實變函數期末考試卷A卷

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 實變函數得 分閱卷人一、 判斷題（每題2分，共20分）1.若是的真子集，則必有。 （×）2.必有比小的基數。 （）3.一個點不是的聚點必不是的內點。 （）4.無限個開集的交必是開集。 （×）5.若，則。 （×）6.任何集都有外測度。 （）7.兩集合的基數相等，則它們的外測度相等。 （×）8.可測集的所有子集都可測。 （×）9.若在可測集上可測，則在的任意子集上也可測。（×） 10.在上可積必積分存在。 （×）1.設為點集，則是的外點.（ × ）2.不可數個閉集的交集仍是閉集. （ 

2、15; ）3.設是一列可測集,且則（× ）4.單調集列一定收斂. （ ）5.若在上可測,則存在型集,在上連續(xù).（ × ）二、填空題（每空2分，共20分）1.設是中無理數集，則 。2.設，則 ， 。3.設，則 ， 。4.有界變差函數的不連續(xù)點構成的點集是 至多可列 集。 得分閱卷人5.設是上的集，則 。6.設是閉集，是開集，則是 閉 集。7.閉區(qū)間 上的有界函數可積的充要條件是 是上的幾乎處處的連續(xù)函數 。8. 函數是 可積也是 可積的。三、計算題（每題10分，共20分）1.計算。（提示：使用Lebesgue控制收斂定理）解：設，則（1） 因在上連續(xù)，所以是可測的；（2）；（

3、3）因為顯然在上可積。于是由Lebesgue控制收斂定理，有2. 設試計算。解：因為有理數集的測度為零，所以 于， 于。于是 四、證明題（每題8分，共40分）1. 證明：證明： = 2. 設是直線上一族兩兩互不相交的非空開區(qū)間組成的集合，證明是至多可列集。證明：由有理數集的稠密性可知，每一個開區(qū)間中至少有一個有理數，從每個開區(qū)間中取定一個有理數，組成一個集合A。因為這些開區(qū)間是互不相交的，所以此有理數集A與開區(qū)間組成的集合M是一一對應的。則A是有理數集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。3. 證明：若，則為可測集。證明：對任意點集，顯然成立著 。另一方面，因為，而，所以，于是。又因為，所

4、以，從而 。總之，。故是可測集。 4. 可測集上的函數為可測函數充分必要條件是對任何有理數，集合是可測集。一、填空題（每小題2分，共10分）（ D ）1、成立的充分必要條件是（ ）A、 B、C、 D、（ A ）2、設是閉區(qū)間中的無理點集，則（ ） 是不可測集 是閉集（ C ）3、設是可測集，是不可測集，則是（ ）可測集且測度為零 可測集但測度未必為零不可測集 以上都不對（ B ）4、設，是上幾乎處處有限的可測函數列，是上幾乎處處有限的可測函數，則幾乎處處收斂于是依測度收斂于的（ ）必要條件 充分條件充分必要條件 無關條件（ D ）5、設是上的可測函數，則（ ）是上的連續(xù)函數 是上的勒貝格可積函數是上的簡單函數可表示為一列簡單函數的極限設是上的實值連續(xù)函數，則對于任意常數，是一開集，而總是一閉集。證明：若，因為是連續(xù)的，所以存在，使任意， (5分)即任意是開集（10分）若且，由于連續(xù)，即，因此E是閉集。 （1）設求出集列的上限集和下限集證明：（5分）設，則存在N，使，因此時，即，所以屬于下標比N大的一切偶指標集，從而屬于無限多，得，又顯然（7分）（12分）若有，則存在N，使任意，有，因此若時