集合與簡易邏輯

1、高中數(shù)學第一冊(上)第一章 集合與簡易邏輯教材分析【知識結構】本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(可看做集合的化簡) 、簡易邏輯三部分：【知識點與學習目標】【高考評析】集合知識作為整個數(shù)學知識的基礎， 在高考中重點考察的是集合的化簡， 以及利用集合與簡易邏輯的知識來指導我們思維，尋求解決其他問題的方法 學習指導【學法指導】本章的基本概念較多，要力求在理解的基礎上進行記憶【數(shù)學思想】 1等價轉化的數(shù)學思想；2求補集的思想；3 分類思想；4 數(shù)形結合思想【解題規(guī)律】1 如何解決與集合的運算有關的問題1) 對所給的集合進行盡可能的化簡；2) 有意識應用維恩圖來尋找各集合之間的關系；3) 有意識運

2、用數(shù)軸或其它方法來直觀顯示各集合的元素2 如何解決與簡易邏輯有關的問題1) 力求尋找構成此復合命題的簡單命題；2) 利用子集與推出關系的聯(lián)系將問題轉化為集合問題引言通過一個實際問題，目的是為了引出本章的內容。1、分析這個問題，要用數(shù)學語言描述它，就是把它數(shù)學化，這就需要集合與邏輯的知識；2、要解決問題，也需要集合與邏輯的知識在教學時，主要是把這個問題本身講清楚，點出為什么“回答有20 名同學參賽”不一定對而要進一步認識、討論這個問題，就需要運用本章所學的有關集合與邏輯的知識了§集合教學目的 通過本小節(jié)的學習，使學生達到以下要求：(1) 初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集及其記法； (2

3、) 初步了解“屬于”關系的意義； (3) 初步了解有限集、無限集、空集的意義教學重點與難點 本小節(jié)的重點是集合的基本概念與表示方法；難點是運用集合的兩種常用表示方 法列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合教學過程本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合 實例對集合的概念作了說明然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫 圖表示集合的例子1、集合的概念：在初中代數(shù)里學習數(shù)的分類時，就用到“正數(shù)的集合” ，“負數(shù)的集合”等此外，對于一元一次不 等式2x 一 1> 3,所有大于2的實數(shù)都是它的解我們也可以說，這些數(shù)組成這個不等式的解

4、的集合， 簡稱為這個不等式的解集在初中幾何里學習圓時，說圓是至U定點的距離等于定長的點的集合幾何圖形都可以看成點的集 合.一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.這句話，只是對集合概念的描述性說明集合則是集合論中原始的、不定義的概念在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例， 對概念有一個初步認識.例如，“我?；@球隊的隊員”組成一個集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也組成一個集合我們一般用大括號表示集合，上面的兩個集合就可以分別表示成4我?；@球隊的隊員 ）與 4 太平洋。大西洋，印度洋，北冰洋 ） 為了方便起見，我們還經(jīng)常用大寫的拉丁 字母表示集合例如， A=太平洋，大西洋

5、，印度洋，北冰洋，B= 1, 2，3, 4，5.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.例如，“地球上的四大洋"這一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋集合的元素常用小寫的拉丁字母表示。2、集合中的元素具有確定性、互異性、無序性：集合中的元素必須是確定的。 這就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也 就確定 7。例如，給出集合 （地球上的四大洋 ） ，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四個元素其 他對象都不是它的元素又如。 “我國的小河流"就不能組成一個集合，因為組成它的對象是不確定 的。集合中的元素是互異的。 這就是說，集合中的元素是沒有重復現(xiàn)象的，

6、任何兩個相同的對象在同 一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素集合中的元素是無序的。 這就是說，集合中的元素排列與順序無關。3、常用的數(shù)集及其記法：全體非負整數(shù)的集合通常簡稱 非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N,非負整數(shù)集內排除0的集，也稱 正整數(shù)集 ，表示成 N 或 N ；全體整數(shù)的集合通常簡稱 整數(shù)集 ，記作 Z； 全體有理數(shù)的集合通常簡稱 有理數(shù)集 ，記作 Q； 全體實數(shù)的集合通常簡稱 實數(shù)集 ，記作 R（教科書中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國家標準，與原教科書不盡相同，應該注意以下兩 點：(1) 自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0;(2) 非負整數(shù)集內排除 0的集

7、，表示成N或N。新的國家標準定義自然數(shù)集 N含元素0.這樣做一方面是為了推行國際標準化組織 (ISO)制定 的國 際標準，以便與之早日相銜接；另一方面，0還是十進位數(shù) 0, 1, 2,，9中最小的數(shù)，有了 0，減法運算aa仍屬于N,其中a N.)4、集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法：列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法.2例如，由方程 x 1 = 0的所有的解組成的集合，可以表示為-1，1 ；又如，由所有大于 0巳小于10的奇數(shù)組成的集合，可以表示為1，3，5, 7，9。描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法. 例如，不等式x-3 > 2的解集可以表示為 x R

8、| x-3 > 2;(列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法要注意，一般無限集，不宜采用列舉法，因為不能將無限集中的元素一一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定.)5、集合的分類：一般地，含有有限個元素的集合叫做有限集.一般地，含有無限個元素的集合叫做無限集.不含任何一個元素的集合叫做空集記作©。6、素與集合之間的關系：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作a A;如果a不是集合A的元素，就說a 不屬于集合 A,記作a A(或a A).例如，設 B= 1, 2, 3, 4, 5,那么 5 B, 8 B.7、練習：P5與P6練習。P7習題第1題、第

9、2題的、。8、小結：(略)。9、作業(yè)：P7習題第2題的、。練習冊：§集合的內容。§ 1 . 2子集、全集、補集教學目的 通過本小節(jié)的學習，使學生達到以下要求：(1) 了解集合的包含、相等關系的意義；(2) 理解子集、真子集的概念；(3) 理解補集的概念；(4) 了解全集的意義.教學重點與難點本小節(jié)的重點是子集、補集的概念，難點是弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別。教學過程本小節(jié)分為兩部分：第一部分講子集，第二部分講全集與補集.第一部分先介紹集合與集合之間的“包含”與“相等”關系，并引出于集的概念，然后，對比集 合的“包含”與“相等”關系，得出真子集的概念以及子集與真子集的

10、有關性質.第二部分是在子集概念的基礎上講述補集的概念，并介紹了全集的概念.1、子集的定義：先看集合與集合之間的“包含”關系設A= 1 , 2, 3, B = 1, 2, 3, 4, 5,集合A是集合B的一部分，我們就說集合 B包含集合A。一般地，對于兩個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，我們就說集合A 包含于集合B,或集合B包含集合A,記作A B（或B A） 這時我們也說集合A是集合B的子集.當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時，則記作A B（或B A）.規(guī)定：空集是任何集臺的子集。也就是說，對于任何一個集合 A有$ Ao2、集合與集合的相等 ：一般地，對于兩

11、個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，同時集合 B 的任何一個元素都是集合 A的元素， 我們就說集合A等于集合B記作 A = Bo3、真子集的定義：對于兩個集合 A與B,如果A B,并且A工B,我們就說集合A是集合B的真子集,記作A B（或B A） o（關于子集與真子集的記法，教科書中采用的是新的國家標準，與原教科書不盡相同，應該注 意；在開始接觸子集與真子集的符號時，要提醒學生注意這些符號的方向不要搞錯.）4、性質： A A （任何一個集臺是它本身的子集）； 空集是任何非空集合的真子集 ； 對于集合 A, B, C,如果A B, B C,那么A C. 同樣可知，如果A

12、B, B C,那么A C. 對于集合A, B,如果A B,同時B A那么A= B.5、一些容易混淆的符號的區(qū)分： 與 的區(qū)別：是表示元素與集合之間關系的，因此，有 ie N, 1 N等； 是表示集合與集合之間關系的，因此，有N R, $ R等. a與 a的區(qū)別：一般地，a表示一個元素，而 a表示只有一個元素的一個集合. 因此，有 1 1,2,3 ,0 0 , 1 1,2,3 等，不能寫成 0= 0 , 1 1,2,3 . 0與$的區(qū)別：0是含有一個元素的集合，$是不含任何元素的集合，因此，有$ 0，不能寫成 $ =0、$ 0. $ 與$的區(qū)別： $ 是含有一個元素$的集合，$是不含任何元素的集

13、合，因此， 有$卜$卜$ $ ，不能寫成$ = $ .6、補集和全集的定義：一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集（即A S）,由S中所有不屬于 A的元素組成的 集合，叫做S中子集A的補集（或余集）。記作CS A , 即CS A = x | x S,且 x A.如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用U表示例如在實數(shù)范圍內討論問題時，可以把實數(shù)集R看作全集。有理數(shù)集Q的補集Cu Q是全體無理數(shù)的集合。 （關于補集，新的國家標準規(guī)定。與補集相關的概念是集合的差，教科書中沒有這個概念.集合A與集合B之差或集合A減集合B記作A B,即A B= x |

14、x A，且x A.要注意，上式等號右邊與補集定義中的式子類似，但意義不同在 CAB中，要求B是A的子集；AB中，B可以不是A的子集當B是A的子集的時候，也可以寫成 CAB = A B.）7、補集性質：GU=©，G© =U, CU （GA） =Ao8例題：例寫出集合 a、b、a、b、c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.并總結出 集合中的元素個數(shù)與它的子集數(shù)、真子集數(shù)之間的關系。解:（略） o例解不等式x-3 > 2,并把結果用集合表示. 解：x >5，原不等式的解集是 x | x>5.9、練習：P9與P10練習。P10習題第1題、第2題。10、小結：

15、（略）。11、作業(yè)：P10習題第3題、第4題、第5題。練習冊：§集合的內容。§ 1 . 3交集、并集教學目的 通過本小節(jié)的學習，使學生達到以下要求：（1）理解交集與并集的概念；（2）掌握有關集合的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單 的集合.K教學重點與難點 本小節(jié)的重點是交集與并集的概念，難點是弄清交集與并集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.習本小節(jié)，關鍵是要能達到會正確表示一些簡單集合的目標.教學過程本小節(jié)首先結合表示兩個集合的圖，引出交集與并集的概念，然后在完成一些練習的基礎上， 介紹了交集與并集的簡單性質.1、交集、并集的概念：一般地，由所有屬于集合 A且屬于集合B的

16、元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作AH B（讀作“ A 交 B'），即 AH B= x | X A 且 X B 由所有屬于集合 A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做 A與B的并集，記作AU B（讀作“ A并 B”），即 AU B= X | X A 或 X B .xA,xB“x A或X 匕 B>XB,XAxA,xB2、交集、并集的性質： AH A=A AH © = ©，AH B=BQ A;AU A=A AU © =A，AUB=BU A;AH B A AU B、AH BA AU B;AB A H B=A AUIB=B;QAH A=©，C

17、uaU A=U；CU (AH B) = ( Cua)U(CuB)，G(AU B)=(CuA)H(CuB);AH( B U C) = (AH B)U( AH C);AU( BH C) = ( AU B)H( AU C);3、例題例1、設 A= x | x > -2，B= x | x< 3，求 AH B.解：AH B= x | x > -2H x | x <3= x | -2 < x < 3.（解決有數(shù)集的運算問題，往往借助數(shù)軸進行數(shù)形結合。）例2、設A=X | X是等腰三角形，B= X | X 是直角三角,求 AH B.解：AH B=X | X是等腰三角形HX

18、 | X是直角三角 = X | X是等腰直角三角形例3、設A=4, 5，6, 8，B=3, 5，7, 8,求 AU B.AU B=4, 5，6, 8，U :3, 5,7, 8 = 3, 4, 5, 6,7, 8。（集合中的元素是沒有重復現(xiàn)象的，在兩個集合的并集中， 原兩個集合的公共元素只能岀現(xiàn)一次。）例4、設A= x | x 是銳角三角形 ，B= x | x 是鈍角三角形，求AU B.解：A U B = x | x 是銳角三角形 U x | x 是鈍角三角 = x | x 是斜三角形例 5、設 A= x | -1 v x V 2 ，B= x | 1 v x< 3 ，求 AU B.解：A

19、U B=x | -1 < x < 2 Ux | 1< x< 3=x | -1< x< 3例6、設A=(x, y) |y= 4x +6,B=(x , y) |y=5x - 3，求 An B.解： An B=(x,y) |y= 4x +6n (x ，y) |y=5x 3y4x6=(x , y) |(1 ，2) 。y5x3=(本題中， (z ， y) 可以看作直線上的點的坐標，也可以看作二元一次方程的一個解)例7、已知A為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集，Z為整數(shù)集，求An B, An Z,Bn乙 AUB,AU乙BUZ。解：an B=奇數(shù) n偶數(shù) =, a n z=奇數(shù) n z

20、=偶數(shù) =a,B n Z=偶數(shù) n Z= 偶數(shù) = B, A U B=奇數(shù) U偶數(shù) = z,A U Z= 奇數(shù) U Z=Z,BU Z= 偶數(shù) U Z=Z.(學習有關集合的初步知識,其目的主要在于應用具體地說,就是在學習其他知識時,能讀懂其中的簡單的集合概念和符號； 在處理簡單的實際問題時, 能根據(jù)需要, 運用集合語言進行表述 在 安排訓練時,要把握一定的分寸,不要搞偏題、怪題 )8、練習：P12與P13練習。P13習題第1題一第6題。9、小結：(略)。9、作業(yè)：P13習題第7題、第8題。練習冊：§ 交集、并集的內容。§ 1 4 含絕對值的不等式解法教學目的 通過本小節(jié)的學習

21、，使學生達到掌握丨ax+b |< c與丨ax+b丨> c (c >0)型的不等式的解法教學重點與難點 重點是| x | < a與| x |> a (a > 0)型的不等式的解法，關鍵是對絕對值意義的理 解教學過程本小節(jié)首先由實際問題引出含絕對值的不等式,然后由易到難,順次介紹了|x|< a 與| x|> a (a > 0)型、| ax+b |< c與| ax+b |> c (c > 0)型的不等式的解法.本小節(jié)開始講了一個有關商品 質量的例子,這是為了說明含絕對值的不等式是解決實際問題所需要的,教學時,還可以適當補充學 生

22、熟悉的實例.在學習含絕對值的不等式的解法時,可以先復習初中數(shù)學學過的不等式的三條基本性質： 如果 a> b，那么 a+c >b+c ；(2) 如果 a>b, c > 0,那么 ac> bc；(3) 如果a> b, c < O,那么ac< bc.不等式的基本性質是解不等式的基礎.1、不等式丨x | < a (a > 0)解集是 x | - a v x < a不等式丨x |> a (a > 0)解集是 x | x<- a,或x > a 。 (| x |< a與| x | > a (a > 0

23、)型不等式的解法，教科書是從具體例子人手講述的先考慮含 絕對值的方程| x|= 2的解，由此出發(fā)，根據(jù)絕對值的意義，結合數(shù)軸表示，就得到了含絕對值的不 等式| x | < 2與| x |> 2的解。對這個結論，應根據(jù)絕對值的意義，結合數(shù)軸表示進行講解注意，從數(shù)軸上看，| x |< a (a >0)的解集是a與a之間的部分，| x |> a (a >0)的解集是a左側與a 右側兩部分。=2、把不等式| x |< a與| x | > a (a > 0)中的x替換成ax+b，就可以得到| ax+b | < c與| ax+b | > c

24、 (c > 0)型的不等式的解法 了.在具體求解時，可以先直接在 x <a 與 x >a (a >0)型不等式的解集中進行替換，這時， 原不等式化成了一元一次不等式，然后就可以根據(jù)不等式的基本性質求解. (教學時，要注意對c< ax+b< c (c > 0)型不等式的化簡做必要的說明初學解這類不等式時，為了方便，如果所解|ax+b | < c與| ax+b | > c (c >0)型的不等式中的a是負數(shù)，可以先把a化成正數(shù)，例如要解不等式|2 x | < 5,可以先把它變形成| x 2 | < 5，再求解.=(教學時，要注

25、意控制教學要求本小節(jié)的練習、習題所解的不等式，只限于絕對值號內為一 元一次的代數(shù)式，并且是數(shù)字系數(shù)，只在習題1. 4的最后，編排了 | x a | < b (b>0)這樣的簡單的帶有字母常數(shù)的題目.=3、例題：例 1 、解不等式 x 5005。例 2、解不等式2x +5 >7。例 3、解不等式x + x 25。(根據(jù)絕對值的定義，采用“零點區(qū)分法” 。)4、 練習：P16練習。P16習題第1題、第2題、第3題。5、小結：(略)。6、作業(yè)：P16習題第3題、第4題。練習冊：§含絕對值的不等式解法的內容。§ 1. 5 一元二次不等式的解法教學目的 通過本小節(jié)的

26、學習，使學生達到以下要求：(1) 掌握一元二次不等式的解法；(2) 知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組 s(3) 了解簡單的分式不等式的解法.教學重點與難點重點是一元二次不等式的解法，關鍵是弄清一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系.教學過程本小節(jié)首先對照學生已經(jīng)了解的一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關系，利用二次 函數(shù)的圖象，找出一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系，進而得到利用二次函數(shù)圖象求 解一元二次不等式的方法然后，說明一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組，由此又引出了 簡單的分式不等式的解法1 、引入新課： 首先利用一次函數(shù)的圖象，討論一無一次方程

27、、一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系，進而導 出一元一次不等式的解集這些基本內容學生都比較熟悉，但是，初中數(shù)學并沒有專門講述這種解法， 安排這些內容，既可以復習、鞏固初中的知識，也為接下來討論二次的問題做了鋪墊直線與 x 軸交點的橫坐標，就是對應的一元一次方程的根，進一步，結合直線的位置，就可以確 定對應的一元一次不等式的解集了2、通過一個具體實例，開始對一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)之間關系進行討論的先給出二次函數(shù)y= x 2 - x6的對應值表與圖象，然后，由對應值表與圖象得出：當 x = 2,或 x = 3 時，y = 0,即 x 2 x 6= 0;當 x < 2,或 x

28、> 3 時，y > 0,即 x 2 x 6> 0; 當一2< x < 3 時，y< 0，即 x 2 x 6< 0.教科書中不但給出了函數(shù)的圖象，還給出了函數(shù)的對應值表，這是因為結合函數(shù)的對應值表才能 確定函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標，進而確定對應的一元二次方程x2 x 6= 0的根.要確定一元二次不等式 x 2 x 6> 0與x2 x 6 < 0的解集，既要考慮一元二次方程x2 x 6= 0 的根，還要考慮拋物線的開口方向在講本例時，可以只就本例的具體情形考慮，暫不討論拋物 線的開口向下類型的問題。3、結合圖象指出，拋物線 y = ax 2

29、+ bx + c(a > 0)與 x 軸的相關位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的判別式厶=b 2 4 a c 的三種取值情況(> 0、厶=0>< 0 =來確定因此，要分三種情況討論，以尋求對應的一元二次不等式ax 2 + bx + c >0與 ax 2 + bx + c< 0 (a > 0)的解集在討論了 a>0的情況以后，再提出a<0的情況，由學生完成.4、可以結合例題，指出解一無二次不等式的步驟： 先把二次項系數(shù)化成正數(shù)； 解對應的一元二次方程； 根據(jù)一元二次方程的根，結合不等號的方向，寫出

30、不等式的解集例 1、解不等式 2x 2 3x 2 > 0；例2、解不等式 3 x 2 + 6x >2；例 3、解不等式 4x 2 4x + 1 >0；例 4、解不等式 x 2 + 2x 3> 0。5、關于 ( x a ) ( x b ) > 0 、 ( x a ) ( x b ) < 0 ( a < b =型的不等式，有簡便的 解法，由（x a ） （ x b ） = 0 的根是a與b,結合“不等號的方向”可直接寫出解集.教科書是為了介紹一種更一般的解法，即把二次或二次以上的不等式化成一次不等式組的方 法一方面，這種解法可以為以后解比較復雜的不等式打基

31、礎；另一方面，這種方法也涉及了集合知 識的應用6、對分式不等式的基本要求， 僅限于可以化成一元二次不等式的類型 在全章最后的復習參考題 一的 B 組題中，有兩個簡單的、相當于三次不等式的小題，它們不屬于基本要求，但可以用簡便的方 法求解7、練習：P20及P21練習。P21習題第1題一第4題。8、小結： （略）。9、作業(yè)：P22習題第5題一第8題。練習冊：§一元二次不等式的解法的內容。集合的元素個數(shù)1本閱讀材料介紹了有關集合的元素個數(shù)的初步概念及簡單的性質 編排這個閱讀材料是為了擴 展學生的知識，提高學生的興趣，在關于中學生數(shù)學課外活動的材料中，常常會遇到與之有關的問題2閱讀這撂材料，

32、可以與本章章頭的引言結合起來順便指出，由于章頭引言的問題比較簡單，不用有關集合元素個數(shù)的公式也可以處理（用文氏圖），另外，復習參考題一的 B組題的第1題，同樣可以用有關集合元紊個數(shù)的公式§ 1 6 邏輯聯(lián)結詞教學目的 通過本小節(jié)的學習，使學生達到以下要求：（1）了解含有“或” 、“且”、“非”的復合命題的構成；（2）理解邏輯聯(lián)結詞“或” 、“且”、“非”的含義。教學重點與難點 本小節(jié)的重點是判斷復合命題真假的方法，難點是對“或”的含義的理解 教學過程初中數(shù)學中已經(jīng)有了一些關于命題的初步知識，在此基礎上，本小節(jié)首先由簡單命題出發(fā)，給出含有“或” 、“且”、“非”的復合命題的概念，然后借

33、助真值表，給出判斷復合命題真假的方法1、命題的定義：判斷一件事情的句子，叫做命題（初中） 可以判斷真假的語句叫做命題 （高中）雖然說法不同，但實質是一樣的。語句是不是命題，關鍵在于能不能判斷其真假，也就是判斷其 是否成立不能判斷真假的語句，就不能叫命題例如，“這是一棵大樹”；“ xv 2”. 都不能叫命題由于“大樹”沒有界定，就不能判斷“這是一棵大樹”的真假由于 x是未知數(shù)，也不能判斷“ x v2”是否成立.在教學時，不要在判斷一個語句是不是命題上下功夫，因為這個工作過于復雜，要求學生能夠從 正面的例子了解命題的概念就可以了.2、 邏輯聯(lián)結詞、簡單命題與復合命題：“或” “且”、“非”這些詞叫

34、做邏輯聯(lián)結詞；不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是 簡單命題；由簡單命題 與邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是 復合命題。構成復合命題的形式： p或q（記作“ pV q"）; p且q（記作“ pV q"）; 非p（記作、q"）。（開語句：語句中含有變量x或y,在沒有給定這些變量的值之前，是無法確定語句真假的. 這種含有變量的語句叫做開語句（有的邏輯書也稱之為條件命題）也可以把簡單的開語句用邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”連結起來，構成復合的開語句（有的邏輯書也稱之為 復合條件命題），這里的“或”、 “且”、“非”與復合命題中的“或”、“且”、“非”符號與意義相同在進

35、行命題教學時，要注意命題 與開語句的區(qū)別，特別在舉有關邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的例子時，容易把兩者混淆.）3、 了解含有“或”、“且”、“非”的復合命題的構成，指的是：給一個含有“或”、“且”、“非”的復合命題，能說岀構成它的簡單命題與邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”；給岀兩個簡單命題，能由它們構成含有邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的復合命題。4在講述邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”時，可以適當聯(lián)系集合與不等式的有關知識集合中的“井”、“交”、“補”，與邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”密切相關。5 .對邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的理解，與判斷復合命題真假分不開的.邏輯中的“或”、“

36、且”、“非”與日常用語中的“或”、“且”、“非”的意義是不盡相同的，要直接講清楚它們的意義， 比較困難，開始時，不必深講，可以在學習了有關復合命題的真值表之后，再要求學生根據(jù)復合命題 的真值表，對“或”、“且”、“非”加以理解.6. “或”、“且”、“非”的真值表先講“非P”形式復合命題的真假，再講“ p且q ”形式復合命題的真假，“ P或q”形式復合命題 的真假理解起來最困難，放后面講。在真值表中，是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的復合命題的真假，而不涉及簡 單命題的具體內容.對于三個真值表，可做如下說明：（1）“非p”形式復合命題的真假與 F的真假相反；（2）“p且q”形式復合

37、命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；（3）“ p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真.7. 在給岀真值表之后， 教科書又通過實例說明邏輯中的“或”與日常用語中的“或”的區(qū)別.“蘋 果是長在樹上或長在地里”這句話按真值表判斷，其為真，但在日常生活中，我們認為這句話是不妥的。在教學中，應告訴學生邏輯中的“或”與日常用語中的“或”是不同的，可以結合教科書下面給 出的兩個日常生活中和“或” 、“且”有關的例子，進一步體會學習邏輯聯(lián)結詞“或” 、“且”的意義（為什么要學習邏輯呢一方面是因為數(shù)學基礎需要用邏輯來闡明，另一方面是因為計算機離不 開數(shù)學邏輯，教科書中介紹的“或門電路”

38、、“與門電路”就是兩個在這方面應用的實例可以說計算 機的“智能”裝置是以數(shù)學邏輯為基礎進行設計的讓學生找出這樣的例子，可以結合日常生活中電 器的自動控制功能考慮，更可以充分發(fā)揮他們的想象力。由此，也就明確學習邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”的意義了）8邏輯符號 ：“或”的符號是“V” ，例如“ P或q”可以記作“ P V q”；“且”的符號是“人”，例如，“P且g”可以記作“ PAq”；“非”的符號是、”，例如，“非P”可以記作、P”.（不增加學生負擔，這部分沒有使用這些符號，只是在后面講否命題時，使用了符號.）9、練習：P26及P28練習。P29習題第1題一第4題。10、小結：（略）。11、作業(yè)：補

39、充題（略）。練習冊：§一元二次不等式的解法的內容。§ 1 7 四種命題教學目的 通過本小節(jié)的學習，使學生達到以下要求：（1）初步理解四種命題及其關系；（2）初步掌握反證法教學重點與難點 本小節(jié)的重點是四種命題的關系 教學過程從初中數(shù)學的命題知識出發(fā)，給出四種命題的概念，接著，講述四種命題的關系，最后，介紹 反證法教學時，要注意控制教學要求。本小節(jié)的內容，只涉及比較簡單的命題，不研究含有邏輯聯(lián) 結詞“或”、“且”、“非”的命題的逆命題、否命題和逆否命題。1、在初中數(shù)學中， 只學習了原命題與逆命題的初步知識， 否命題與逆否命題已經(jīng)從初中數(shù)學中刪 除了。否命題所用的符號，與過去不

40、同。這么是新內國家標準規(guī)定了的符號叫做否定符 號。“P”表示P的否定；不是P;非Po2、逆命題、否命題與逆否命題： 如果第一個命題的條件（或題設）是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件（或題設），那么這兩個命題叫做 互逆命題； 如果把其中一個命題叫做 原命題 ，那么另一個命題叫做 逆命題。如果第一個命題的條件和的結論，分別是另一個命題的條件的否定和結論否定，那么這兩個命題叫做互否命題；如果把其中一個命題叫做 原命題，那么另一個命題叫做 否命題。 如果第一個命題的條件和的結論，分別是另一個命題的的結論的否定和條件的否定，那么這兩個 命題叫做互為逆否命題；如果把其中一個命題叫做原

41、命題，那么另一個命題叫做逆否命題。即：(1) 交換原命題的條件和結論，所得的命題是 逆命題 ：(2) 同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是 否命題 ；(3) 交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是 逆否命題 四種命題的形式：原命題： 若 P 則 q ；逆命題 ：若 q 則 p ；否命題：若P則q；逆否命題：若q則p。3、四種命題之間的相互關系：一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系： 、原命題為真，它的逆命題不一定為真。 、原命題為真，它的否命題不一定為真。 、原命題為真，它的逆否命題一定為真。4、反證法：(初中數(shù)學中有關反證法的內容，要求比較低，并且基本沒有涉及代數(shù)

42、命題。到高中數(shù)學學習 的需要，結合四種命題及其關系進行講授。 學習反證法，一是要注意加強對有關代數(shù)命題的訓練，二 是教學要求要適當，對反證法的掌握，還有待于隨著學習的深入，逐步提高。教科書中反證法涉及代 數(shù)命題的例、習題，是屬于初中范圍的，比較簡單因此，這些題目都可以用直接的方法進行證明， 不一定用反證法，選取這些題，主要是為了讓學生熟悉反證法。 )反證法 在初中教科書中指出：從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做 反證法。(對于反證法的概念，本小節(jié)未再給出，沿用初中的說法就可以了)。從邏輯角度看，命題“若 P則q”的否定，是“ P且非q”，由此進行推理，如果發(fā)生

43、矛盾，那么“ p且非q”為假，因此可知“若 P則q”為真。像這樣證明“若 P則q”為真的證明方法，叫做 反證 法。用反證法證明命題“若 P則q”時，可能出現(xiàn)以下三種情況：(1) 導出非 p 為真，即與原命題的條件矛盾；(2) 導出 q 為真，即與假設“非 q 為真”矛盾；(3) 導出一個恒假命題。(考慮到教科書只安排了初步的邏輯知識，以上內容不必都向學生講述 )5、例題：例1、把下列命題寫成“若 P則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題： 負數(shù)的平方是正數(shù)； 正方形的四條邊相等。(解略)(例 1 中的第 (1) 小題，有兩種解答，另一種解答如下：原命題可以寫成：若一個數(shù)是負數(shù)的平方

44、，則這個數(shù)是正數(shù)。逆命題：若一個數(shù)是正數(shù)，則它是負數(shù)的平方。否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)的平方，則這個數(shù)不是正數(shù)。逆否命題：若一個數(shù)不是正數(shù)，則它不是負數(shù)的平方。）例2、設原命題是"當c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并判 斷它們的真假。（解略）例3、用反證法證明：如果 a>b>0，那么.a >Tb。（解略）例4、用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。（解略）6、 練習：P30、P32及P33練習。P33習題第1題一第4題。7、小結：（略）。8作業(yè)：補充題（略）。P34習題第5題。練習冊：§四

45、種命題的內容。§ 1 8充分條件與必要條件K教學目的 通過本小節(jié)的學習，使學生初步掌握充要條件。K教學重點與難點本小節(jié)的重點與難點是關于充要條件的判斷。K教學過程本節(jié)首先給岀推斷符號“”，并引岀充分條件與必要條件的意義，在此基礎上講述了充要條件的初步知識。學習本小節(jié)，要注意與前面有關邏輯初步知識內容的聯(lián)系。本小節(jié)所講的充分條件、 必要條件與充要條件的知識，主要是與判斷“若P則q”形式命題的真假相關的。本小節(jié)“若P則q”形式命題中的p與q，基本都是簡單的，而不是復合的，即, 一般不含有邏輯聯(lián)結詞 “或”、“且”、“非”， 并且，p與q本身也不是“若P則q”的形式。1、符號“”叫做推斷符

46、號.“ pq”表示“若P則q”為真；也表示“ p蘊含q”?！皃q”也可寫為“ qp”，有時也用“ p q”。2、符號“”叫做等價符號?！皃q”表示“p q且p q”；也表示“ p等價于q”。“ pq”有時也用“ p q”。3、 如果已知p q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。例如：“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件.4、 如果既有p q，又有q p，就記作p q，這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條 件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。例如，“x是6的倍數(shù)”是“ x是2的倍數(shù)”的充分而不必要的條件；“

47、x是2的倍數(shù)”是“ x是6的倍數(shù)”的必要而不充分的條件；“x既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)”是“ x是6的倍數(shù)”的充要條件；“x是4的倍數(shù)”是“ x是6的倍數(shù)”的既不充分也不必要的條件。5、例題：例1指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：p : x = y ; q： x2= y2;（2）p ：三角形的三條邊相等； q：三角形的三個角相等；分析：可以根據(jù)“若 p則q”與“若q則p”的真假進行判斷。（解略）例2指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、 “充要條件” 、“既不充分也不必要條件”中選出一種 ）（1） p：（ x-2 ）（x-3 ）

48、=0； q： x-2=0 ；（2） p：同位角相等；q：兩直線平行；2（ 3） p： x=3； q： x =9；（4）p：四邊形的對角線相等；q：四邊形是平行四邊形。（解略）（數(shù)學上充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常用語中的“充分”、必要"意義相近不過，要推確理解它們，還是應該以數(shù)學定義為依據(jù)。 教科書是結合實例給出充分條件、必要條件與充要條件的概念的，要掌握它們，主要還得通過 對實例的考察和研究因此，對學生的要求，要有一個隨著學習的深入，逐步提高的過程。 在進行有關充分條件、必要條件與充要條件的判定時，既可能用到直接證法，也可能用到間接證法反證法就是一種間接證法，學

49、習本小節(jié)，可以鞏固上一節(jié)反證法的內容。）6、練習：P35、P36練習。P36習題第1題一第3題。7、小結：（略）。8作業(yè)：補充題（略）。練習冊：§充分條件與必要條件。一、小結與復習1小結與復習分作三部分 第一部分概括了本章所學的集合與簡易邏輯的主要內容 其中， 有關 集合的知識包括集合的基本概念、集合與集合的關系、不等式解法等；有關簡易邏輯的知識包括邏輯 聯(lián)結詞、四種命題、充要條件等第二部分分別提出了關于集合的五條學習要求和關于簡易邏輯的三 條學習要求，并指出了學習中需要注意的幾個問題第三部分給出了兩道參考例題。2復習集合的初步知識， 可以從兩方面入手， 一方面是集合的有關概念之間的

50、聯(lián)系與區(qū)別； 另一 方面，也是更為主要的方面，是集合知識的應用。關于集合的概念，主要是把握集合與元素、集合與集合這兩個關系，弄清有關的術語和符號關于集合知識的應用、可以考慮下面幾個內容：（1） 本章章頭引言中的例子，體現(xiàn)了可以利用集合語言表述問題，可以利用集合的思想、方法解 決問題；（2） 有關不等式的解法，既涉及交集、并集的概念，又涉及集合的表示；（3）邏輯聯(lián)結詞“或” 、“且”、“非”，是與集合中的“并” 、“交”、“補”相關的，兩者可以相互對 照、相互說明，從而加深對雙方的認識和理解。（4）中學數(shù)學的其他內容及日常生活中的應用 像代數(shù)中的方程與方程組的解集， 幾何中的點集， 等等。3本章

51、只學習了一些簡易的邏輯知識， 在復習時， 主要是要抓住所學的幾個知識點， 通過對以前 學過的數(shù)學知識的說明，及解決一些簡單的問題，達到理解、掌握簡易邏輯知識的目的例如，可以利用幾何中的主要定理復習四種命題及其關系；可以利用一無二次方程根的判別式的 有關內客復習充要條件的知識，等等。二重點提示與例析 （1）集合的表示法有哪幾種如何理解集合的特征性質描述法【答案】 集合的表示法主要有：列舉法（主要用在有限集）、描述法（主要用在無限集）、還有字母表示法（如：R Z, Q, N, N+等）、圖形表示法（如維恩圖、數(shù)軸等）等；用特征性質描述法表示集合的常用形式為， 豎線前面的表示集合的特征元素， 豎線后

52、面的P指 出元素所具有的公共屬性，集合表示： 1）集合A是由所有具有性質 P的那些元素組成的；2）不具 有性質P的元素一定不是 A中的元素.用下列例題檢驗是否理解和掌握了：例 1 指出下列幾個集合之間的區(qū)別： ；【解】集合A是由拋物線上的所有點的坐標組成的；集合B是由拋物線上的所有橫、縱坐標都為整數(shù)的點的坐標組成的；集合C是由所有不小于2的實數(shù)組成的.例 2 若集合 ，則集合與的關系是：（ A）（ B）（ C）（ D）【解】由集合的含義我們很容易用列舉法將N寫出來即為：，所以，故選（A）.【評析】在看一個用特征性質描述法表示的集合時，我們首先應該注意集合的特征元素，看它是圖 形，坐標，還是數(shù)等

53、等；其次我們再看它的特征性質，從而由特征性質來決定具體的元素（2）如何判斷兩個集合 A與B是否相等【答案】 兩個集合相等是指這兩個集合中所包含的元素完全相同；即：若且則A=B 判斷兩個有限集是否相等， 常用的方法是將它們都用列舉法表示出來， 然后看它們的元素是 否完全相同； 判斷兩個無窮集，是否相等，我們需要用邏輯的方法判斷：即:滿足性質 P的元素都滿足性質q，即：滿足性質 q的元素都滿足性質 P.用下面的例題檢驗是否理解和掌握了：例3集合A=小于5的自然數(shù)，則下列各集合中與 A相等的有 (A)(D)【答案】(B)(E)(C)(A) , (B) , (D) , (E).【評析】0是自然數(shù)；(在

54、以前的教科書上， 為自然數(shù)要更合理一些，所以我們新的教材將一個集合往往有多種不同的特征性質，征性質所決定的元素上，而不是特征性質本身.例4若集合, 求證：A=B.【證明】證明：1)證 對任意的x屬于A,x=2n仁 2( n1)+1xe b2)證對任意的x屬于B 存在著nez 有x=2n+1存在著 nrn+1，有 me Z，且 x=2m-1二.綜上得A=B1是最小的自然數(shù)，但從現(xiàn)代數(shù)學的觀點看，將0作為自然數(shù)提了岀來，希望大家注意 )在判斷兩個集合是否相等時，我們的注意力應放在特x屬于A存在著x屬于B 存在著me乙有x=2m-1n=mr 1,有 ne 乙且 x=2n+lx=2 n+1=2( n+1) 1x e A【評析】本題我們首先看到的是它們都表示奇數(shù)集，所以應該是相等的但這不能作為一個嚴 謹?shù)淖C明過程，對于兩個無窮集合來說，我們沒有辦法用一一比較的方法來說明兩個集合的元素完 全相同，所能借用的只能是抽象的邏輯推理.(3) 元素、集合之間及集合與集合之間的關系：【答案】 元素與集合之間的關系用來表示； 兩個集合之間的關系用來表示，用下面的例題來檢驗自己的掌握情況：例5用符號“”填空：1) 0N，0，00 ；2)R，-0，Q