數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其特征分析

1、.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其特征分析2014 年 3 月，教育部發(fā)布了關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn) ，明確提出將研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、 修訂課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)、 改進(jìn)學(xué)科教學(xué)的育人功能作為落實(shí)課程改革的關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié) 1。學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的研究與討論，成為教育界乃至社會(huì)關(guān)注的重要話題。2016年9月13日，教育部公布中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，正式確定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架、維度和指標(biāo)。 學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力 2。學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要體現(xiàn)在學(xué)校的教育教學(xué)過(guò)程之中，而學(xué)科教育

2、占學(xué)校教育的 70%以上，是學(xué)生在學(xué)校接受教育的主要途徑。 數(shù)學(xué)是中小學(xué)教育的主要學(xué)科之一， 如何理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其與學(xué)生發(fā)展素養(yǎng)的關(guān)系， 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有哪些重要的特征，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中理解和體現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有重要意義。一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解雖然“學(xué)生的核心素養(yǎng)體現(xiàn)跨學(xué)科、綜合性的能力培養(yǎng)” 3，但學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)形成， 必然要通過(guò)學(xué)科教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 并且每一個(gè)學(xué)科有自身的獨(dú)特價(jià)值， 在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面發(fā)揮特殊的作用， 數(shù)學(xué)學(xué)科更是如此。1.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含意。Word 文檔.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程教學(xué)為載體， 基于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是

3、在數(shù)學(xué)知識(shí)技能的學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，有助于學(xué)生深刻理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)技能。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不等同于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，是高于數(shù)學(xué)的知識(shí)技能，指向于學(xué)生的一般發(fā)展， 反映數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與及其賴(lài)以形成與發(fā)展的重要思想，有助于學(xué)生終身和未來(lái)發(fā)展。 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和容密切相關(guān)，對(duì)于理解數(shù)學(xué)容的本質(zhì)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，以及開(kāi)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等，有著重要的意義和價(jià)值。一般認(rèn)為，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來(lái)的生活中為滿足個(gè)人成為一個(gè)會(huì)關(guān)心、會(huì)思考的市民的需要而具備的認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)生活中的地位的能力， 做出數(shù)學(xué)判斷的能力， 以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力。 4”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，

4、是人們通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、 理解和處理周?chē)挛飼r(shí)所必備的品質(zhì)與能力， 通常是在人們與周?chē)h(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略。 人們所遇到的問(wèn)題可能是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 而具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人可以從數(shù)學(xué)的角度看待問(wèn)題， 用數(shù)學(xué)的思維方法思考問(wèn)題， 用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 年版）明確提出數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)特別重視的 10 個(gè)重要能力，即數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。可以把這 10 個(gè)重要能力理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)達(dá)成的重Word 文檔.要思維品質(zhì)和關(guān)鍵能

5、力。 因此，把它們理解為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)?。正在修訂的普通高中?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出了 6 大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析 5。可見(jiàn)，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)中確定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的 10 個(gè)核心素養(yǎng)是一脈相承的，關(guān)鍵要素的表達(dá)是基本一致的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映了數(shù)學(xué)的基本思想和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。 史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本思想“是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴(lài)、 所依靠的思想”?！皵?shù)學(xué)發(fā)展所依賴(lài)的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過(guò)抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過(guò)模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的

6、聯(lián)系” 6。數(shù)學(xué)基本思想是研究數(shù)學(xué)科學(xué)不可缺少的思想，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解和掌握數(shù)學(xué)所應(yīng)追求和達(dá)成的目標(biāo)。 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模反映的是數(shù)學(xué)基本思想， 是核心素養(yǎng)中最重要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。另外三個(gè)方面的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析，可以理解為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力和方法。 當(dāng)然，思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力并非截然分開(kāi)的，抽象、推理和建模也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要能力。上述 10 個(gè)方面或 6 個(gè)方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的， 是基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能學(xué)習(xí)過(guò)程而形成的。 同時(shí)，這些素養(yǎng)又對(duì)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)技能， 進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析和解決問(wèn)題， 以及學(xué)生的

7、一般發(fā)展， 都有重要作用。2.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)系。Word 文檔.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)具有共同的屬性， 即都是核心素養(yǎng)，關(guān)注的都是學(xué)生深層的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。 核心素養(yǎng)關(guān)注學(xué)生一般發(fā)展，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是針對(duì)學(xué)生在一個(gè)階段的學(xué)習(xí)形成的一般發(fā)展的重要的和關(guān)鍵的品質(zhì)和能力，如社會(huì)擔(dān)當(dāng)、人文底蘊(yùn)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)等。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中形成的體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)的具有一般發(fā)展屬性的品質(zhì)與能力。 學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)二者之間有在的聯(lián)系?？梢酝ㄟ^(guò)圖 1 理解學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系。首先，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)指向?qū)W生整體的全面的發(fā)展， 是學(xué)生綜合素養(yǎng)中的核心素養(yǎng)。 數(shù)

8、學(xué)核心素養(yǎng)作為學(xué)科核心素養(yǎng)處于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的下位， 同樣指向?qū)W生發(fā)展核心素養(yǎng)， 但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并非全部屬于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)， 學(xué)科核心素養(yǎng)的總和不等于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。一方面， 學(xué)科教學(xué)不是學(xué)校教育的全部，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)并非全部由學(xué)科課程與教學(xué)完成； 另一方面，學(xué)科核心素養(yǎng)大部分指向?qū)W生發(fā)展核心素養(yǎng)， 但也不排除其中有一小部分只是針對(duì)學(xué)科部的Word 文檔.思維與能力，重點(diǎn)解決學(xué)科知識(shí)的理解所運(yùn)用的思維品質(zhì)與能力。 就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中可能存在對(duì)于學(xué)科本身是重要的和關(guān)鍵的，而在學(xué)生的整體發(fā)展方面并非關(guān)鍵的核心素養(yǎng)。 如數(shù)學(xué)中的幾何直觀，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題屬于關(guān)鍵能力， 可以作為數(shù)

9、學(xué)的核心素養(yǎng)之一，但對(duì)于學(xué)生的一般發(fā)展未必是關(guān)鍵能力。其次，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑， 也承擔(dān)著形成學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的任務(wù)。 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)目標(biāo)具有數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特殊性，同時(shí)又是學(xué)生全面發(fā)展的組成部分，因此，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的最終目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。 數(shù)學(xué)的課程設(shè)計(jì)與教學(xué)過(guò)程，既關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，又關(guān)注學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程承擔(dān)著數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)任務(wù)， 也具有發(fā)展學(xué)生的一般核心素養(yǎng)的功能。再次，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)具有跨學(xué)科性。 學(xué)校設(shè)計(jì)和組織的學(xué)科教學(xué)以外的各類(lèi)活動(dòng)對(duì)于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)發(fā)揮重要作用， 但不意味著學(xué)生的核心素養(yǎng)一定要通過(guò)跨學(xué)科的方式實(shí)現(xiàn)。

10、 每一個(gè)學(xué)科都有培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)的任務(wù)， 同樣也是實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要載體。學(xué)生的核心素養(yǎng)既有跨學(xué)科性， 又必須通過(guò)各學(xué)科的課程教學(xué)實(shí)現(xiàn)。二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既具有學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的屬性，也具有數(shù)學(xué)學(xué)科的屬性。林崇德認(rèn)為，核心素養(yǎng)具有六個(gè)方面的特征，“核心素養(yǎng)是所有學(xué)生應(yīng)具有的最關(guān)鍵、最必要的基礎(chǔ)素養(yǎng)；核心素養(yǎng)是知識(shí)、能Word 文檔.力和態(tài)度等的綜合表現(xiàn)；核心素養(yǎng)可以通過(guò)接受教育來(lái)形成和發(fā)展；核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性； 核心素養(yǎng)兼具個(gè)人價(jià)值和社會(huì)價(jià)值；學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是一個(gè)體系，其作用具有整合性” 7。依據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征， 結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解， 數(shù)學(xué)核心

11、素養(yǎng)的主要特征包括綜合性、學(xué)科性、關(guān)鍵性、階段性和持久性。我們可以通過(guò)一個(gè)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)的實(shí)例說(shuō)明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)特征。“11-20 的數(shù)認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段8：“11-20 的數(shù)認(rèn)識(shí)”是學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)數(shù)位與數(shù)位上的值，是學(xué)習(xí)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的開(kāi)始。雖然這個(gè)容許多學(xué)生在學(xué)前階段就學(xué)過(guò)，但學(xué)生是否真正理解十進(jìn)制數(shù)的表示方法， 學(xué)生對(duì)不同數(shù)位上的數(shù)表示不同的數(shù)值是否清楚，這關(guān)系到“數(shù)感”和數(shù)的抽象等重要的數(shù)學(xué)思想。在這節(jié)課的設(shè)計(jì)上，教師針對(duì)學(xué)生可能存在的困惑，在理解這個(gè)知識(shí)的過(guò)程中，突出了數(shù)學(xué)抽象，注重學(xué)生“數(shù)感”的形成。以下的片段就是在學(xué)生具體感受古人是如何認(rèn)識(shí)數(shù)的，怎樣用小木棒表示 12 這個(gè)數(shù)

12、等活動(dòng)的基礎(chǔ)上， 提出一個(gè)富于思考的問(wèn)題， 引起學(xué)生的討論和爭(zhēng)論。師：孩子們，我們的故事還在繼續(xù)，還記得嗎？聰明的古人用 1 個(gè)大石頭和 1 個(gè)小石頭表示出 （11），我們用一捆小棒和一根小棒也能表示出（11），但是問(wèn)題來(lái)了， 現(xiàn)在只有 2 顆長(zhǎng)得像這樣顏色一樣、大小也一樣的小珠子了，還能表示 11 嗎？Word 文檔.（以下的討論表現(xiàn)出學(xué)生意見(jiàn)不一致， 有人認(rèn)為能，有人認(rèn)為不能，教師分別請(qǐng)幾個(gè)代表到前邊來(lái)討論，說(shuō)說(shuō)自己的想法）生 1：我覺(jué)得 2 顆小珠子是一樣大的， 不能表示 11，只能表示 2，它就是 2 個(gè)，不能表示 11。也可以表示 20.生 2：我摸的時(shí)候就像 2 顆，不像 20。生

13、 3：有一顆當(dāng)作十位，另一顆當(dāng)作個(gè)位，就可以表示11 了。生 4：用一顆珠子表示 10 個(gè)，另一顆表示 1 個(gè)。生 1：2 顆一樣大的，就不能表示 11，要是一顆大、一顆小就可以了?？墒沁@ 2 顆小珠子一樣大呀？又不是一顆大一個(gè)小。 一樣大的2 顆珠子，要么表示2，要么表示 20，不能表示 11.師：是呀，都長(zhǎng)得一樣，你怎么能讓所有人都知道到底誰(shuí)是 10 誰(shuí)是 1呀？生 3：在一顆珠子上寫(xiě)十位，在另一顆珠子上寫(xiě)個(gè)位，就能區(qū)分了，就可以表示 11 了。師：其實(shí)剛才他的想法和數(shù)學(xué)家的想法特別像， 數(shù)學(xué)家為我們制造了計(jì)數(shù)的工具，快來(lái)看（出示計(jì)數(shù)器），認(rèn)識(shí)嗎？師：這叫計(jì)數(shù)器。這是數(shù)學(xué)家?guī)臀覀儼l(fā)明的，看

14、看，計(jì)數(shù)器上有好多的小位子，從右邊開(kāi)始第一位叫“個(gè)位”，第二位叫“十位”。師：有了“計(jì)數(shù)器”的幫助，能不能表示出 11 呢？我們來(lái)看一看。師：在黑板上畫(huà)計(jì)數(shù)器，然后在個(gè)位上放一顆小珠子， 表示什么？生： 1 個(gè)一。師：在十位上放1 顆小珠子，這可不是1 個(gè)一啦！Word 文檔.生：這是 1 個(gè)十。師：真好， 1 個(gè)十和 1 個(gè)一合起來(lái)就是11。上面的教學(xué)片段中， 學(xué)生爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在于： 用 2 顆相同的小珠子是否可以表示 11。兩種觀點(diǎn)針?shù)h相對(duì)， 能表示 11 和不能表示 11，都能說(shuō)出道理。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中確實(shí)認(rèn)真思考，動(dòng)腦筋想問(wèn)題，投入到學(xué)習(xí)過(guò)程中了。最后抓住了理解這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵“在一顆珠子

15、上寫(xiě)十位，在另一顆珠子上寫(xiě)個(gè)位”，這樣就可以表示 11 了。這是學(xué)生對(duì)數(shù)位與不同數(shù)位上的數(shù)字可以表示不同的值的理解過(guò)程。 我們從這個(gè)教學(xué)片段的分析入手，可以分析學(xué)生核心素養(yǎng)的一些特征。借助上面的案例，我們來(lái)分析學(xué)科核心素養(yǎng)的特征。首先是綜合性。 綜合性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、 基本能力、基本思想等的綜合體現(xiàn)。 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力可以看作數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn)。在上面“ 11-20 的數(shù)認(rèn)識(shí)”的教學(xué)過(guò)程中，涉及數(shù)的理解、 數(shù)的意義和數(shù)的表示等基礎(chǔ)知識(shí)， 學(xué)生需要理解可以用數(shù)來(lái)表示小棒的個(gè)數(shù)， 不同個(gè)數(shù)的小棒用不同的數(shù)來(lái)表示。 當(dāng)需要表示 11、12 根小棒這樣的數(shù)量的時(shí)候，就產(chǎn)生了

16、不同的表示方法，引起學(xué)生思維上的沖突。當(dāng)老師提出“用同樣的兩顆珠子能不能表示11”時(shí)，出現(xiàn)兩種不同的想法，在兩種想法的討論、爭(zhēng)論的過(guò)程中，學(xué)生的思維不斷得到啟發(fā)， 逐步把原有的知識(shí)與方法和現(xiàn)在遇到的情境進(jìn)行整合，形成對(duì)這個(gè)問(wèn)題的新的理解與認(rèn)知。 這一過(guò)程是綜合運(yùn)用知識(shí)技能與設(shè)計(jì)方法的過(guò)程， 既對(duì)所學(xué)知識(shí)有深刻的理解， 又形成了重要的數(shù)學(xué)思想。核心素養(yǎng)總是基于基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力實(shí)現(xiàn)的，Word 文檔.并且外化于運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力解決問(wèn)題的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)基本思想與學(xué)習(xí)態(tài)度等核心素養(yǎng)總是表現(xiàn)為隱的特質(zhì)。第二是學(xué)科性。 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)總是具有數(shù)學(xué)的學(xué)科屬性， 這種學(xué)科性與數(shù)學(xué)學(xué)科容的特征和

17、數(shù)學(xué)思維密切聯(lián)系。 數(shù)學(xué)的知識(shí)技能又蘊(yùn)含與之密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。 因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)總是與一個(gè)或多個(gè)學(xué)習(xí)容有關(guān)， 體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特征。 上面實(shí)例中的容是數(shù)的認(rèn)識(shí)，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的核心容，與之相關(guān)的核心素養(yǎng)是數(shù)感，或數(shù)學(xué)抽象。第三是關(guān)鍵性。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)達(dá)成的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程， 都需要學(xué)生在理解掌握知識(shí)技能的過(guò)程中，運(yùn)用不同的思想、方法、技能和技巧。并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所有的方法和能力都能成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)， 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是反映數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的，理解和解決一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想和能力，不是只適用于特定的容和特定情境的方法。上面實(shí)例中

18、，認(rèn)識(shí)數(shù)的時(shí)候，兩個(gè)兩個(gè)數(shù)，五個(gè)五個(gè)數(shù)等，都是表示數(shù)的方法，在一定的情境中是適用的。而對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，通用的方法是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。學(xué)生掌握不同數(shù)位上的數(shù)字可以表示不同的數(shù)值，不只對(duì)于理解 20 以的數(shù)有價(jià)值，進(jìn)一步理解更大的數(shù)同樣是這樣的方法。因此，學(xué)習(xí)抽象的表示數(shù)的方法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識(shí)的重要思想。第四是階段性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中形成核心素養(yǎng)是學(xué)生終身受用的，核心素養(yǎng)也是在學(xué)習(xí)的不同階段逐漸形成的。 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的階段性是指核心素養(yǎng)表現(xiàn)為不同層次水平， 不同學(xué)段學(xué)生的核心素養(yǎng)表Word 文檔.現(xiàn)為不同水平。在上面的例子中，學(xué)習(xí)的容是數(shù)的認(rèn)識(shí)的開(kāi)始，學(xué)生是初步建立數(shù)感，初步體驗(yàn)數(shù)的抽象性。在這里，數(shù)的意義和數(shù)的表示僅限于 20 以的數(shù)。隨著學(xué)生的年級(jí)增高， 學(xué)習(xí)的數(shù)也在不斷拓展，從 20 以的數(shù)，到， 100 以、萬(wàn)以的數(shù)，進(jìn)而從整數(shù)拓展到小數(shù)和分?jǐn)?shù)。數(shù)的認(rèn)識(shí)的容在不斷拓展，對(duì)數(shù)