解決橢圓部分問題的新思路——化橢為圓

1、解決橢圓部分問題的新思路化橢為圓山西大學(xué)附中 劉嘉信一、 概念與基本的推導(dǎo)化橢為圓，顧名思義，就是把橢圓變成圓。那如何實現(xiàn)這一點呢？這里我們以中心在坐標(biāo)系原點O點，長軸在X軸上的橢圓為例，看看如何將橢圓變成一個圓（在本文中默認(rèn)a>b>0）：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：將（1）式中左右兩邊同時乘以可得：我們可以設(shè)，代入（2）式消去y就有：這時，我們可以發(fā)現(xiàn)，（3）式中的形式就是xoz坐標(biāo)系里面的一個以坐標(biāo)原點為圓心、以a為半徑的一個圓。這時我們就把一個xoy坐標(biāo)系里面的橢圓成功的變成了一個xoz坐標(biāo)系里面的一個比較特殊的圓。實際上，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個方法的本質(zhì)就是把y軸人為地拉長為原來的倍，變

2、成xoz坐標(biāo)系。二、 應(yīng)用無論什么理論，有實際的應(yīng)用才有價值，那么那么這個方法到底有什么用處呢？我們知道，一般情況下，解決橢圓與直線關(guān)系等的問題時，我們需要聯(lián)立、求解或者用韋達(dá)定理求解出或者是，較為繁瑣，計算量較大，原因就是橢圓的幾何性質(zhì)太少，沒有辦法直接作出判斷。但是，在我們把橢圓變成圓以后，我們就可以利用圓的一些性質(zhì)來解決一些問題。1、 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。比如我們已知一條直線L：我們還知道一個橢圓C：我們可以用上面的方法，設(shè)，代入（1）、（2）式得到：這時候，我們就可以看出來：（3）式是xoz坐標(biāo)系里面的一條直線，而（4）式是xoz坐標(biāo)系里面的一個圓心為（0,0）、半徑為a的一個圓

3、。這樣我們就可以用點線距離和半徑的關(guān)系來判斷橢圓C和直線L的位置關(guān)系。設(shè)d為（0,0）到（3）表示的直線L的距離，則有：既然知道了一個圓圓心與一條直線的距離和這個圓的半徑，那么二者的位置關(guān)系就十分好判斷了。2、 弦中點問題弦中點問題是我起的一個名字。在橢圓中這類問題可以用化橢為圓的方法來解決。由于從xoy坐標(biāo)系變成xoz坐標(biāo)系以后，原來的弦的中點仍然是中點，所以我們就可以連接圓心（即坐標(biāo)原點）和這個中點，制造出一個垂直（弦的垂直平分線）。下面我舉個例子：【例1】已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，求該橢圓所有的斜率為2的弦的中點的軌跡方程?！窘馕觥课覀冇蒙厦娴姆椒ň涂梢园褭E圓變成：。由于我們是要在xoz

4、坐標(biāo)系里面做工作，所以必須把直線也變進來。設(shè)這些弦所在的直線的方程為：，把y代換成z就有：。我們知道，圓里面弦的中點與圓心（這里是坐標(biāo)原點）的連線與這條弦所在直線垂直，所以，很明顯就有這些中點一定分布在直線上面，即。因為弦的中點一定在橢圓內(nèi)部，所以我們只需再加上范圍即可。不必再用原來的代入消元求解的方法，十分簡潔?！纠?】已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，P、Q為橢圓C上的兩點，直線OP、OQ的斜率的乘積為。求|OP|+|OQ|?！窘馕觥吭O(shè)P，Q 我們可以按照上面的方法把C的方程變成，于是在xoz坐標(biāo)系里面，有：，。因為OP、OQ過原點，所以，；變成xoz坐標(biāo)系后，因為、，所以、。又因為，所以有，即在xoz坐標(biāo)系中，OPOQ，所以。所以：三、 注意對于這種方法，我們必須注意兩點：1、 對于大多數(shù)給定某一個角度的題目，這個方法并不適用，因為角經(jīng)過對y軸的拉伸之后就變了，失去了原來的集