1、高中數學選修1-1§3.1.1空間向量及其運算學習目標 1. 理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2. 會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；3. 能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題學習過程 一、（預習教材P84 P86，找出疑惑之處）復習1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或長度）； 叫零向量，記著 ； 叫單位向量. 叫相反向量， 的相反向量記著 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三種方法. 復習2：平面向量有加減以及數乘向量運算：1. 向量的加法和減法的運算法則有 法則 和 法則. 2. 實數與向量的積：

2、實數與向量a的積是一個 量，記作 ，其長度和方向規(guī)定如下： (1)|a| . (2)當0時，a與A. ；當0時，a與A. ；當0時，a .3. 向量加法和數乘向量，以下運算律成立嗎？加法交換律：abba 加法結合律：(ab)ca（bc）數乘分配律：(ab)ab二、新課導學探究任務一：空間向量的相關概念問題:什么叫空間向量？空間向量中有零向量，單位向量，相等向量嗎？空間向量如何表示？新知：空間向量的加法和減法運算：空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內，變?yōu)閮蓚€平面向量的加法和減法運算，例如右圖中， ， ，試試：1. 分別用平行四邊形法則和三角形法則求.2. 點C在線段AB上，且, 則 , .反

3、思：空間向量加法與數乘向量有如下運算律嗎？1 法交換律：A. + B. = B. + a； 加法結合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；數乘分配律：(A. + b) =A. +b典型例題例1 已知平行六面體（如圖），化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量： 變式：在上圖中，用表示和.小結：空間向量加法的運算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量例2 化簡下列各式：1 ; （3） .變式：化簡下列各式： ; ; .小結：化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，

4、遇到減法既可轉化成加法，也可按減法法則進行運算，加法和減法可以轉化. 練1. 已知平行六面體, M為AC與BD的交點，化簡下列表達式： ; ; .三、學習小結1. 空間向量基本概念；2. 空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律 當堂檢測：1. 下列說法中正確的是（ ）A. 若=，則，的長度相同，方向相反或相同;B. 若與是相反向量，則=; C. 空間向量的減法滿足結合律;D. 在四邊形ABCD中，一定有.2. 長方體中，化簡= 3. 已知向量，是兩個非零向量，是與，同方向的單位向量，那么下列各式正確的是（ ）A. B. 或 C. D. =4. 在四邊形ABCD中，若,則四邊形是（ ）A.

5、矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四邊形5. 下列說法正確的是（ ）A. 零向量沒有方向 B. 空間向量不可以平行移動C. 如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D. 同向且等長的有向線段表示同一向量§3.1.2 空間向量的數乘運算（一）學習目標 1. 掌握空間向量的數乘運算律，能進行簡單的代數式化簡；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 3. 能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題一、（預習教材P86 P87，找出疑惑之處）復習1：化簡：1 5（）+4（）； .復習2：在平面上，什么叫做兩個向量平行？在平面上有兩個向量， 若是非零向量，則與

6、平行的充要條件是 二、新課導學探究任務一：空間向量的共線問題：空間任意兩個向量有幾種位置關系？如何判定它們的位置關系？新知：空間向量的共線：1. 如果表示空間向量的 所在的直線互相 或 ，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量. 2. 空間向量共線：定理：對空間任意兩個向量（）， 的充要條件是存在唯一實數，使得 推論：如圖，l為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，對空間的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是 試試：已知 ，求證: A,B,C三點共線. 反思：充分理解兩個向量共線向量的充要條件中的，注意零向量與任何向量共線.典型例題例1 已知直線AB，點O是直線AB外一點，若，且x+y1，試判

7、斷A,B,P三點是否共線？變式：已知A,B,P三點共線，點O是直線AB外一點，若，那么t 例2 已知平行六面體，點M是棱AA的中點，點G在對角線AC上，且CG:GA=2:1,設=，試用向量表示向量.變式1：已知長方體，M是對角線AC中點，化簡下列表達式： ; 變式2：P89 第3題小結：空間向量的化簡與平面向量的化簡一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點，并且要注意向量的方向. 練1. 下列說法正確的是（ ）A. 向量與非零向量共線，與共線，則與 共線；B. 任意兩個共線向量不一定是共線向量；C. 任意兩個共線向量相等；D. 若向量與共線，則. 2. 已知，若，求實數 三、學習小結

8、1. 空間向量的數乘運算法則及它們的運算律；2. 空間兩個向量共線的充要條件及推論. 當堂檢測：1. 下列說法正確的是（ ）A.與非零向量共線,與共線，則與共線B. 任意兩個相等向量不一定共線C. 任意兩個共線向量相等 D. 若向量與共線，則2. 正方體中，點E是上底面的中心，若, 則x ，y ，z . 3. 若點P是線段AB的中點，點O在直線AB外，則 + .4. 平行六面體, O為AC與BD的交點,則 5. 已知平行六面體，M是AC與BD交點，若，則與相等的向量是（ ）A. ； B. ； C. ； D. . §3.1.2 空間向量的數乘運算（二）學習目標 1. 掌握空間向量的數乘

9、運算律，能進行簡單的代數式化簡；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 3. 能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題一、（預習教材P86 P87，找出疑惑之處）復習1：什么叫空間向量共線？空間兩個向量， 若是非零向量，則與平行的充要條件是 復習2：已知直線AB，點O是直線AB外一點，若，試判斷A,B,P三點是否共線？二、 學習探究探究任務一：空間向量的共面問題：空間任意兩個向量不共線的兩個向量有怎樣的位置關系？空間三個向量又有怎樣的位置關系？ 1、新知：共面向量： 同一平面的向量. 2、 空間向量共面：定理：對空間兩個不共線向量，向量與向量共面的充要條件是存在 ，

10、 使得 .推論：空間一點P與不在同一直線上的三點A,B,C共面的充要條件是：2 存在 ，使 3 對空間任意一點O，有 試試：若空間任意一點O和不共線的三點A,B,C滿足關系式,則點P與 A,B,C共面嗎？反思：若空間任意一點O和不共線的三點A,B,C滿足關系式,且點P與 A,B,C共面，則 . 典型例題例1 下列等式中，使M,A,B,C四點共面的個數是（ ） .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4變式：已知A,B,C三點不共線，O為平面ABC外一點，若向量則P,A,B,C四點共面的條件是 例2 課本P88例1變式：已知空間四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D不共面，E,F,G,H分別是AB

11、,BC,CD,AD的中點，求證：E,F,G,H四點共面.小結：空間向量的化簡與平面向量的化簡一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點，并且要注意向量的方向. 練習. 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，試判斷：點與是否一定共面？、三、學習小結1. 空間向量的數乘運算法則及它們的運算律；2. 空間兩個向量共線的充要條件及推論. 當堂檢測：1. 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A. 有相同起點的向量 B等長向量 C共面向量 D不共面向量.2. 在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向

12、量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為pxaybzc其中正確命題的個數為 （ ）.A0 B.1 C. 2 D. 3 3. 若，若，求實數. 4.已知兩個非零向量不共線, . 求證：共面§3.1.3空間向量的數量積運算（1）學習目標 1. 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2. 掌握兩個向量的數量積的計算方法，并能利用兩個向量的數量積解決立體幾何中的一些簡單問題一、（預習教材P90 P92，找出疑惑之處）復習1：什么是平面向量與的數量積？ 復習2：在邊長為1的正三角形ABC中，求.二、學習探究探究任務一：空間向量的數量積

13、定義和性質 問題：在幾何中，夾角與長度是兩個最基本的幾何量，能否用向量的知識解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長度問題？ 新知：1) 兩個向量的夾角的定義：已知兩非零向量，在空間 一點，作，則叫做向量與的夾角，記作 .試試：1 范圍: =0時, ;=時, 成立嗎？ ，則稱與互相垂直，記作 .2) 向量的數量積：已知向量，則 叫做的數量積，記作，即 .規(guī)定:零向量與任意向量的數量積等于零.反思： 兩個向量的數量積是數量還是向量？ （選0還是） 你能說出的幾何意義嗎？3) 空間向量數量積的性質： （1）設單位向量，則 （2） （3） .4) 空間向量數量積運算律：（1） （2）（交換律）（3）（分

14、配律）反思：1 嗎？舉例說明. 若，則嗎？舉例說明. 若，則嗎？為什么？典型例題例1 用向量方法證明：課本P91例2變式1：課本P91例3例2 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值變式：在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,則AB與CB所成的角為（ ）A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 例3 課本P92練習2練1. 已知向量滿足，則_.練2. , 則的夾角大小為_.三、學習小結1.向量的數量積的定義和幾何意義.2. 向量的數量積的性質和運算律的運用.當堂檢測：1. 下列命題中：若，則，中至少一個為 若且，則 正確有個數為（

15、）A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個2. 已知和是兩個單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（ ）A. B. C. D. 3.已知中，所對的邊為，且,則= 4. 已知，且和不共線，當 與的夾角是銳角時，的取值范圍是 .5. 已知向量滿足，則_ 6. 已知空間四邊形中，求證：.7. 課本P92練習3§3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標表示學習目標 1. 掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標表示；2. 掌握空間向量的坐標運算的規(guī)律；學習過程 一、（預習教材P92-96找出疑惑之處）復習1：平面向量基本定理：對平面上的任意一個向量，是平面上兩個 向量，總是存在

16、實數對，使得向量可以用來表示，表達式為 ，其中叫做 . 若，則稱向量正交分解. 復習2：平面向量的坐標表示：平面直角坐標系中，分別取x軸和y軸上的 向量作為基底，對平面上任意向量，有且只有一對實數x，y，使得，則稱有序對為向量的 ，即 .二、學習探究探究任務一：空間向量的正交分解問題：對空間的任意向量，能否用空間的幾個向量唯一表示？如果能，那需要幾個向量？這幾個向量有何位置關系？新知：1 空間向量的正交分解：空間的任意向量，均可分解為不共面的三個向量、，使. 如果兩兩 ，這種分解就是空間向量的正交分解.(2)空間向量基本定理：如果三個向量 ，對空間任一向量，存在有序實數組，使得. 把 的一個基

17、底，都叫做基向量.反思：空間任意一個向量的基底有 個.單位正交分解：如果空間一個基底的三個基向量互相 ，長度都為 ，則這個基底叫做單位正交基底，通常用i,j,k表示.空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系O-xyz和向量a，且設i、j、k為 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序實數組，使得，則稱有序實數組為向量a的坐標，記著 .設A，B，則 .向量的直角坐標運算：設a，b，則 （1）ab； ab； a； a·b.試試： 1. 設，則向量的坐標為 .2. 若A，B，則 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，a·b典型例題例1 已知向量是空間的一個基底，從向量中選

18、哪一個向量，一定可以與向量 構成空間的另一個基底？變式：已知O,A,B,C為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O,A,B,C是否共面？小結：判定空間三個向量是否構成空間的一個基底的方法是：這三個向量一定不共面.例2 課本P94例4 變式：課本P94練習3練1. 已知，求：； .練2. 正方體的棱長為2，以A為坐標原點，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，則點，的坐標分別是 ， ， .三、學習小結1. 空間向量的正交分解及空間向量基本定理；2. 空間向量坐標表示及其運算 當堂檢測：1. 若為空間向量的一組基底，則下列各項中，能構成基底的是（ ）A. B. C. D. 2. 設

19、i、j、k為空間直角坐標系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，且，則點B的坐標是 3. 在三棱錐OABC中，G是的重心（三條中線的交點），選取為基底，試用基底表示 4. 正方體的棱長為2，以A為坐標原點，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，E為BB1中點，則E的坐標是 .5. 已知關于x的方程有兩個實根，且，當t 時，的模取得最大值.6. 已知,求線段AB的中點坐標及線段AB的長度.7. 已知是空間的一個正交基底，向量是另一組基底，若在的坐標是，求在的坐標.§3.1.5 空間向量運算的坐標表示學習目標 1. 掌握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐

20、標公式；2. 會用這些公式解決有關問題.學習過程 一、（預習教材P95 P97，找出疑惑之處）復習1：設在平面直角坐標系中，A，B，則線段AB .復習2：已知，求：aB. 3ab； 6A. ； a·b.二、學習探究探究任務一：空間向量坐標表示夾角和距離公式問題：在空間直角坐標系中，如何用坐標求線段的長度和兩個向量之間的夾角？新知：1. 向量的模：設a，則a 2. 兩個向量的夾角公式： 設a，b，由向量數量積定義： a·b|a|b|cosa,b，由向量數量積坐標運算公式：a·b ，由此可以得出：cosa,b 試試： 當cosa、b1時，a與b所成角是 ； 當cosa

21、、b1時，a與b所成角是 ； 當cosa、b0時，a與b所成角是 ，即a與b的位置關系是 ，用符合表示為 .反思：設a，b，則 a/B. a與b所成角是 a與b的坐標關系為 ； aba與b的坐標關系為 ；3. 兩點間的距離公式：在空間直角坐標系中，已知點，則線段AB的長度為：.4. 線段中點的坐標公式：在空間直角坐標系中，已知點，則線段AB的中點坐標為: . 典型例題例1. 課本P96例5變式：如右圖,在正方體中，求與所成角的余弦值 例2. 課本P96例6變式：課本P97練習3小結：求兩個向量的夾角或角的余弦值的關鍵是在合適的直角坐標系中找出兩個向量的坐標，然后再用公式計算. 練1. 已知A(

22、3,3,1)、B(1，0，5)，求：線段AB的中點坐標和長度；到A、B兩點距離相等的點的坐標x、y、z滿足的條件練2. 課本P97練習2三、學習小結1. 空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式；2. 解決立體幾何中有關向量問題的關鍵是如何建立合適的空間直角坐標系，寫出向量的坐標，然后再代入公式進行計算.當堂檢測：1. 若a，b，則是的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不不要條件2. 已知，且，則x .3. 已知,與的夾角為120°，則的值為（ ）A. B. C. D. 4. 若，且的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A. B.

23、C. D. 5. 已知 ， 且，則（ ）A. B. C. D. 6。課本P98習題. 7. 課本P98習題10§3.1 空間向量及其運算（練習）學習目標 1. 熟練掌握空間向量的加法，減法，向量的數乘運算，向量的數量積運算及其坐標表示；2. 熟練掌握空間線段的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式，并能熟練用這些公式解決有關問題.學習過程 一、（閱讀課本p115）復習：1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，記著 ； 具有 叫單位向量.2. 向量的加法和減法的運算法則有 法則 和 法則.3.實數與向量a的積是一個 量，記作 ，其長度和方向規(guī)定如下： (1)|a

24、| . (2)當0時，a與A. ；當0時，a與A. ；當0時，a .4. 向量加法和數乘向量運算律：交換律：ab 結合律：(ab)c 數乘分配律：(ab) 5. 表示空間向量的 所在的直線互相 或 ，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量.空間向量共線定理：對空間任意兩個向量（）， 的充要條件是存在唯一實數， 使得 ； 推論： l為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，對空間的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是 6. 空間向量共面：共面向量： 同一平面的向量. 定理：對空間兩個不共線向量，向量與向量共面的充要條件是存在 ， 使得 .推論：空間一點P與不在同一直線上的三點A,B,C共面的充要條

25、件是： 存在 ，使 對空間任意一點O，有 7. 向量的數量積： .8. 單位正交分解：如果空間一個基底的三個基向量互相 ，長度都為 ，則這個基底叫做單位正交基底，通常用i,j,k表示.9.空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系O-xyz和向量a，且設i、j、k為 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序實數組，使得，則稱有序實數組為向量a的坐標，記著 .10. 設A，B，則 .11. 向量的直角坐標運算：設a，b，則 ab ； ab ；a ； a·b 動手試試1在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三

26、向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為pxaybzc其中正確命題的個數為（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 32在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A有相同起點的向量 B等長向量 C共面向量 D不共面向量3已知a（2，1，3），b（1，4，2），c（7，5，），若a、b、c三向量共面，則實數=（ ）A. B. C. D. 4若a、b均為非零向量，則是a與b共線的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件5已知ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，3，7），C（

27、0，5，1），則BC邊上的中線長為（ ）A2 B3 C4 D56. 則（ ）A15 B5 C3 D1典型例題例1 空間四邊形OABC中，點M在OA上，且OM=2MA,點為的中點，則 . 變式：如圖，平行六面體中，,點分別是的中點，點Q在上，且,用基底表示下列向量： ; ; ; .例2 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，,點是的中點，求證：. 變式：正三棱柱ABCA1B1C1的側棱長為2，底面邊長為1，點M是的中點，在直線上求一點N，使得當堂檢測：1直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 則（ ）A. B. C. D. 2.、（ ）A B 與不平行也不垂直 C. ， D以上情況都可能.3. 已知

28、+，|2，|3，|，則向量與之間的夾角為（ ）A30° B45° C60° D以上都不對4.已知且與互相垂直，則的值是（ ）A. .1 B. C. D. 5. 若A(m1，n1,3)， B. (2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三點共線，則m+n= 如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是的中點. 求證：； 求與所成角的余弦； 求的長. §3.2立體幾何中的向量方法（1）學習目標 1. 掌握直線的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直線的方向向量及平面的法向量解決平行、垂直、夾角等立體幾何問題學習過程 一、（預習教材P102 P104，找出疑惑

29、之處）復習1： 可以確定一條直線；確定一個平面的方法有哪些？ 復習2：如何判定空間A,B,C三點在一條直線上？ 復習3：設a，b，a·b 二、學習探究探究任務一： 向量表示空間的點、直線、平面問題：怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？新知： 點：在空間中，我們取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置就可以用向量來表示，我們把向量稱為點的位置向量. 直線： 直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量. 對于直線上的任一點,存在實數，使得，此方程稱為直線的向量參數方程. 平面： 空間中平面的位置可以由內兩個不共線向量確定.對于平面上的任一點,是平面內兩個不共線向量，則存在

30、有序實數對,使得. 空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示空間中平面的位置. 平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面,記作，那 么向量叫做平面的法向量.試試： .1.如果都是平面的法向量，則的關系 .2.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內，則與的關系是 .反思： 1. 一個平面的法向量是唯一的嗎？ 2. 平面的法向量可以是零向量嗎？ 向量表示平行、垂直關系：設直線的方向向量分別為，平面 的法向量分別為，則 典型例題例1 已知兩點,求直線AB與坐標平面的交點.變式：已知三點,點在上運動（O為坐標原點）,求當取得最小值時,點的坐標

31、.小結：解決有關三點共線問題直接利用直線的參數方程即可. 例2 用向量方法證明兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.（課本P104定理） 變式：在空間直角坐標系中,已知,試求平面ABC的一個法向量. 小結：平面的法向量與平面內的任意向量都垂直.練1. 設分別是直線的方向向量，判斷直線的位置關系：1 ； .練2. 設分別是平面的法向量，判斷平面的位置關系：1 ； .三、學習小結1. 空間點，直線和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性質.當堂檢測：1. 設分別是直線的方向向量，則直線的位置關系是 .2. 設分別是平面的法向量，則平面的位置關系是

32、 .3. 已知，下列說法錯誤的是（ ）A. 若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則4.下列說法正確的是（ ）A.平面的法向量是唯一確定的 B.一條直線的方向向量是唯一確定的C.平面法向量和直線的方向向量一定不是零向量D.若是直線的方向向量，則5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）A. B. C. D. 6. 在正方體中，求證：是平面的一個法向量.7已知，求平面的一個法向量. §3.2立體幾何中的向量方法（2）學習目標 1. 掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題；2. 掌握向量運算在幾何中求兩點間距離和求空間圖形中的角度的計算方法.學習過程 一、（預習教材P10

33、5 P107，找出疑惑之處.復習1：已知，且，求.復習2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范圍是什么？二、學習探究探究任務一：用向量求空間線段的長度 問題：如何用向量方法求空間線段的長度？新知：用空間向量表示空間線段，然后利用公式求出線段長度.試試：在長方體中，已知,求的長.反思：用向量方法求線段的長度，關鍵在于把未知量用已知條件中的向量表示. 典型例題例1 課本P105例1變式1：上題中平行六面體的對角線的長與棱長有什么關系？變式2：如果一個平行六面體的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于, 那么由這個平行六面體的對角線的長可以確定棱長嗎?探究任務二：用向量求

34、空間圖形中的角度例2 課本P106例2變式：課本P107練習2練1. ：課本P113習題10練2. 如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、的中點求異面直線MN與所成的角.三、學習小結1. 求出空間線段的長度：用空間向量表示空間線段，然后利用公式；2. 空間的二面角或異面直線的夾角，都可以轉化為利用公式求解. 當堂檢測：1. 已知，則 2. 已知，則的夾角為 .3. 若M、N分別是棱長為1的正方體的棱的中點,那么直線所成的角的余弦為（ ）A. B. C. D.4. 將銳角為邊長為的菱形沿較短的對角線折成的二面角，則間的距離是（ ）A. B. C. D.5.正方體中棱長為，,是的中點，則為（ ）

35、A. B. C. D.6。課本P111習題1 §3.2立體幾何中的向量方法（3）學習目標 1. 進一步熟練求平面法向量的方法；2. 掌握向量運算在幾何中如何求點到平面的距離和兩異面直線間距離的計算方法；3. 熟練掌握向量方法在實際問題中的作用.學習過程 一、復習1：已知，試求平面的一個法向量. 復習2：什么是點到平面的距離？什么是兩個平面間距離？二、學習探究探究任務一：點到平面的距離的求法問題：如圖A空間一點到平面的距離為,已知平面的一個法向量為,且與不共線,能否用與表示?分析:過作于O,連結OA,則d=|= ,. cosAPO=|cos|D. =|cos|=新知：用向量求點到平面的

36、距離的方法：設A空間一點到平面的距離為,平面的一個法向量為，則D. = 試試：在棱長為1的正方體中， 求點到平面的距離.反思：當點到平面的距離不能直接求出的情況下，可以利用法向量的方法求解.典型例題例1 已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC平面ABCD，且GC2，求點B到平面EFG的距離.APDCBMN變式：如圖,是矩形,平面,分別是的中點,求點到平面的距離.小結：求點到平面的距離的步驟： 建立空間直角坐標系，寫出平面內兩個不共線向量的坐標； 求平面的一個法向量的坐標； 找出平面外的點與平面內任意一點連接向量的坐標； 代入公式求出距離.探究任務二：兩條異面直線間的距離的求法例2 如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和,使得,且.已知，求公垂線的長.變式：已知直三棱柱的側棱,底面中, ，且,是的中點,求異面