連續(xù)值布爾代數(shù)

1、連續(xù)值布爾代數(shù)1，影響連續(xù)值邏輯運算模型的諸因素一般性講，二值命題是由對分明概念進行確定性判斷形成的，它的真值可以通過概念直方圖直接確定，利用論域U上的集合運算就可以得出布爾邏輯代數(shù)的各種運算模型（見圖8）。圖8 二值命題是對分明概念進行的確定性判斷形成連續(xù)值命題的情況比較復(fù)雜，它可能是對分明概念進行的模糊（概率）性判斷，也可能是對模糊概念進行的確定性判斷，還可能是對模糊概念進行的模糊（概率）性判斷。圖9表示的是對模糊概念進行的確定性判斷，在這種情況下，要確定論域U中某元素u屬于模糊集合A的程度x，首先需要在特征空間E中確定與元素u對應(yīng)的分明集合X，E上的模糊測度x=m(X) 是連續(xù)值命題的真

2、度。顯然，m(E)=1, m(Æ)=0，一般情況下m(X)是0, 1中的實數(shù)。從圖9可以看出，利用特征空間E上的集合運算可以得出連續(xù)值邏輯代數(shù)的各種運算模型。這與二值命題的情況有些相似，不同的是一個直接在論域U中進行，由于集合之間的相對位置已經(jīng)給定，邏輯運算模型不會變化；另一個是間接在特征空間E中進行，集合之間的相對位置并未確定，邏輯運算模型將隨相對位置及其他因素而變化。認識到這一點是研究連續(xù)值邏輯代數(shù)的關(guān)鍵。圖9 對模糊概念進行的確定性判斷在特征空間E中影響集合X的大小、相對位置和模糊測度性質(zhì)的因素有：1）命題真值的不確定性，它決定（或受制）于特征空間中使命題為真的因素和使命題為假

3、的因素之間的矛盾，可從完全的真，半真半假到完全的假連續(xù)地變化。命題的真度用柔性參數(shù)x0, 1表示，如x1表示命題完全為真，x0.75表示命題偏真，x0.5表示命題為半真半假，x0.25表示命題偏假，x0表示命題完全為假（圖10）。圖10 真度反映了由真/假之間矛盾引起的不確定性真度變化對邏輯運算結(jié)果的影響全部反映在如下的邏輯運算模型中，它們是關(guān)于真度的調(diào)整函數(shù)，以后特稱為基模型（圖11，下面再詳細討論）。非運算 N(x)1x與運算 T(x, y)max(0, xy1)或運算 S(x, y)N(T(N(x), N(y)min(1, xy)蘊涵運算 I(x, y)max(z|yT(x, z)min

4、(1, 1xy)等價運算 Q(x, y)T(I(x, y), I(y, x)1|xy|平均運算 M(x, y)N(S(N(x)/2, N(y)/2)(xy)/2組合運算 Ce(x, y)itemin(e, max(0, xye)|xy2e; N(min(N(e),max(0, N(x)N(y)N(e)|xy2e; emin(1, max(0, xye)其中e0, 1是表示棄權(quán)的幺元，itey|x; z是條件表達式，意思是“如果x，則y；否則z”。圖11 連續(xù)值邏輯運算的基模型 (其中e=0.5)2）兩命題之間廣義相關(guān)關(guān)系的不確定性，它決定（受制）于特征空間中使雙方友好的因素和使雙方敵對的因素之

5、間的矛盾，可以從完全友好狀態(tài)、偏友好狀態(tài)、不敵不友狀態(tài)、偏敵對狀態(tài)到完全敵對狀態(tài)連續(xù)地變化（見圖12）。兩個命題之間廣義相關(guān)關(guān)系的不確定性用廣義相關(guān)系數(shù)h0, 1來刻畫，其中：圖12 兩命題間廣義相關(guān)關(guān)系的不確定性h1表示雙方處在完全友好狀態(tài)。它在特征空間E中表現(xiàn)為集合X和集合Y是完全包含關(guān)系，用概率論的術(shù)語說是兩個集合中的元素具有最大相吸關(guān)系，相互的吸引力最大，排斥力最?。籬0.75表示雙方處在偏友好狀態(tài)。它是居中的朋友關(guān)系，在特征空間E中，表現(xiàn)為集合X和集合Y是成比例的相交關(guān)系（交集的面積和兩個因子集的面積成正比），用概率論的術(shù)語說是兩個集合中的元素具有獨立相關(guān)關(guān)系，相互的吸引力和排斥力相

6、等；h0.5表示雙方處在不敵不友的中性狀態(tài)。從朋友關(guān)系的角度看，中性狀態(tài)在特征空間E中表現(xiàn)為集合X和集合Y盡可能不相交的關(guān)系，用概率論的術(shù)語說是兩個集合中的元素具有最大相斥關(guān)系，相互的吸引力最小，排斥力最大。從敵對關(guān)系的角度看，中性狀態(tài)是最弱的敵對關(guān)系，表現(xiàn)為兩個集合中的元素相互之間的自衛(wèi)力最強，殺傷力最弱，叫最小相克關(guān)系；h0.25表示雙方處在偏敵對狀態(tài)。它是居中的敵對關(guān)系，表現(xiàn)為兩個集合中的元素相互之間的自衛(wèi)力和殺傷力相等，叫僵持關(guān)系；h0表示雙方處在完全敵對狀態(tài)。它是最強的敵對關(guān)系，表現(xiàn)為兩個集合中的元素相互之間的自衛(wèi)力最弱，殺傷力最強，叫最大相克關(guān)系。廣義相關(guān)系數(shù)h對邏輯運算模型的影響

7、全部反映在T性生成元完整簇F(x, h)xm, mÎ(¥, ¥)上，其中：m(34h)/(4h(1h)。當m®¥時，F(xiàn)(x, 1)ite1|x1; ±¥ 當m®0時，F(xiàn)(x, 0.75)1logx; 當m®0時，F(xiàn)(x, 0.75)ite0|x0; 1; 當m1時，F(xiàn)(x, 0.5)x; 當m®¥時，F(xiàn)(x, 0)ite1|x1; 0。F(x, h)對二元運算基模型L(x, y)的影響是L(x, y, h)F1(L(F(x, h), F(y, h), h)3）命題真度誤差的不確定性，它

8、決定（或受制）于特征空間中使測度出現(xiàn)正誤差的因素和使測度出現(xiàn)負誤差的因素之間的矛盾，可以從最大正誤差狀態(tài)、無誤差狀態(tài)到最大負誤差狀態(tài)連續(xù)地變化。誤差狀態(tài)的不確定性用誤差系數(shù)k0, 1來刻畫，其中k1表示最大正誤差狀態(tài)，k0.5表示無誤差狀態(tài)，k0表示最大負誤差狀態(tài)。真度誤差狀態(tài)的不確定性對柔性命題邏輯運算模型的影響完全反映在N性生成元完整簇F(x, k)xn，nÎ(0, ¥)上，其中n1/log2k。當n®0時，F(xiàn)(x, 0)ite0|x0; 1; 當n1時，F(xiàn)(x, 0.5)x; 當n®¥時，F(xiàn)(x, 1)ite1|x1; 0。F(x, k)

9、對一元運算基模型N(x)的作用方式是N(x, k)F1(N(F(x, k), k)它對二元運算基模型L(x, y)的作用方式是L(x, y, k)F1(L(F(x, k), F( y, k), k)4）命題相對權(quán)重的不確定性，它決定（或受制）于特征空間中使命題權(quán)重相對增加的因素和使命題權(quán)重相對減少的因素之間的矛盾，可以從最大相對權(quán)重狀態(tài)、平等權(quán)重狀態(tài)到最小相對權(quán)重狀態(tài)連續(xù)地變化。命題相對權(quán)重的不確定性用偏袒系數(shù)b0, 1來刻畫，其中b1表示最大偏左狀態(tài)，b0.5表示無偏袒狀態(tài)，b0表示最小偏左狀態(tài)。偏袒系數(shù)b對柔性命題邏輯運算模型的影響完全反映在二元運算模型上10，當b1時，y失去作用；當b0

10、.5時，x, y平等起作用；當b0時，x失去作用。b對二元運算基模型L(x, y)的作用方式是 L(x, y, b)L(2bx, 2(1b)y)k, h, b三個不確定參數(shù)及其調(diào)整函數(shù)如圖13所表。圖13 k, h, b三個不確定參數(shù)及其調(diào)整函數(shù) k, h, b三者對二元運算模型L(x, y)共同的影響方式是L(x, y, k, h, b)F1(F1(L(2b F(F(x, k), h), 2(1b) F(F(y, k), h), h), k)目前我們尚未發(fā)現(xiàn)第5種影響連續(xù)值命題邏輯運算模型的不確定性因素，已知的其他不確定性因素，如論域特性的不均勻性、信息的不完整性和動態(tài)性，應(yīng)該在謂詞邏輯層面

11、去解決。根據(jù)上述關(guān)于影響連續(xù)值命題邏輯運算模型的不確定性因素的分析，搞清楚了有關(guān)辯證矛盾是如何決定不確定性的最大影響范圍和影響方式，得到了它的調(diào)整函數(shù)，可以依據(jù)三角范數(shù)原理和邏輯運算公理，得到連續(xù)值邏輯代數(shù)中的各種運算模型。2，非運算公理及模型1）非運算模型N(x)是0, 1®0, 1的一元運算，它必須滿足以下的非運算公理：xÎ0, 1 邊界條件N1 N(0)1, N(1)0單調(diào)性N2 N(x)單調(diào)減, iff "x, yÎ0, 1, 若xy, 則N(x)N(y)逆等性N3 N(x)有逆等性, iff "xÎ0, 1, N(x)N(x

12、), N(x)是N(x)的逆 2）N3ite0|x1; 1是最大非算子，N0ite1|x0; 0是最小非算子，N11x是中心非算子。 非運算模型只受誤差系數(shù)k的影響，是一個N范數(shù)完整簇N(x, k), 它由生成基N(x)1x和N性生成元完整簇F(x, k)x n, k2-1/n n, n1/log2k相互作用而生成N(x, k)F -1(1F(x, k), k)(1x n)1/n 其中參數(shù)k是N(x, k)的不動點, 也是非運算中的閾元, 最大非算子是N3N(x, 1), 中心非算子是N1N(x, 0.5), 最小非算子是N0N(x, 0)（見圖14）。圖14 非運算模型完整簇及其生成元完整簇

13、3，與運算公理及模型1) 與運算模型T(x, y)是0, 12®0, 1的二元運算, 它必須滿足以下的與運算公理: x, y, zÎ0, 1 邊界條件T1 T(0, y)0, T(1, y)y單調(diào)性T2 T(x, y)關(guān)于x, y單調(diào)增結(jié)合律T3 T(T(x, y), z)T(x, T(y, z)上界性T4 T(x, y)min(x, y)2）與運算模型可受k, h, b的聯(lián)合影響，是一個運算模型完整簇 T(x, y, k, h, b)(max(0, 2bxnm2(1b)ynm1)1/mn其中當b0.5時，偏袒性的影響消失，T(x, y, k, h)(max(0, xnmy

14、nm1)1/mn其中當k0.5時，誤差的影響消失，T(x, y, h)(max(0, xmym1)1/mT(x, y, h)有四個特殊算子（見圖15）:Zadeh與算子 T(x, y, 1)T3min(x, y) 概率與算子 T(x, y, 0.75)Txy 有界與算子 T(x, y, 0.5)T1max(0, xy1) 突變與算子 T(x, y, 0)T0itemin(x, y)|max(x, y)1; 0圖15 特殊的h型與運算模型圖4，或運算公理及模型1) 或運算模型S(x, y)是0, 12®0, 1的二元運算, 它必須滿足以下的或運算公理: x, y, zÎ0,

15、1 邊界條件S1 S(1, y)1, S(0, y)y單調(diào)性S2 S(x, y)關(guān)于x, y單調(diào)增結(jié)合律S3 S(S(x, y), z)S(x, S(y, z)下界性S4 S(x, y)max(x, y)2）或運算模型可受k, h, b的聯(lián)合影響，是一個運算模型完整簇 S(x, y, k, h, b)(1(max(0, 2b(1xn)m2(1b)(1yn)m1)1/m)1/n其中當b0.5時，偏袒性的影響消失，S(x, y, k, h)(1(max(0, (1xn)m(1yn)m1)1/m)1/n其中當k0.5時，誤差的影響消失，S(x, y, h)(1(max(0, (1x)m(1y)m1)

16、1/mS(x, y, h)有四個特殊算子（見圖16）:Zadeh或算子 S(x, y, 1)S3max(x, y) 概率或算子 S(x, y, 0.75)Sxyxy 有界或算子 S(x, y, 0.5)S1min(1, xy) 突變或算子 S(x, y, 0)S0itemax(x, y)|min(x, y)0;1圖16 特殊的h型或運算模型圖在S(x, y, k, h)和T(x, y, k, h)之間存在對偶律 N(S(x, y, k, h), k)T(N(x, k), N(y, k), k, h)N(T(x, y, k, h), k)S(N(x, k), N(y, k), k, h)當h0.

17、5, 1時, S(x, y, h)和T(x, y, h)滿足相容律S(x, y, h)T(x, y, h)xy5，蘊涵運算公理及模型1) 蘊涵運算模型I(x, y)是0, 12®0, 1的二元運算, 它必須滿足以下的蘊涵運算公理: x, y, zÎ0, 1邊界條件I1 I(0, y)1, I(1, y)y, I(x, 1)1單調(diào)性I2 I(x, y)關(guān)于y單調(diào)增, 關(guān)于x單調(diào)減連續(xù)性I3 I(x, y)關(guān)于x, y連續(xù)保序性I4 I(x, y, k, h)1, iff xy (除h0和k1外)推演性I5 T(x, I(x, y)y (假言推論) 2）蘊涵運算模型可受k, h

18、, b的聯(lián)合影響，是一個運算模型完整簇 I(x, y, k, h, b)(min(1, 12bxnm2(1b)ynm)1/mn其中當b0.5時，偏袒性的影響消失，I(x, y, k, h)(min(1, 1xnmynm)1/mn其中當k0.5時，誤差的影響消失，I(x, y, h)(min(1, 1xmym)1/mI(x, y, h)有四個特殊算子（見圖17）: Zadeh蘊涵 I(x, y, 1)I3ite1|xy; y概率蘊涵 I(x, y, 0.75)Imin(1, y/x) (Goguen蘊涵)有界蘊涵 I(x, y, 0.5)I1min(1, 1xy) (Lukasiewicz蘊涵)

19、突變蘊涵 I(x, y, 0)I0itey|x1; 1 圖17 特殊的h型蘊涵運算模型圖6，等價運算公理及模型1) 等價運算模型Q(x, y)是0, 12®0, 1的二元運算, 它必須滿足以下的等價運算公理: x, y, zÎ0, 1 邊界條件Q1 Q(1, y)y, Q(x, 1)x單調(diào)性Q2 Q(x, y)關(guān)于|xy|單調(diào)減連續(xù)性Q3 Q(x, y)關(guān)于x, y連續(xù)保值性Q4 Q(x, y)1, iff xy (除h0和k1外).2）等價運算模型可受k, h, b的聯(lián)合影響，是一個運算模型完整簇 Q(x, y, k, h, b)ite(1|2bxnm2(1b)ynm|)

20、1/mn|m0; (1|2bxnm2(1b)ynm|)1/mn其中當b0.5時，偏袒性的影響消失，Q(x, y, k, h)ite(1|xnmynm|)1/mn|m0; (1|xnmynm|)1/mn其中當k0.5時，誤差的影響消失，Q(x, y, h)ite(1|xmym|)1/m|m0; (1|xmym|)1/mQ(x, y, h)有四個特殊算子（見圖18）:Zadeh等價 Q(x,y,1)Q3ite1|xy;min(x,y) 概率等價 Q(x,y,0.75)Qmin(x/y,y/x) (I等價)有界等價 Q(x,y,0.5)Q11|xy| (S等價)突變等價 Q(x,y,0)Q0itex

21、|y1;y|x1;1 圖18 特殊的h型等價運算模型圖7，平均運算公理及模型1) 平均運算模型M(x, y)是0, 12®0, 1的二元運算, 它必須滿足以下的平均運算公理: x, y, zÎ0, 1邊界條件M1 min(x, y)M(x, y)max(x, y)單調(diào)性M2 M(x, y)關(guān)于x, y單調(diào)增連續(xù)性M3 M(x, y)關(guān)于x, y連續(xù)冪等性M4 M(x, x)x2）平均運算模型可受k, h, b的聯(lián)合影響，是一個運算模型完整簇 M(x, y, k, h, b)(1(b(1xn) m(1b)(1yn) m)1/m)1/n其中當b0.5時，偏袒性的影響消失，M(x

22、, y, k, h)(1(1xn) m(1yn) m)1/m)1/n其中當k0.5時，誤差的影響消失，M(x, y, h)1( (1x) m(1y) m)1/mM(x, y, h)有四個特殊算子（見圖19）:圖19 特殊的h型平均運算模型圖Zadeh平均 M(x, y, 1)M3max(x, y)S3概率平均 M(x, y, 0.75)M1(1x)(1y)1/2 有界平均 M(x, y, 0.5)M1(xy)/2 (算術(shù)平均)突變平均 M(x, y, 0)M0min(x, y)T3其中還有一些常見的平均算子,如幾何平均 1M(1x, 1y, 0.75)(xy)1/2調(diào)和平均 1M(1x, 1y

23、, 0.866)2xy/(xy)8，組合運算公理及模型1) 組合運算模型Ce(x, y)是0, 12®0, 1的二元運算, 它必須滿足以下的組合運算公理: x, y, zÎ0, 1邊界條件C1 當x, ye時, C e(x,y)min(x, y); 當x, ye時, C e(x,y)max(x, y); 當xy2e時, C e(x, y)e; 否則, min(x, y)C e(x, y)max(x, y)單調(diào)性C2 C e(x, y)關(guān)于x, y單調(diào)增連續(xù)性C3 C e(x, y)關(guān)于x, y連續(xù)幺元律C4 C e(x, e)x2）組合運算模型可受k, h, b的聯(lián)合影響，是一個運算模型完整簇Ce(x, y, k, h, b)itemin(e, (max(0, 2bxnm2(1b)ynmenm)1/mn|2bx2(1b)y2e; (1(min(1en, (max(0, 2b(1xn)m2(1b)(1yn)m(1en)m)1/m)1/n)|2bx2(1b)y2e; e其中當b0.5時，偏袒性的影響消失Ce(x, y, k, h)itemin(e, (max(0, xnmynmenm)1/mn|xy2e; (1(min(1en, (max(0, (1xn)m(1yn)