專(zhuān)題12幾何最值之將軍飲馬鞏固練習(xí)(提優(yōu))-沖刺2020年中考幾何專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)(解析版)

1、幾何最值之將軍飲馬鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1. 如圖所示，在四邊形 ABCD 中，/ A = 90o, / C=90o, / D = 60o, AD =3, AB =,若點(diǎn) M、N分別為邊CD, AD上的動(dòng)點(diǎn)，則 BMN的周長(zhǎng)最小值為（）A.B. . .C. 6D. 3【解答】C【解析】作點(diǎn) B關(guān)于CD、AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn) B和點(diǎn)B,連接BB”交DC和AD于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接MB、NB ;再DC和AD上分別取一動(dòng)點(diǎn) M和N（不同于點(diǎn) M和N）,連接 MB , MB , N B和NB,如 圖1所示：BB V MB + MN + NB , BM = BM , BN = BN ,. BM + MN + BN

2、 BB,又. BB = BM + MN + NB , MB = MB , NB = NB,NB + NM + BM v BM + M N+ BN,G = NB + NM + BM時(shí)周長(zhǎng)最小;IT圖圖2M連接DB,過(guò)點(diǎn)B作BHDB于B的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) H,如圖示2所示:在 RtAABD 中，AD =3, AB =, BD =爐=川/=，/ 2=300,/ 5= 300, DB = DB,又. / ADC=Z 1 + Z 2 = 600, .1 = 300, / 7=300, DB=DB,/ BDB =Z 1 + Z 2+Z 5+Z 7= 1200,DB = DB = DB = 2/3 ,又. / B

3、DB+/ 6= 1800, .6=600, . HD =, HB=3,在RtBHB”中，由勾股定理得：BB=，丹/產(chǎn)+ HW以=/（界=十.爐=6 , /恒 = NB+NM +BM = 6,故選 C.2. 如圖，在四邊形 ABCD中，DAAB, DA = 6, /B+/C= 1500, CD與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 E點(diǎn)，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線(xiàn)段 CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，則 BP+PQ最小值是（）A. 12B. 15C. 16D. 18【解答】D【解析】如圖，作點(diǎn) B關(guān)于CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接BF, EF,則EB = EF,/ B+/ C= 150o,BEC=30o,BEF = 60o,. BE

4、F是等邊三角形，連接 BP, PF, PQ,則 BP=FP, . .BP+QP=FP+ PQ,當(dāng)F, P, Q在同一直線(xiàn)上且 FQEB時(shí)，BP+PQ的最小值為 FQ的長(zhǎng)，此時(shí)，Q為EB的中點(diǎn)，故與A重合， DA XAB.DA =6, . AE =， MQEF 中，F(xiàn)Q=、/AE=18, .BP+PQ最小值值為18,故選D.3. 如圖，等邊 ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn) M、N分別在 AD、AC上，且AM =CN,連接 BM、BN ,當(dāng) BM + BN 最小時(shí)，/ MBN = 度.【解答】30o【解析】作CH BC ,使得CH = BC,連接NH, BH ,如圖所示:H. ABC 是等邊三角

5、形， AD BC , CHXBC,/ DAC = / DAB = 30o, AD / CH,/ HCN = / CAD = / BAM = 30o, . AM =CN , AB = BC = CH,ABM CHN (SAS),BM =HN , BN + HN BH ,B, N, H共線(xiàn)時(shí)，BM + BN = NH+BN的值最小, 當(dāng)B, N, H共線(xiàn)時(shí)，如圖所示：H ABM CHN , ./ ABM =Z CHB =Z CBH =45o, . /ABD=60o, . DBM=15o, . . / MBN =45o-15o= 30o,當(dāng)BM+BN的值最小時(shí)，/ MBN =30o.4. 如圖，矩形

6、 ABCD中，AB = 4, BC=6,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且,則PC+ PD的最小值為AD【解析】如圖，作 PMLAD于M,作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)PM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接PE, EC.設(shè)AM =h ,B四邊形ABC都是矩形,AB/CD , AB = CD = 4, BC = AD = 6,-，_1 T S也戶(hù)上以=歹，X E = 1 X （ X 4 X（6 - ）, 工=2,AM =2, DM = EM =4,在 RtA ECD 中，EC = /CD 2 + ED 2 = 4y/b ,PM垂直平分線(xiàn)段 DE, PD= PE, .PC+PD=PC+ PEEC,PD+ PO 4 , . PD+PC的

7、最小值為1道.5. 如圖，在 ABC中，/ ACB =90。，點(diǎn)D是直線(xiàn) BC上一點(diǎn).（1）如圖1,若AC = BC = 2,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，求 CMD周長(zhǎng)的最小值;（2）如圖2,若AC = 4, BC = 8,是否存在點(diǎn) D,使以A, D, B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直按寫(xiě)出線(xiàn)段 CD的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】（1） ACMD周長(zhǎng)的最小值為1 + 右；（2）存在，詳細(xì)見(jiàn)解析【解析】（1）如圖，作C關(guān)于A(yíng)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接DE交AB于M,此時(shí)， CMD周長(zhǎng)的值最小,. AC = BC, Z ACB = 90o, ./ BCE = 45o,連接

8、 BE,BC = BE = 2, CBE是等腰直角三角形,，DE = y/BE2 + DB7 =+ 1* =、點(diǎn),. CMD周長(zhǎng)的最小值= I + 怖;(2)存在, ,. AC = 4, BC=8,AB = /AC2+nC2 =1巡,ADtZ:C DysD當(dāng)AD i = AB時(shí)， AD iB的等腰三角形，AC BC,CDi = BC = 8當(dāng)BD2=AB=-1述 時(shí)，4AD2B是等腰三角形， :。=4巡8,當(dāng) AD3=D3B 時(shí)， AD3B 的等腰三角形， BD3=8-CD3,- AC2 斗皿=BDf, 4a 斗 CDI = (8 CD 解得 CD2= 3,當(dāng)BD4=AB=時(shí)，AAD4B的等腰

9、三角形,CD4= 8+ 4/5 ,綜上所述，以 A, D, B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度為8或4質(zhì) 8或3或4V5+8.6. 如圖，在銳角三角形 ABC中，BC = 4 y/2 , /ABC = 45o, BD平分/ ABC , M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，試求 CM+MN的最小值.【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CEXAB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN，BC于N,則CE即為CM+ MN的最小值.EN*BC= 42 , /ABC=45o, BD平分/ ABC ,. BCE是等腰直角三角形,: CE=BC- cos 45 = 4/2 x故CM + MN的最小值為4.7. 如圖，

10、在平行四邊形 ABCD中，BD是對(duì)角線(xiàn)，/ ADB=90o, E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：四邊形 DEBF是菱形；(2)若BE = 4, / DEB= 120o,點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P在BD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 PF+ PM的最小值.【解析】(1)證明：二.平行四邊形 ABCD中，AD/BC,DBC = Z ADB =90o,. ABD 中，/ ADB =90o, E 時(shí) AB 的中點(diǎn)，DE= - AB = AE = BE,2同理，BF=DF,.平行四邊形 ABCD中，AB = CD ,DE = BE = BF=DF,二.四邊形 DEBF 是菱形；(2)連接BF,如圖所示：.菱形

11、 DEBF 中，/ DEB=120o, . / EBF = 60o,. BEF是等邊三角形， M 是 BF 的中點(diǎn)，EM BF,則 EM = BE - srnGCT = 4 x 警=， 即PF+ PM的最小值是.8. 已知：矩形 ABCD中，AD = 2AB , AB = 6, E為AD中點(diǎn)，M為CD上一點(diǎn)，PELEM交CB于點(diǎn)P,EN平分/ PEM交BC于點(diǎn)N.,V(2)用等式表示BP2、PN2、NC2三者的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)過(guò)點(diǎn)P作PGLEN于點(diǎn)G, K為EM中點(diǎn)，連接 DK、KG ,求DK+KG+PG的最小值.【解答】(1)見(jiàn)解析；(2) BP2+NC2=PN2; (3) G

12、+ 3V2【解析】(1)證明：過(guò)P作PQXAD于Q,則PQ=AB ,如圖所示：Q EO . AD=2AB, E 為 AD 中點(diǎn)，AD = 2DE , . PQ= DE , PEXEM ,/ PQE= / D = / PEM = 90o, / QPE+ / PEQ= / PEQ+ / DEM = 90o, ./ QPE=Z DEM ,PQEA EDM (ASA), . PE= EM ;(2)三者的數(shù)量關(guān)系是：BP2+ NC2= PN2點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，顯然 BP2+NC2= PN2成立;點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，N為BC的中點(diǎn)，顯然 BP2+NC2= PN2成立;證明：連接BE、CE,如

13、圖所示：四邊形ABCD為矩形，AD=2AB, E為AD中點(diǎn),.Z A=Z ABC = 90o, AB=CD=AE = DE, ，/AEB=45o, /DEC = 45o,AB = CD AEB = EC , AE = DE.-.ABE DCE (SAS), /BEC = 90o, . BE= CE,/ EBC = / ECB = 45o,. / EBC = / ECD ,/ ECM又. / BEC=Z PEM = 90o, . BEP=/MEC , / EBP =A EBP = Z ECM 乙 EBP = A CEM ,BE = CEBEPACEM (ASA), . BP= MC , PE=ME, EN 平分/ PEM , ./ PEN = Z MEN =45o,NE = NE EN = MEN , PE = MEEPNA EMN (SAS),，PN=MN,在 RtAMNC 中有：MC2+NC2=MN2,bp2+nc2= pn2；(