余子式與代數(shù)余子式（課堂PPT）

1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 n

2、ija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個(gè)個(gè)代代數(shù)數(shù)余余子子

3、式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個(gè)個(gè)元元素素分分別別定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展開(kāi)法則二、行列式按行（列）展開(kāi)法則nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211

4、 ni, 2 , 1 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行行展展開(kāi)開(kāi)，有有按按第第把把行行列列式式j(luò)aDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同

5、理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展開(kāi)，得按第一行展開(kāi)，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 1. 降階法：降階法： 行列式按行（列）展開(kāi)法則是把行列式按行（列）展開(kāi)法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式高階行列式的計(jì)算化為低階行列式. ;,0,. 21jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題階行列式階行列式設(shè)設(shè)nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.1121