單調(diào)性與最大(小)值-人教版必修一課件

1、第一章 集合和函數(shù)的概念1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲抵R清單·課堂脈絡(luò)1、 單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)的定義域為，對于定義域內(nèi)某一給定區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)<時，都有（或），那么就說函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)），這個區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)或減函數(shù)叫做在這個區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，或者說在這個區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性. 注意：（1）、任意性：增減函數(shù)中，“任意兩個自變量的值，”中“任意”兩字絕不能丟掉；（2） 、有大小：，由大小，通常規(guī)定<，若在給定區(qū)間內(nèi)存在，且，那么函數(shù)在此區(qū)間上不單調(diào)；（3） 、若函數(shù)的定義域由多個區(qū)間組成，那么，必須屬于同一區(qū)間，例如函數(shù)

2、在上是減函數(shù)，在上也是減函數(shù)，但是在內(nèi)不是減函數(shù)；（4） 、自變量取值之間的不等式關(guān)系和函數(shù)值的不等式關(guān)系正逆互推，即是增（減）函數(shù)，則.2、 單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做的單調(diào)區(qū)間.其中“定義域內(nèi)某個區(qū)間D”即說明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.3、 單調(diào)區(qū)間的寫法（1） 、一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“”而應(yīng)該用“和”或“，”來連接，如函數(shù)在和上均是減函數(shù)，但不能說它在定義域上是減函數(shù).（2） 、書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點的開閉沒有嚴(yán)格的規(guī)定，若區(qū)間端點有意義，開閉都可以，若區(qū)間端點沒有意義

3、，則必須寫出開區(qū)間.例如：對于函數(shù)，其單調(diào)減區(qū)間可以寫出，也可以寫成，而對于函數(shù)，它的單調(diào)減區(qū)間只能寫成和.4、 函數(shù)的最值（1） 、最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的，都有；存在，使得，那么稱M是函數(shù)的最大值.（2）、最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)m滿足：對于任意的，都有；存在，使得，那么稱m是函數(shù)的最大值.注意：最大（?。┲档亩x中，兩個條件缺一不可，若只有第一個條件，M(m)不一定是最值，如，對于任意，都有成立，但1不是此函數(shù)的最大值.5、 函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的關(guān)系（1） 、對于一個函數(shù)來說，其值域是確定的，但不一定有最值，若存在最

4、值，則最值一定是值域中的一個數(shù)值，如函數(shù)的值域確定，但沒有最值.（2） 、若函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)，則在上的最小值為，最大值為；若函數(shù)在閉區(qū)間上是減函數(shù)，則在上的最小值為，最大值為.基礎(chǔ)練習(xí)·夯實基礎(chǔ)1、 下列命題正確的是（ ）.A、 定義在上的函數(shù)，若存在，當(dāng)<時，有，那么在上為增函數(shù)B、 定義在的函數(shù)，若有無窮多對，當(dāng)<時，有，那么在上為增函數(shù)C、 若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上也是減函數(shù)，那么在區(qū)間上就一定是減函數(shù)D、 若函數(shù)在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則<【解析】A、B中都沒有強調(diào)對任意的都成立，C中以函數(shù)為例，雖然在及上均為減函數(shù)，但在整個定義域上卻不具有單調(diào)

5、性，D中為自變量取值之間的不等式關(guān)系和函數(shù)值的不等式關(guān)系正逆互推.答案：D2、 如下圖所示，分別為函數(shù)和的圖像，試寫出函數(shù)和的單調(diào)增區(qū)間. （1） （2）【解析】根據(jù)函數(shù)圖像的上升和下降趨勢，確定增減區(qū)間：（1） 、由圖像上可知，(1,4和(4,6內(nèi)呈上升趨勢，所以增區(qū)間為(1,4和(4,6；（2） 、由圖像上可知，和內(nèi)呈上升趨勢，所以增區(qū)間為和.注意：多個單調(diào)性相同的區(qū)間的寫法，和區(qū)間端點是否有意義，確定區(qū)間端點的開閉.3、 下圖為函數(shù)，的圖像，指出它的最大值、最小值.【解析】觀察圖像可知，圖像的最高點事(3,3)，最低點是(-1.5,-2)，因此函數(shù)在x=3時取得最大值，即=3；在x=-1

6、.5時取得最小值，即=-2.難點透析·加深思考1、 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值，在指定區(qū)間任取，令<（或<）；作差變形，將（或）進(jìn)行化簡變形，使之容易判斷其符號；定號，對變形后的差進(jìn)行判斷，確定（或）的符號，若不能直接定號，則需要進(jìn)一步討論或再細(xì)分區(qū)間，直到可以確定差的符號為止；判斷，判斷函數(shù)究竟符合增函數(shù)還是減函數(shù)的定義，從而得出結(jié)論.例題1、證明：在其定義域上是增函數(shù).【證明】用函數(shù)的單調(diào)性定義證明，嚴(yán)格按照以上四個步驟進(jìn)行.由題意可知得定義域為.設(shè)，是定義域上任意兩個實數(shù)，且<，則=.<，-<0，<0，即，在其定義域上是增函數(shù).例

7、題2、證明函數(shù)在0,1上是減函數(shù).【證明】由題意可知得定義域為.設(shè)，是上任意兩個實數(shù)，且<，則=.0<<，>0，函數(shù)在0,1上是減函數(shù).2、 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法（1） 、定義法，即“取值作差變形定號判斷”（最基本方法）.（2） 、圖像法：直接根據(jù)函數(shù)圖像的升、降趨勢進(jìn)行判斷.（3） 、直接法：運用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性.例題3、已知在(0,1)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】在沒有學(xué)導(dǎo)數(shù)之前，第一要想到的是用定義證明單調(diào)性.設(shè)時，=，由在(0,1)上是增函數(shù)可知，a3.例題4、畫出下列函數(shù)圖像并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1） 、；（2） 、；【解析】

8、（1）、，即據(jù)圖可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和.函數(shù)可以看做，為偶函數(shù)，相當(dāng)于將y軸右側(cè)對折到y(tǒng)軸左側(cè).（2） 、當(dāng)時，有-1x3，函數(shù)=.當(dāng)時，有x<-1或x>3，函數(shù)=，即據(jù)圖可知單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和.函數(shù)相當(dāng)于函數(shù)將x軸下方的圖像對折到x軸上方.例題5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】可以用分離常量的方法，可知定義域為和，因為x為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以f(x)在和上為增函數(shù).注意：基本初等函數(shù)的單調(diào)性（1） 、正比例函數(shù)y=kx(k0)當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).（

9、2） 、一次函數(shù)y=kx+b(k0)當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).（3） 、反比例函數(shù)當(dāng)k>0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k<0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)遞減區(qū)間.（4） 、二次函數(shù)，當(dāng)a>0時，f(x)在上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f(x)在上是單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例題6、下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是（ ）.A、 y=3-xB、C、D、【解析】A中函數(shù)y=3-x在定義域R上都是減函數(shù)；B中在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；C中在為增函

10、數(shù)，在上為減函數(shù)；D中對稱軸為x=1，所以在（0,2）上不具有單調(diào)性，故答案為B.注意：函數(shù)單調(diào)性常用的結(jié)論（1） 、函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y= -f(x)的單調(diào)性相反.（2） 、函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y= f(x)+c（c為常數(shù)）的單調(diào)性相同.（3） 、當(dāng)a>0時，函數(shù)y=a·f(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)a<0時，函數(shù)y=a·f(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相反.（4） 、若f(x)0，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)，的單調(diào)性相同.（5） 、當(dāng)f(x)的值恒為正或恒為負(fù)時，函數(shù)和函數(shù)f(x)的單調(diào)性相反.（6） 、若f(x)>0，g(x)>

11、;0，且在公共區(qū)間上都是增（減）函數(shù)，則y=f(x)g(x)在此區(qū)間上是增（減）函數(shù)，若f(x)<0，g(x)<0，且在公共區(qū)間上都是增（減）函數(shù)，則y=f(x)g(x)在此區(qū)間上是減（增）函數(shù).（7） 、在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù).例題7、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】，函數(shù)定義域為，-x在定義域上為減函數(shù)，由于a>0，在和分別是減函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)，所以的單調(diào)減區(qū)間為，.3、 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法一般地，對于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)，如果t=g(x)在(a,b)上是單調(diào)函數(shù)，并且y=f

12、(t)在(g(a),g(b)或者(g(b),g(a)上也是單調(diào)函數(shù)，那么y=f(g(x)在(a,b)上的單調(diào)性如下表所示，簡記為“同增異減”.t=g(x)y=f(x)y=f(g(x)增增增增減減減減增減增減例題8、已知，試討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】函數(shù)是由和復(fù)合而成，在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，而，在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)u1時，x -2或x2；當(dāng)u1時，-2 x 2，所以-2和2也是分界點.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列表如下：增增減減減增增減減增減增故函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.4、 抽象函數(shù)的單調(diào)性沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù). 常用兩種方法，一種是“湊”，湊定

13、義或湊已知；一種是“賦值”，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，使得條件和結(jié)論可以聯(lián)系起來.例題9、已知函數(shù)f(x)對任意的x、yR，總有，且當(dāng)x>0時，f(x)<0，f(1)=.（1） 、求證：f(x)在R上是減函數(shù)；（2） 、求f(x)在-3,3上的最大值、最小值.【解析】（1）、設(shè)、，且<，又<，->0，有，f(x)在R上是減函數(shù).（2） 、令x=y=0，得f(0)=0，再令y= -x，得f(x)=-f(-x)，由（1）可知f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在-3,3上的最大值為f(-3)，最小值為f(3)，f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(

14、1)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，故f(x)在-3,3上的最大值為2，最小值為-2.例題10、設(shè)f(x)是定義在上的函數(shù)，且當(dāng)x>1時，f(x)>0；對任意實數(shù)x，y都有，若f(5)=1，試解不等式.【解析】設(shè)、，且<，又<，>1，f(x)在上為增函數(shù). 又f(5)=1，f(25)=f(5)+f(5)=2，又f(x)在上為增函數(shù)，.綜上，原不等式的解集為.（此題中函數(shù)單調(diào)性的正逆互推）5、 對勾函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的圖像如右圖所示，虛線所示函數(shù)為y=x.(x0，先取、，且<，有=，其中和的符號均可以確定，特殊情況下若，則時=0，可以將討論區(qū)間分

15、為，).證明如下：設(shè)、，且<，則-<0，>0，0<<a，-a<0.=>0，即.在上單調(diào)遞減.同理可證在上單調(diào)遞增；在遞增；在遞減.6、 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)的最值問題主要討論的就是所求最值區(qū)間與對稱軸之間的位置關(guān)系.例題11、已知，當(dāng)f(x)的定義域為下列區(qū)間時，求函數(shù)的最大值和最小值.(1)、0,3；（2）、-1,1；（3）、【解析】，可知函數(shù)f(x)的對稱軸為x=2，最小值為-7，圖像如圖所示.（1） 、，f(x)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.可得=5，=-7；（2） 、由圖像可知在區(qū)間-1,1上=20，=-4；（3） 、由圖像可知在區(qū)間上=-4，無最大值.例題12、已知二次函數(shù)在區(qū)間上最小值為-2，求a的值.【解析】函數(shù)的對稱軸為x=a.（1） 、當(dāng)a<0，f(x)在上單調(diào)遞增，=a，a=-2；（2） 、當(dāng)a>3，f(x)在上單調(diào)遞減，=9-5a=-2，a=<3（舍去）；（3） 、當(dāng)0a3，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，=-2，a=2或a=-1（舍去），得a=2；綜上：a=2或a=-2.7、 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要應(yīng)用的是利用單調(diào)性的互為逆推性質(zhì)，判斷函數(shù)值的大小關(guān)系或自變量的大小關(guān)系.