2018最新高中數(shù)學(xué)人教A版選修45教學(xué)案二一般形式的柯西不等式

1、二一般形式的柯西不等式對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P32名稱形式等號(hào)成立條件三維形式柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3R，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2當(dāng)且僅當(dāng)b1b2b30或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k使得aikbi(i1,2,3)一般形式柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)·(bbb)(a1b1a2b2anbn)2當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)說(shuō)明一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積

2、的和的平方在使用時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P32利用柯西不等式證明不等式例1設(shè)x1，x2，xn都是正數(shù)，求證：.思路點(diǎn)撥根據(jù)一般柯西不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造兩組數(shù)的積的形式，利用柯西不等式證明證明(x1x2xn)(1)2()2()22n2，.柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為：(a1a2an)·(b1b2bn)()2.其中ai，biR(i1,2，n)，在使用柯西不等式時(shí)要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確地配湊出公式兩側(cè)的數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵1已知a，b，c，dR，且abc1，求證：3.證明：根據(jù)柯西不等式，有()2(111)(3a13b13c1)18，3.利用

3、柯西不等式求最值例2(1)已知x，y，zR，且xyz1.求 的最小值(2)設(shè)2x3y5z29.求函數(shù)的最大值思路點(diǎn)撥(1)利用(xyz)(2)利用()21×1×1×)2.解(1)xyz1，(xyz)2(123)236.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x，y，z時(shí)取等號(hào)所以的最小值為36.(2)根據(jù)柯西不等式，有(·1·1·1)2(2x1)(3y4)(5z6)·(111)3×(2x3y5z11)3×40120.故2 ，當(dāng)且僅當(dāng)2x13y45z6，即x，y，z時(shí)等號(hào)成立此時(shí)max2 .利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)

4、進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件2設(shè)a，b，c，d均為正實(shí)數(shù)，則(abcd)·的最小值為_(kāi)解析：(abcd)·()2()2()2()2·2(1111)24216，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí)取等號(hào)答案：163已知：x，y，zR且xyz2，則2的最大值為()A2B2C4 D5解析：(2)2(1×2·)2(1222()2)()2()2()28(xyz)16.24.答案：C4把一根長(zhǎng)為12 m的細(xì)繩截成三段，各圍成三個(gè)正方形問(wèn)：怎樣截法，才能使圍成的三個(gè)正方形面積之和S最小，并求此最小值解：設(shè)三段繩子的長(zhǎng)分別為x，y，z，則xyz12，三

5、個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，均為正數(shù)，三個(gè)正方形面積之和：S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即x2y2z248.從而S×483.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又xyz12，xyz4時(shí)，Smin3.故把繩子三等分時(shí)，圍成的三個(gè)正方形面積之和最小，最小面積為3 m2. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P331若a，b，cR，且1，則a2b3c的最小值為()A9 B3C. D6解析：柯西不等式得a2b3c(a2b3c)(111)29，a2b3c的最小值為9.答案：A2已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3 D4解析：(a1x1a2x2anxn)2

6、(aaa)(xxx)1×11，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等號(hào)a1x1a2x2anxn的最大值是1.答案：A3已知a2b2c2d25，則abbccdad的最小值為()A5 B5C25 D25解析：(abbccdda)2(a2b2c2d2)·(b2c2d2a2)25，當(dāng)且僅當(dāng)abcd±時(shí)，等號(hào)成立abbccdbd的最小值為5.答案：B4(湖北高考)設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則()A. B.C. D.解析：由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此有.答案：C5已知：

7、2x3yz8，則x2y2z2取得最小值時(shí)，x，y，z形成的點(diǎn)(x，y，z)_.解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)z時(shí)等號(hào)成立又2x3yz8，解得：x，y，z，所求點(diǎn)為.答案：6設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值是_解析：(abc)()2()2()22(236)2121.當(dāng)且僅當(dāng)k(k為正實(shí)數(shù))時(shí)，等號(hào)成立答案：1217已知a，b，cR且abc6，則的最大值為_(kāi)解析：由柯西不等式得：()2(1×1×1×)2(121212)(2a2b12c3)3(2×64)48.當(dāng)且僅當(dāng)，即2a2b12c3時(shí)等號(hào)成立又abc6，a，b，c時(shí)，取得最大值4.答案：48在ABC中，設(shè)其各邊長(zhǎng)為a，b，c，外接圓半徑為R，求證：(a2b2c2)36R2.證明：2R，(a2b2c2)236R2.9求實(shí)數(shù)x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2取到最小值解：由柯西不等式，得(122212)×(y1)2(3xy)2(2xy6)21×(y1)2×(3xy)1×(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2.當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)，上式取等號(hào)此時(shí)有最小值.10已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a