貴州省貴陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 角度制弧度制同角三角函數(shù)學(xué)案11

1、專題任意角的三角函數(shù) 1.知識(shí)積累1. 單位圓:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓.2. 任意角的三角函數(shù)的定義:如圖，在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長(zhǎng)度為,線段的長(zhǎng)度為.則；。利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)比值叫做的正弦(sine),記作,即；(2)比值叫做的余弦(cossine),記作,即；(3)比值叫做的正切(tangent),記作,即。(4)比值叫做的余切,記作，即；(了解)(5)比值叫做的正割,記作，即；(了解)(6)比值叫做的余割,記作，即(了解)說明:(1)三

2、角函數(shù)也是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從一個(gè)角的集合(弧度制)到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng)，并且對(duì)任意一個(gè)角，在比值集合中都有唯一確定的象與之對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的自變量是角，比值是角的函數(shù)(2)當(dāng)時(shí)，的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義,除此情況外，對(duì)于確定的值，上述三個(gè)值都是唯一確定的實(shí)數(shù).(3)當(dāng)是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.(4)正弦,余弦,正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).(5)三角

3、函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角的終邊位置確定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)3. 三角函數(shù)的定義域,函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin Rcos Rtan |k，kZ歸納口訣：一全正，二正弦、三余弦、四余弦。該口訣表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值4. 誘導(dǎo)公式1、 由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：，其中這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02間角的三角函數(shù)值問題2、 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（

4、對(duì)而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。5. 各特殊角的三個(gè)三角函數(shù)值角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度02sin 01010cos 10-101tan 01不存在-1-0不存在06. 三角函數(shù)線的定義：以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或

5、1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終

6、邊交于點(diǎn),根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線，即sin MP，cos OM，tan AT.。注：三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字

7、母在前，終點(diǎn)字母在后面。三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“站在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)”。7. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：注意：（1）公式成立的條件sin2cos21對(duì)一切R均成立，tan 僅在時(shí)成立（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos221，tan 8等都成立，理由是式子中的角為“同角”（3）使用平方關(guān)系sin ±，cos ±，“±”由角所在象限來確定（4）對(duì)于同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)注意

8、變用及逆用如：sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2，sin tan ·cos ，cos ，tan 等（5）的互換：2.典型例題第一部分：任意角的三角函數(shù)【例1】 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4a,3a)(a0)，求sin 、cos 、tan 的值解：r5|a|.若a>0，則r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a<0，則r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .變式訓(xùn)練11：角的終邊過點(diǎn)P(8m，6cos 60°)且cos ，則m的值是()(A) (B) (C) (D)解析：P(8m，3)，cos .m. 故選A.【例2

9、】 判定下列各式的符號(hào)：(1)tan 191°cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4.解：(1)191°是第三象限角，tan 191°0，cos 191°0，tan 191°cos 191°0.(2)2，3，4，2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角sin 20，cos 30，tan 40.sin 2cos 3tan 40.變式訓(xùn)練：若是第二象限角，則的符號(hào)是什么？解：2k2k(kZ)，1cos 0,4k24k2，1sin 20.sin(cos )0，cos(sin 2)0. 0.變式訓(xùn)練：若sin

10、2>0，且cos <0，試確定的終邊所在象限解：sin 2>0，2k<2<2k(kZ)，k<<k(kZ)當(dāng)k為偶數(shù)，設(shè)k2m(mZ)有：2m<<2m(mZ)；當(dāng)k為奇數(shù)，設(shè)k2m1(mZ)有：2m<<2m(mZ)為第一或第三象限角又cos <0，的終邊在第三象限【例3】 求下列各式的值(1)a2sin(1350°)b2tan 405°(ab)2tan 765°2abcos(1080°)；(2)sin()cos·tan 4.解：(1)原式a2sin(4×360

11、76;90°)b2tan(360°45°)(ab)2tan(2×360°45°)2abcos(3×360°) a2sin 90°b2tan 45°(ab)2tan 45°2abcos 0°a2b2(ab)22ab0.(2)原式sin(2)cos·tan 0sin.變式訓(xùn)練：求值：(1)sin(1320°)cos 1110°cos(1020°)·sin 750°tan 495°；(2)cos()tan；(3)

12、已知tan ，且0，求的值解：(1)原式sin(4×360°120°)cos(3×360°30°)cos(3×360°60°)sin(2×360°30°)tan(360°135°)sin 120°cos 30°cos 60°sin 30°tan 135°××10.(2)原式cos(4)×2tan(2×2)costan1.(3)由tan 可設(shè)的終邊上一點(diǎn)為(3x，x)，

13、x>0，sin ，cos ，.【例4】 求下列函數(shù)的定義域：(1)y；(2)ylg(34sin2 x)解：(1)如圖(1)2cos x10，cos x.函數(shù)定義域?yàn)?k，2k(kZ)(2)如圖(2)34sin2x>0，sin2x<， <sin x<.函數(shù)定義域?yàn)?2k，2k)(2k，2k)(kZ)，即(k，k)(kZ)變式訓(xùn)練1：利用單位圓解不等式(組)(1)3tan >0；(2).解：(1)原不等式可化為3tan >，即tan >，則不等式的解的集合如圖(陰影部分)所示，|k<<k，kZ(2)原不等式組可化為即則不等式組的解的集合如

14、圖(陰影部分)所示，x|2kx<2k，kZ【例5】 求函數(shù)y的定義域解：要使函數(shù)有意義，需或x2k，2k)(2k，2k，kZ，即定義域?yàn)?k，2k)(2k，2k，kZ.第二部分：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系【例1】 已知cos ，求sin ，tan 的值解：cos 0且cos 1，是第二或第三象限角當(dāng)為第二象限角時(shí)，sin ，tan .當(dāng)為第三象限角時(shí)，sin ，tan .【例2】 已知tan 3，求下列各式的值(1)；(2)2sin23sin cos .解：(1)原式(2)原式.【例3】 已知0<<，sin cos ，求tan 的值解：由sin cos 兩邊平方易得sin co

15、s <0，又0<<，sin >0，cos <0，則sin cos >0，sin cos 由解得sin ，cos ，所以tan .變式訓(xùn)練：已知<x<0，sin xcos x.求sin xcos x的值解：法一：由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x.又<x<0，sin x<0，cos x>0，sin xcos x<0，sin xcos x.【例4】 化簡(jiǎn)：.解：原式變式訓(xùn)練：若tan ，則的值為_解析：ta

16、n ，4.【例5】 求證：.證明：左邊 右邊原式成立變式訓(xùn)練：證明：.證明： ，.【例6】 若sin A，且A是三角形的一個(gè)內(nèi)角，求的值解：因?yàn)閟in A，所以cos A±±，當(dāng)cos A時(shí)，6；當(dāng)cos A時(shí)，.故所求的值為6或.變式訓(xùn)練：已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A；(2)判斷ABC是銳角三角形，還是鈍角三角形？解：(1)因?yàn)閟in Acos A，所以兩邊平方得12sin Acos A，sin Acos A.(2)由(1)sin Acos A<0，且0<A<，可知cos A<0，所以A為鈍角，所以ABC是鈍角

17、三角形 3.當(dāng)堂檢測(cè)一、選擇題1角的終邊過點(diǎn)P(1,2)，則sin 等于()A. B. C D2若角的終邊過點(diǎn)(-3，-2)，則()Asin tan0Bcos tan0Csin cos0Dsin tan03角的終邊上有一點(diǎn)P(a，a)，aR，且a0，則sin的值是()AB-C±D14.是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P(x,)，且，則sin的值為（）ABCD5.使lg(cos·tan)有意義的角是（）A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D第一、二象限角或終邊在y軸上6.設(shè)角是第二象限角，且|cos|cos，則角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角7. 等于（ ）A. B. C. D. 8若tan，則cos2sincos的值是A. B. C. D. 9. 已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）A. B. C. D. 10若（，），則等于A.cossinB.sincosC.sincosD.cossin二、填空題1已知角的終邊落在直線y3x上，則sin_2已知P(-，y)為角的終邊上一點(diǎn)，且sin，那么y的值等于_3已知銳角終邊上一點(diǎn)P(1，)，則的弧度數(shù)為_4sintan_5、的值為_6、函數(shù)y的定義域是_7、已知，則_8、已知，則_；_三、解答題1已知角