三大分布練習(xí)（課堂PPT）

1、前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回1、定義、定義 222212nXXX nXXX,21設(shè)設(shè) 相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則隨機變量則隨機變量)(2n 的分布稱為自由度為的分布稱為自由度為n的的 分布分布. .記為記為 。 2 )(2n xyO（一）（一） 分布分布 2 三大分布三大分布 若若 ，則，則 )(2nX .2,nDXnEX 2、 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 2 若若 ,且且X與與Y獨立獨立,則則)(),(22mYnX )(2mnYX 可加性可加性前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回例例1 1 設(shè)總體設(shè)總體 621,),1 , 0(XXXNX為取自總體為取自總體X

2、的樣本的樣本,26542321)()(XXXXXXY 令令求常數(shù)求常數(shù)C，使，使 2 CY前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回例例1 1 設(shè)總體設(shè)總體 621,),1 , 0(XXXNX為取自總體為取自總體X的樣本的樣本,26542321)()(XXXXXXY 令令求常數(shù)求常數(shù)C，使，使 2 CY解解: 由已知有由已知有 321XXX )3 , 0( N3321XXX ),1 , 0( N同理有同理有 3654XXX ).1 , 0( N且且 3321XXX 與與 3654XXX 相互獨立相互獨立. 于是，由于是，由 分布的定義有分布的定義有 2 26542321)3()3(XXXXXX ),2

3、(2 .31 C前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回4321,XXXX)2 , 0(N243221)43()2(XXbXXaX a b2 X例例2 2 設(shè)設(shè)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，的簡單隨機樣本，則當(dāng)，則當(dāng) ， 時，時，其自由度為，其自由度為 。記記前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回4321,XXXX)2 , 0(N243221)43()2(XXbXXaX a b2 X例例2 2 設(shè)設(shè)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，的簡單隨機樣本，則當(dāng)，則當(dāng) ， 時，時，其自由度為，其自由度為 。記記解：解： ),20, 0(221NXX ).100, 0(4343NXX ),1

4、 , 0(20221NXX ).1 , 0(1004343NXX 221)202(XX )2()10043(2243 XX ,201 a.1001 b由已知有由已知有 標(biāo)準(zhǔn)化得標(biāo)準(zhǔn)化得 易知易知 20221XX 1004343XX 與與 相互獨立，相互獨立， 于是，由于是，由 分布的定義有分布的定義有 2 前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回1、定義、定義 設(shè)設(shè) 且且X,Y相互獨立，則隨機變量相互獨立，則隨機變量)(),1 , 0(2nYNX nYXT 所服從的分布稱為自由度為所服從的分布稱為自由度為n的的t 分布分布(或稱學(xué)生氏分布或稱學(xué)生氏分布),記為記為)(ntT)(ntxyO（二）（二）

5、 t 分布分布 前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回2、t 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) （1 1）)(21);(lim22xenxfxn （3） 0)( TE2)( nnTD)2( n（2） 為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。)(xfxyO前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回521,XXX c n, d n,例例3 3 設(shè)設(shè)相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，)(2221XXc )(2n 服從服從，則，則（1）若）若25242321XXXXXd )(nt服從服從分布，則分布，則（2）若）若。 。 前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回521,XXX c n, d n,例例3 3 設(shè)設(shè)相互獨立，

6、且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，)(2221XXc )(2n 服從服從，則，則（1）若）若25242321XXXXXd )(nt服從服從分布，則分布，則（2）若）若。 。 解：解： （1） 由卡方分布的定義，易得由卡方分布的定義，易得 . 2, 1 nc（2） 由已知有由已知有 ),2 , 0(21NXX 標(biāo)準(zhǔn)化得標(biāo)準(zhǔn)化得 )1 , 0(221NXX 由卡方分布的定義有由卡方分布的定義有 ),3(2252423 XXX 且且 221XX 與與 252423XXX 相互獨立。相互獨立。 于是于是,由由T分布的定義得分布的定義得 )3(3/ )(2/ )(25242321tX

7、XXXX 得得 ,23 d. 3 n前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回1、定義、定義 mYnXF/ ),(mnFF所服從的分布稱為所服從的分布稱為F分布。記為分布。記為設(shè)設(shè) ，且，且X與與Y相互獨立，則隨機變量相互獨立，則隨機變量),(2nX )(2mY 2、密度函數(shù)、密度函數(shù) 第一自由度第一自由度第二自由度第二自由度),(mnFxyO（三（三 ） F 分布分布 前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回（三（三 ） F 分布分布 2、F 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) ),(1nmFX（1）若）若 ，則，則),(mnFX), 1(2nFT（2 2）若）若 ，則，則 )(ntT設(shè)設(shè) 且且X,Y相互獨立，則相互獨

8、立，則)(),1 , 0(2nYNX nYXT )(nt1、定義、定義 mYnXF/ ),(mnFF所服從的分布稱為所服從的分布稱為F分布。記為分布。記為設(shè)設(shè) ，且，且X與與Y相互獨立，則隨機變量相互獨立，則隨機變量),(2nX )(2mY 第一自由度第一自由度第二自由度第二自由度),(mnF前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF ), 4(bF a b,例例4 4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量是取自總體是取自總體X的簡單的簡單服從分布服從分布，則，則隨機樣本，已知統(tǒng)計量隨機樣本，已知統(tǒng)計量。 ), 0( NX前一頁前一頁后

9、一頁后一頁返返 回回1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF ), 4(bF a b,例例4 4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量是取自總體是取自總體X的簡單的簡單服從分布服從分布，則，則隨機樣本，已知統(tǒng)計量隨機樣本，已知統(tǒng)計量。 解解: 由已知由已知 ), 0(2 NX有有 ).1 , 0( NX 從而從而 1021,XXX均服從均服從 分布，且相互獨立。分布，且相互獨立。 )1 , 0(N由卡方分布的定義有由卡方分布的定義有 )4()()()(2242221 XXXU )6()()()(22102625 XXXV 且且U與與V相互獨立，相互獨立，于是，由于是，

10、由F分布的定義得分布的定義得 )6 , 4(6/4/FVU), 0( NX前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回), 0( NX1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF ), 4(bF a b,例例4 4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量是取自總體是取自總體X的簡單的簡單服從分布服從分布，則，則隨機樣本，已知統(tǒng)計量隨機樣本，已知統(tǒng)計量。 )4()()()(2242221 XXXU )6()()()(22102625 XXXV 且且U與與V相互獨立，相互獨立，于是，由于是，由F分布的定義得分布的定義得 )6 , 4(6/4/FVU即即)6 , 4(6/ )(4/ )(210292827262524232221FXXXXXXXXXX 前一頁前一頁后一頁后一頁返返 回回1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXX