解析匯報幾何中定值與定點問題

1、解析幾何中定值與定點問題【探究問題解決的技巧、方法】(1)定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數無關在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的.(2)解圓錐曲線中的定點、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再 視具體情況進行研究.【實例探究】題型1 ：定值問題：1 2例1:已知橢圓C的中心在原點，焦點在 x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線.： 的2腐焦點，離心率等于：(I)求橢圓 c的標準方程；(H)過橢圓 C的右焦點作直線I交橢圓C于A B兩點，交y軸于M點，若MA- AFtMB二給鳥氏求證召+易為定值.5:則由題意

2、知b=1.(II)方法一：設A、B、M點的坐標分別為易知F點的坐標為(2, 0).Ata =(可珂)=嘉(2眄廠乃).2JLy街=. + +召將A點坐標代入到橢圓方程中，得2J去分母整理得1'' - J同理鉱二4辭得:才+10& +5-5 =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲兩個根, ，”召 +血 -10.方法二：設A、B、M點的坐標分別為又易知F點的坐標為（2, 0）.顯然直線I存在的斜率，設直線I的斜率為k,則直線I的方程是 y-k（x-2）. 將直線I的方程代入到橢圓 C的方程中，消去y并整理得a + 5ta）?-20Px+20ta-5 = 0.20, -

3、5X2 - X1 + 5*2v MA = AFMB =誦細點坐標代入得石=又2佃+乃）_2盂厲4- 2（嗎+勺）+斤盂2例2.已知橢圓C經過點A（1,3/2）,兩個焦點為（-1,0）,（1,0）.1）求橢圓方程2） E、F是橢圓上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明：直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值（1）a2-b2=c2 =1設橢圓方程為 x2/（ b2+1）+y2/b2=1將（1，3/2）代入整理得 4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以橢圓方程為x2/4+y2/3=1（2）設AE斜率為k則 AE 方程為 y-（3/2）=k（x-1）x2/4+y2/

4、3=1，聯立得出兩個解一個是A（ 1,3/2 ）另一個是E（ x1，y1）代入消去 y 得（1/4+k2/3）x2-（ 2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根據韋達定理x1 = （ k2/3-k-1/4 ） / （1/4+k2/3將的結果代入式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ） /（1/4+k2 /3）設 AF 斜率為-k，F (x2，y2) 則 AF 方程為 y- (3/2 ) =-k (x-1 x2/4+y2/3=1 聯立同樣解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3)y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF斜率為(y2-

5、y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直線EF斜率為定值，這個定值是1/2。，且過點(.2,1).32 2例3、已知橢圓 冷 爲-1(a b 0)的離心率為a2b2(I)求橢圓的方程；(n)若過點 C (-1, 0)且斜率為k的直線I與橢圓相交于不同的兩點A, B，試問在x軸上是否存在點 M，使MA MB 牙 是與k無關的常數？若存在，求出點 M的坐標；若3k2 +1不存在，請說明理由.解：(1 )橢圓離心率為 , -6 , %3 a 3 a 3又T橢圓過點(血,1)，代入橢圓方程，得 +4=1.a2 b2所以a2 =5,b2更.32 2橢圓方程為 '丄=1，即x2 3y2 =5.55

6、3(2)在x軸上存在點M (丄,0)，使MA MB 5 是與K無關的常數.63k2 十1一 _I I5 一 證明：假設在x軸上存在點M ( m,0),使MA MB 2 是與k無關的常數， 3k2 +12 ，c 2廠x +3y =5,廠k(x+1),直線L過點C (-1, 0)且斜率為K, L方程為y二k(x 1),2 2-6k3k -5,X1 X21得(3k2 - 1)x2 6k2x 3k2 -5 =0.23k 1設 A(x1, y1), B(x2, y2)，則劉 x?23k-+T亠3k2 15 MA * m,yJ,MB *2my?),5二 MA MB 誰(X1 -m)(X2 -m) y1=X

7、1 -m X2 -m k2 X1 1 x? 12 彳3k +1=1 k2 皿2k21 _m 嘆 x2m2 k25 -3k2 +1=1 k2k23k +1-6k22 .-m 2 m k 3k 153k2 1,2 小，2 小 2, 22-k 6mk 3m k m23k 1設常數為t,則-k2 亠6mk2 亠3m2k2 亠m23k2 十1整理得(3m2 6m _1 _3t)k2 -m2 _t =0對任意的k恒成立, 2解得3m 6m -1 -3t =0,m2 _t =0.1即在X軸上存在點M（訐），5使MAMB 冇是與K無關的常數題型2:定點問題2 2例4.已知橢圓C:篤與=1 （a > b

8、> 0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直a b2角三角形，直線 x-y+b=0是拋物線y =4x的一條切線。（1 ）求橢圓的方程；（2）過點S（ 0，-1/3 ）的動直線L交橢圓C于A,B兩點，試問：在坐標平面上是否存 在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點 T?若存在，求出點 T的坐標；若不存在，請 說明理由。解：（I）由 l>1 = 4x 得咖+X 二譏直線嚴時b戟贈G:於"X的一剝建爲所以"OHH1 *1當直線1與山平行時，以AB為直徑的圓方程/亠。寫-今當星妒與y涎含時，以AB為直徑的便和站所以兩圓的切馱點（0, 1>所求的點T為點<

9、;0, 1）,證明如"當單切與X軸垂直吋，決AB為宜徑的圈a點<0, 1) *二自線1嶼并軸不垂直時，可設jg茹：為:v =fct '3土7r = 1 得（匹疋 + 9）2 122 亠 16 = 0.X豐旳=?18k"+9八T6 恥=18+9+16 罠 -16設越無.JlX*(E、)則711 73 = xXj仙 +可)+ 詈二(1 卡 P)Ilk 16*" 耳普。18+9 3 lSt:+9 9所以J3亠尬，即以AB対直徑的圈辿S (0, I)所以存在一個罡點T,便得以AB為畳徑+/ =1例5.在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓 C:；，如圖所示，斜

10、率為 k (k >0 )且不過原點的直線I交橢圓C于A , B兩點，線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x=-3 于點D (-3 , m )(I)求m 2+k 2的最小值；(n)若 |OG| 2=|OD|-|OE|,(i)求證：直線I過定點；(ii)試問點 B, G能否關于x軸對稱？若能，求出此時 ABG的外接圓方程；若不能,請說明理由。解:(I)由題意：設直線 I: y=kx+ n(n 丸),X 庁 二，消y得：Q +詢宀曲+新,_6血則由韋達定理得:-3kn兀。二7即 Il+3ta1+3疋(-3kn n所以中點E的坐標為E ；二：二"因為0、E、D三點在同一直

11、線上，所以koE=k od ,1 tn1-=-m-即廣 ，解得：，所以m2+k2= '，當且僅當k=1時取等號,即m2+k 2的最小值為2。(H) (i)證明：由題意知：n > 0，因為直線y -0D的方程為V X3+ v12T F 4A5 . o.3得交點G的縱坐標為+3所以由又因為yn mo心 ，且 |OG|2=|OD|0E| ,所以又由(I)知:1耕二k，所以解得k=n ,所以直線l的方程為I: y=kx+k，即有I: y=k (x+1 ), 令x=-1得，y=0，與實數k無關，所以直線I過定點(-1 , 0);x軸上,(ii)假設點B, G關于x軸對稱，則有 ABG的外接

12、圓的圓心在又在線段AB的中垂線上，由(i)知點所以點B-in又因為直線I過定點(-1 , 0),朋十3 _ uL +1所以直線I的斜率為W +3又因為又因為1m- ，所以解得二-或6 ,3-朋沁,所以m2=6舍去，即m2=1 ,(j 1)此時 k=1 , m=1 , E 3-AB的中垂線為 2x+2y+1=0,(-訥手4圓心坐標為 -,G ，圓半徑為-,(x-f+y2=-圓的方程為;(x-i)2 +y2 =綜上所述，點B,G關于x軸對稱，此時 ABG的外接圓的方程為。21 橢圓C : 2a【針對練習】2 -1 (a b 0)的左、右焦點分別是 F, F2,離心率為一3 ,過F,且垂直b2于X軸

13、的直線被橢圓C截得的線段長為1.(I)求橢圓C的方程； (n )點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點 ，連接PF, PF2,設.F,PF2的角平分線PM交C的長軸于點M (m,0),求m的取值范圍；(川)在(n)的條件下，過P點作斜率為k的直線l,使得I與橢圓C有且只有一個公共點，設1 1直線PF1, PF2的斜率分別為k1,k2,若k = 0,試證明為定值,并求出這個定值.kk1 kk22、如圖，S(1 “是拋物線為上的一占= 2px(p . 0)上的占，以S為圓心，r為半徑做圓，分別交X軸于A, B兩點，連結并延長 SA、SB,分別交拋物線于 C、D兩點。(I )求證：直線CD的斜率為定值；

14、(n )延長DC交x軸負半軸于點E ,若EC : ED = 1 : 3，求sin 2 CSD cos CSD 的值。3、已知橢圓2 2xv13c：22 -1( a b 0)的離心率為一，點(1,)在橢圓C上.ab22(I )求橢圓C的方程；(n )若橢圓C的兩條切線交于點M(4,t),其中tR,切點分別是 A、B,試利用結論：在橢圓2 2篤當=1上的點(Xo,y。)處的橢圓切線方程是答轡=1,證明直線AB恒過橢圓的右abab隹占f ；2 ,1 1(川)在(n)的前提下，試探究的值是否恒為常數，若是,求出此常數；若不是，請|AF2 | | BF2 |說明理由.2 2X v4、橢圓C :二 2 =

15、1 (a b 0)的離心率為a b1丄，其左焦點到點2P(2,1)的距離為S0 (1)求橢圓C的標準方程； 若直線丨：y二kx m與橢圓C相交于A B兩點(A、B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線I過定點，并求出該定點的坐 標.5、如圖，已知橢圓2C :y2 =1,代B是四條直線X = 一2, y = 一1所圍成長方形的兩個頂4占八、-(1 )設P是橢圓C上任意一點，若 OP二mOA nOB,求證：動點Q(m,n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；(2)若M、N是橢圓C上的兩個動點，且直線 OM、ON 的斜率之積等于直線 OA、OB的斜率之積，試探求 OMN 的面積是

16、否為定值，說明理由 .2 2 .2篤詈1 "上a b 得 a所以橢圓方程為 42 Xy2 =1(n)由題意可知，設P(xo,yo)其中X。4 ,將向量坐標代入并化簡得：m( 4Xo -16)= 3Xo - 12Xo,因為Xo 4 ,【針對練習參考答案】2 2 21解：(I)由于c =a -b，將X二-C代入橢圓方程由題意知號"即a=2b233 3所以 m = 4X0,而 Xo 丟(一2,2),所以(-?，?)(3)由題意可知,1為橢圓的在p點處的切線，由導數法可求得，切線方程為：X)xx0y0y0八、11 yo y = 1,所以k,而k1*2,代入中得44yox 3 x -

17、 3kk| kk?-8為定值.2、解(1)將點(1, 1)代入y2 =2px，得2p =1拋物線方程為y2設直線SA的方程為y -1 = k(x-1),C(X|,yj與拋物線方程y2 =x 聯立得：1ky2 _ y 1 _ k =0 丫1 1 = y11 2=._1(1-k)1八1.C(匚F，1)kk2 k由題意有SA二SB,.直線SB的斜率為2 2(1 k) (1 k)k2k2(2)設 E(t,O) EC 二1 ED32J(耳)rW(1k2k) t十 1)kk 3 kk21 /(1 k)1 _1_1) k =2k 3 k1直線SA的方程為廠21A(2,0)3同理B(3,0)22 2 2.co

18、s. CSD =cos. ASB=SA SB ABsin. CSD=42SB SA24sin 2. CSD 二25因此:sin 2. CSD cos. CSD 二 39253、解:(I )設橢圓C的方程為篤爲=i(a b 0)a b)在橢圓C上,丄丄日,a 4b由得：a22 2= 4,b2 =3 橢圓C的方程為-i,43(n )設切點坐標A(Xi,yJ,B(X2,y2),則切線方程分別為 - 丄 i,空空 冷.4343又兩條切線交于點 M(4, t),即即點A、B的坐標都適合方程-y i, X2 - y2 = i33-y =i，顯然對任意實數t，點(i,0)都適合這個方程,3故直線AB恒過橢圓

19、的右焦點(川)將直線AB的方程x =F2.tt22-y i,代入橢圓方程，得3(y i) 4y -i2=0,332即(4)y2 -2ty -0所以出 y yy 23t2 i2t2 i2不妨設 yi 0, y2 ： 0 ,| AF2 = . ( -1)2yi2(t9 i)yi2yi,同理|BF2 卜t2 9y2所以L-IAF2I |BF2|- J2 9 yi所以ii的值恒為常數IAF2I |BF2|i -)y243,(y2 - yi/t2 9 y”2t2 9y2c4、解：(i)由題：e =a左焦點(一c,0)到點P(2,i)的距離為：d = .(2 + c) 2 + i 2由可解得c = 1 ,

20、 a = 22X_所求橢圓C的方程為4b 2 = a 2-c 2 = 3.2y- = i31 -y1A7 x3) x + 8kmx + 4m i2 = 0 .lFi。A2P(2 )設 A(xi,yi)、B(X2,y2),將y = kx + m代入橢圓方程得(4 k 2 +B2Xi + X2 =8km4m 122xi X2 =24k + 3，X1X24k + 3 ，且 y1 = kx1 + m, y2 = kx2 + m./ AB為直徑的圓過橢圓右頂點A2(2,0)，所以 A2A ?A2B = 0.所以(X12,y”(X2 2,y2)=(X1 2) (x? 2) +目忻=(X1 2)(x? 2) + (kx1 +m) (kx2 +m)2 2=(k