五上：釘子板上的多邊形 教學(xué)設(shè)計(jì)(定稿)

1、釘子板上的多邊形-連云港市院前小學(xué) 李吉愛(ài)教學(xué)內(nèi)容：義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第108-109頁(yè)。教學(xué)目標(biāo)：1探索并初步發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形內(nèi)有1、2、3枚以以上釘子的多邊形的面積與多邊形邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系，激發(fā)進(jìn)一步探索釘子板上的多邊形面積與釘子數(shù)關(guān)系的興趣。2經(jīng)歷探索過(guò)程，積累探索經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)成功樂(lè)趣。3通過(guò)小組合作，類(lèi)比遷移探索問(wèn)題的方法，嘗試探索研究同類(lèi)問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：探索釘子板上的多邊形面積與邊上釘子數(shù)和中間釘子數(shù)之間的規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)：在有限的課堂時(shí)間內(nèi)進(jìn)行類(lèi)比推導(dǎo)，得出一般規(guī)律。教具準(zhǔn)備：釘子板、釘子板套管（橡皮泥替代）、板貼、多媒體課件。學(xué)具準(zhǔn)備：釘子板、作業(yè)紙等教學(xué)過(guò)程：課前

2、交流對(duì)話(huà)：（預(yù)設(shè)3分鐘）主要圍繞“會(huì)觀(guān)察、敢猜想”這兩個(gè)關(guān)鍵詞。1.孩子們，認(rèn)識(shí)老師嗎？老師姓啥名啥？你是怎么知道的？（在學(xué)生猜想后點(diǎn)擊課件全部顯示）只顯示一半你就能猜出來(lái)，你屬牛的吧！你太牛了！可見(jiàn)你善于觀(guān)察，敢于猜想（磁板分別貼出善于觀(guān)察、敢于猜想），這兩點(diǎn)是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，很優(yōu)秀的品質(zhì)。2.你知道今天將要學(xué)習(xí)什么知識(shí)嗎？（在學(xué)生回答后點(diǎn)擊課件出示課題）你是怎么知道的？看來(lái)咱們班會(huì)觀(guān)察，敢猜想的同學(xué)真不少！老師希望這節(jié)課中能看到更多的同學(xué)具有這種品質(zhì)！準(zhǔn)備好了嗎？下面我們開(kāi)始上課！一、激趣生疑，直觀(guān)感知（預(yù)設(shè)：3分鐘）1.復(fù)習(xí)學(xué)過(guò)的平面圖形的面積，引出一道稍難的問(wèn)題，埋下伏筆，引出課題。a

3、.過(guò)渡引入：我們學(xué)過(guò)好多平面圖形，老師考考你，誰(shuí)能在20秒之內(nèi)答出它的面積是多少嗎？（點(diǎn)擊課件出示例題中平行四邊形的那道題）b.看來(lái)這種題目難不倒大家！老師再出一道，考考你?。c(diǎn)擊出示），在20秒后，點(diǎn)擊課件消失，問(wèn)：怎么沒(méi)有剛才那么迅速呢？ 預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)說(shuō)出關(guān)于“割補(bǔ)”的字眼。教師板書(shū)“割補(bǔ)拼接”二字。教師用課件配合進(jìn)行點(diǎn)撥。（揭示答案17.5平方厘米）c.過(guò)渡：老師想告訴你，只要你用心上完這節(jié)課，保你在20秒之內(nèi)就能解答出來(lái)！你們想學(xué)習(xí)這個(gè)絕招嗎？（想） 告訴你吧，解決這個(gè)難題的奧妙就藏在這個(gè)小小的釘子板中。（磁板貼出課題：釘子板上的多邊形），學(xué)生齊讀。二、學(xué)習(xí)新課，建構(gòu)知識(shí)（預(yù)設(shè)33分鐘

4、）1.呈現(xiàn)一個(gè)釘子板圍成的多邊形-簡(jiǎn)化成點(diǎn)子圖。 （預(yù)設(shè)：2分鐘）a.師：為了便于研究，我們把釘子板上的多邊形簡(jiǎn)化在點(diǎn)子圖上。（課件顯示）我們約定釘子板上以及點(diǎn)子圖上的每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都是1厘米。（顯示1cm）b.請(qǐng)問(wèn)這四枚釘子圍成的多邊形，它的面積是多少平方厘米？c.這八枚釘子圍成的多邊形呢？你是怎么知道的？（求出來(lái)的，還可以數(shù)出來(lái)。我們數(shù)數(shù)看，小結(jié)：這種規(guī)則的多邊形用“數(shù)”的辦法更實(shí)用）d.觀(guān)察比較：這兩個(gè)圖形有什么不同之處呢？ 預(yù)設(shè)：邊長(zhǎng)不同，面積不相等；邊上的釘子枚數(shù)也不相同；里面釘子個(gè)數(shù)不同；邊上的釘子枚數(shù)越多，圍成的圖形的面積就越大。如果學(xué)生說(shuō)不出“邊上釘子數(shù)”這點(diǎn)，點(diǎn)擊課件

5、，友情提示。2.探究多邊形內(nèi)有1枚釘子的規(guī)律。（10分鐘）（1）個(gè)例發(fā)現(xiàn)，形成猜想。a.過(guò)渡：看來(lái)一個(gè)圖形的面積與這個(gè)圖形邊上的釘子數(shù)密切有關(guān)。（在表述的同時(shí)進(jìn)行板貼：“多邊形的面積”“邊上的釘子數(shù)”）它們之間到底有著怎樣的聯(lián)系呢？ b.我們先來(lái)觀(guān)察這幾個(gè)圖形。帶著學(xué)生一起數(shù)一數(shù)1號(hào)圖形的邊上有幾枚釘子？面積是多少呢？4號(hào)圖形我們剛才就已經(jīng)知道了它的面積，它邊上的釘子數(shù)是幾呢？（在學(xué)生回答后，點(diǎn)擊課件顯示）c.出示探究表格，讓學(xué)生仿照老師的樣子獨(dú)立完成剩下的2個(gè)圖形嗎？d.全班集體交流。指名學(xué)生回答，教師即時(shí)點(diǎn)擊課件顯示。在反饋3號(hào)圖形時(shí)，稍加突出，追問(wèn)：這個(gè)圖形的面積是多少？你是怎么想的？還

6、可以怎么想？教師小結(jié)：在核算面積時(shí)，巧妙的“割補(bǔ)拼接”是個(gè)好方法。填寫(xiě)完成后，讓學(xué)生仔細(xì)觀(guān)察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 預(yù)設(shè):學(xué)生回答出“多邊形面積平方厘米數(shù)乘以2等于邊上釘子的數(shù)量”；教師就追問(wèn)：倒過(guò)來(lái)怎么說(shuō)呢？（多邊形邊上的釘子數(shù)的一半，等于多邊形面積的平方厘米數(shù)）用數(shù)量關(guān)系式表達(dá)出來(lái)就是-。在學(xué)生答道點(diǎn)子上后，即時(shí)整理板書(shū)，補(bǔ)充“=”、“÷2”。評(píng)價(jià)：寶貝們，你們太了不起了，異中求同，找到了規(guī)律?。ò遒N：異中求同）（2）舉例驗(yàn)證，再生疑惑。過(guò)度：不過(guò)我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律，到目前為止只能算是一個(gè)“猜測(cè)”，只有經(jīng)得住“驗(yàn)證”（板貼勤于驗(yàn)證），才能稱(chēng)作規(guī)律。下面我們找個(gè)多邊形驗(yàn)證一下，好嗎？

7、課件出示：一個(gè)底4厘米，高2厘米的三角形。師：讓學(xué)生一起數(shù)邊上的釘子數(shù)（8枚），按照剛才的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖形的面積就應(yīng)該是?(8的一半，等于4平方厘米)，用原先底×高÷2的方法，誰(shuí)幫老師算一下？（4×2÷2=4），完全符合！師：老師這兒還有一個(gè)邊上是8枚釘子的圖形（點(diǎn)擊課件），它的面積是？（預(yù)設(shè)大多數(shù)學(xué)生上當(dāng)會(huì)說(shuō)是4）師：追問(wèn)：同意嗎？教師課件點(diǎn)撥-這兒光整格子就已經(jīng)是4平方厘米了，何況還多了一個(gè)三角形呢！怎么回事呢？ （3）歸納概括，形成結(jié)論。師：我們暫且不看這個(gè)圖形，先比較一下這幾個(gè)符合規(guī)律的有什么共同點(diǎn)？（內(nèi)部釘子只有一枚）師：看樣多邊形的面積不僅和邊

8、上的釘子數(shù)有關(guān)，還和內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)系！因而我們的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，必須要加上一個(gè)條件，才能正確！附加什么條件呢？（在學(xué)生表述后，貼上板貼：“內(nèi)部釘子數(shù)1枚”；在貼上板貼時(shí)，教師故意貼不下，用字母表示的需求由此而生。）師：這么多字，都貼不下了，有辦法讓這句話(huà)簡(jiǎn)潔一些嗎？（用字母表示）我們?cè)诒硎久娣e時(shí)一般用s表示，多邊形邊上的釘子數(shù)用n表示，（在對(duì)應(yīng)的位置板書(shū)“s”、和“n”）那么這個(gè)規(guī)律可以寫(xiě)成-s=n÷2。小結(jié)回顧：回顧剛才我們?cè)谔剿饕?guī)律的過(guò)程，我們先是仔細(xì)觀(guān)察，然后異中求同，提出猜想，最后通過(guò)驗(yàn)證，終于找到了這樣的一條規(guī)律：（指著板書(shū)）當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)1枚時(shí)，-提示學(xué)生齊讀“多邊形的面

9、積=邊上釘子數(shù)÷2”，也就是s=n÷2。3.探究多邊形內(nèi)有2枚釘子的情況。（預(yù)設(shè)10分鐘）過(guò)渡：老師有個(gè)疑問(wèn)：（對(duì)著課件）這種內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，會(huì)不會(huì)也有類(lèi)似的規(guī)律呢？我們能繼續(xù)探究嗎？（能）（1） 出示探究要求。請(qǐng)看活動(dòng)要求，師 簡(jiǎn)單解讀活動(dòng)要求，宣布活動(dòng)開(kāi)始。（2）學(xué)生小組合作，完成探究活動(dòng)（二），教師巡視，選取完成迅速的且具有典型性的2個(gè)小組作品，貼在黑板上。同時(shí)讓學(xué)生代表用釘子板套管（或者橡皮泥）在內(nèi)部釘子上做標(biāo)記，并到電腦上輸入相應(yīng)的數(shù)據(jù)。（3）班級(jí)反饋。教師帶著全班同學(xué)先檢查內(nèi)部釘子數(shù)是否符合要求。（寶貝們，完成的小組向老師示意一下。不好意思，因?yàn)闀r(shí)間有限

10、，所以不能讓你們盡情的玩了。沒(méi)有完成的小組，也停下來(lái)，好嗎？我們一起來(lái)檢查一下這幾個(gè)小組圍成的圖形內(nèi)部有幾枚釘子）然后指名其中一個(gè)小組代表表述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（這是哪個(gè)小組的？能說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn)嗎？）教師隨機(jī)板書(shū)： 當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)2枚 s=n÷2+1。課件中其它輸入的數(shù)據(jù)，僅當(dāng)作驗(yàn)證規(guī)律使用。(這是哪一組的數(shù)據(jù)，你們同意剛才的發(fā)現(xiàn)嗎？我們一起來(lái)驗(yàn)證一下)預(yù)設(shè)：如果出現(xiàn)s=（n+2）÷2這種情況，可以把÷2轉(zhuǎn)化為×0.5，用乘法分配率處理。4.探究多邊形內(nèi)有3枚以及更多釘子的情況。（預(yù)設(shè)10分鐘）（1）推想多邊形內(nèi)部有3枚以及3枚以上釘子的規(guī)律。過(guò)度：（對(duì)著板書(shū)）

11、你們太了不起來(lái)，如此迅速的從不同的多邊形中找到了兩條規(guī)律。這兩個(gè)規(guī)律，看起來(lái)有些不同，但又有所相同。如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子，你猜猜會(huì)有怎樣的變化？（學(xué)生表述后，教師板書(shū)“3”、“s=n÷2+2”）4枚呢？（教師板書(shū)“4”、“s=n÷2+3”）5枚呢？（教師板書(shū)“5”、“s=n÷2+4”）6枚呢？7枚呢？8枚呢？ 20枚呢？a枚呢？師追問(wèn)：后面加上的數(shù)有什么規(guī)律？（在學(xué)生回答到“后面加的數(shù)比內(nèi)部的釘子數(shù)少1”，板貼：內(nèi)部釘子數(shù)1）（2）出示驗(yàn)證要求，完成探究活動(dòng)（三）a.過(guò)度：你們太棒了，特別善于觀(guān)察，敢于猜測(cè)！但是這些猜測(cè)現(xiàn)在要打上一個(gè)“？”，因?yàn)橹挥猛ㄟ^(guò)驗(yàn)證，

12、才能完全成立！時(shí)間關(guān)系，我們分組行動(dòng)吧！請(qǐng)你們小組合作，從中選擇一條加以驗(yàn)證。b活動(dòng)前稍加指導(dǎo)：（出示課件）如果你們小組想驗(yàn)證“內(nèi)部釘子數(shù)3枚”，這兒就填上3，如果你們小組想驗(yàn)證“內(nèi)部釘子數(shù)4枚”，這兒就填上4，這兒要填寫(xiě)剛才相應(yīng)的推測(cè)！明白了嗎？活動(dòng)開(kāi)始吧！c.學(xué)生活動(dòng)，教師巡視。d集體交流?，F(xiàn)在我們來(lái)匯報(bào)一下你們的驗(yàn)證結(jié)果！哪組先說(shuō)？請(qǐng)你們組的一位同學(xué)把你們圍成的圖形舉起來(lái)，給大家看一下，哪位代表發(fā)言？還有哪個(gè)組和他們組一樣，也是驗(yàn)證這種類(lèi)型的？你們和他們的結(jié)論一致嗎？你們組是驗(yàn)證那一條？能說(shuō)說(shuō)嗎？e得出結(jié)論：師：經(jīng)過(guò)大家的努力，我們現(xiàn)在可以確定這些猜想都是成立的。這么多的規(guī)律歸結(jié)成一句話(huà)

13、就是-多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2+內(nèi)部釘子數(shù)-1，用字母表示就是s=n÷2+a-1，這里的a可以表示許多數(shù)。老師有個(gè)疑問(wèn)：這里的a可以是0嗎？（預(yù)設(shè)：不能|能）教師點(diǎn)撥：（點(diǎn)擊課件）出示四根釘子圍成的一個(gè)正方形，我們把它放大一下（課件顯示放大后的圖形）帶著學(xué)生一起核算。板書(shū)（0 s=n÷2+0-1，并隨機(jī)改成s=n÷2-1）三、課堂總結(jié)（預(yù)設(shè)3分鐘）1.簡(jiǎn)介皮克定理師：孩子們，今天我們一起探索發(fā)現(xiàn)了-多邊形的面積等于邊上釘子數(shù)除以2，加上內(nèi)部釘子數(shù)減一這個(gè)規(guī)律。實(shí)際上這和偉大的科學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的“皮克定理”是一致的：（課件展示）皮克在1899年發(fā)現(xiàn)：給定

14、頂點(diǎn)坐標(biāo)均是整點(diǎn)（或正方形格點(diǎn)）的簡(jiǎn)單多邊形，其面積S與內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)a、邊上格點(diǎn)數(shù)n的關(guān)系：S=n÷2 + a -1。2.照應(yīng)課前的問(wèn)題。課件出示課前談話(huà)中的難題，并告訴學(xué)生邊上釘子數(shù)與內(nèi)部釘子數(shù)，讓學(xué)生快速計(jì)算。3.回顧反思：師：同學(xué)們謝謝你們的精彩合作！回顧我們探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，得出這個(gè)結(jié)論固然重要，但我覺(jué)得更重要的是整個(gè)過(guò)程中的體會(huì)，你想說(shuō)說(shuō)嗎？（預(yù)設(shè)，學(xué)生不說(shuō)，出現(xiàn)冷場(chǎng)，這樣應(yīng)對(duì)：老師估計(jì)你們會(huì)說(shuō)，卻不敢說(shuō)，三個(gè)人是條龍，一個(gè)人變成“蟲(chóng)”！這樣吧，老師送你一個(gè)“李悟”吧，注意此“李悟”非“禮”物但勝似“禮物”-那是什么禮物呢？（點(diǎn)擊課件出示）“一切推理猜想都必須從觀(guān)察與驗(yàn)證得來(lái)。-李界”四、課外拓展：推薦一本書(shū)格點(diǎn)與面積今天我們學(xué)習(xí)的這個(gè)只是到初中大家還要深入學(xué)習(xí)，有興趣的同學(xué)可以閱讀這本書(shū)格點(diǎn)與面積。在這本書(shū)中提及了這種橫豎不相等