第2章 2.3 2.3.1　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、.2.3雙曲線2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目的：1.掌握雙曲線的定義，會用雙曲線的定義解決實際問題重點2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程重點3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題難點自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1雙曲線的定義2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程1a0，b01a0，b0圖形焦點坐標(biāo)c,0，c,00，c，0，ca，b，c的關(guān)系式c2a2b2考慮1：雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？提示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，即c2a2b

2、2，其中c>a，c>b，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中a>b>0，a>c，c與b的大小關(guān)系不確定考慮2：如何確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型？提示焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，假設(shè)x2的系數(shù)為正，那么焦點在x軸上，假設(shè)y2的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上根底自測1考慮辨析1平面內(nèi)到兩定點的間隔 的差等于常數(shù)小于兩定點間間隔 的點的軌跡是雙曲線2在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1中，a>0，b>0且ab.3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a>b.提示1×差的絕對值是常數(shù)，且02a|F1

3、F2|才是雙曲線2×a與b大小關(guān)系不定，a和b相等時叫等軸雙曲線3×2雙曲線1的焦距為A3 B4C3 D4D解a210，b22，c2a2b212，c2，2c4，應(yīng)選D.3雙曲線的a5，c7，那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：33242148】1或1b2c2a2492524，雙曲線方程為1或1.合 作 探 究·攻 重 難雙曲線定義的應(yīng)用探究問題1如何理解雙曲線定義中的“大于零且小于|F1F2|？提示：假設(shè)將“小于|F1F2|改為“等于|F1F2|，其余條件不變，那么動點軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線包括端點；假設(shè)將“小于|F1F2|改為“大于|F1F2|，

4、其余條件不變，那么動點軌跡不存在；假設(shè)常數(shù)為零，其余條件不變，那么動點的軌跡是線段F1F2的中垂線2假設(shè)|MF1|MF2|F1F2|，那么動點M的軌跡是什么？提示：1定義中間隔 的差要加絕對值，否那么只為雙曲線的一支設(shè)F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點，假設(shè)|MF1|MF2|2a，那么點M在右支上；假設(shè)|MF2|MF1|2a，那么點M在左支上2雙曲線定義的雙向運(yùn)用：假設(shè)|MF1|MF2|2a0<2a<|F1F2|，那么動點M的軌跡為雙曲線；假設(shè)動點M在雙曲線上，那么|MF1|MF2|2a.F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個焦點，假設(shè)P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|32

5、.試求F1PF2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：33242149】思路探究根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理求出F1PF2即可解由1得a3，b4，c5.由雙曲線定義及P是雙曲線左支上的點得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，又|PF1|·|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得cosF1PF20，F(xiàn)1PF290°，S|PF1|·|PF2|16.母題探究：1.變換條件假設(shè)本例中雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不變，且其上一點P到焦點F1的間隔 為10，求點P到焦點F2的間隔 解由1得a3，b4，c5，由雙曲線定義得|PF1|PF2|

6、6，即|PF1|PF2|±6，|PF2|10±6，點P到焦點F2的間隔 為4或16.2變換條件假設(shè)把本例條件“|PF1|·|PF2|32換成“|PF1|PF2|25，其他條件不變，試求F1PF2的面積解由1得a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可設(shè)|PF1|2k，|PF2|5k.由|PF2|PF1|6可得k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得cosF1PF2，sinF1PF2，S|PF1|·|PF2|·sinF1PF2×4×10×8.規(guī)律方法雙曲線上的點P與其兩個焦點F1，F(xiàn)2連接而成的三角形PF

7、1F2稱為焦點三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2，因|F1F2|2c，所以有1定義：|r1r2|2a.2余弦公式：4c2rr2r1r2cos .3面積公式：Sr1r2sin .一般地，在PF1F2中，通過以上三個等式，所求問題就會順利解決.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求合適以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1a4，經(jīng)過點A；2經(jīng)過點3,0，6，3思路探究先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組求解解1當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1b0，把A點的坐標(biāo)代入，得b2×0，不符合題意；當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1b0，把A點的坐標(biāo)代入，得b29，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1

8、.2設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21mn<0，雙曲線經(jīng)過點3,0，6，3，解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法1求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個關(guān)注點2待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的四個步驟定位置：根據(jù)條件確定雙曲線的焦點在哪條坐標(biāo)軸上，還是兩種都有可能設(shè)方程：根據(jù)焦點位置，設(shè)其方程為1或1a0，b0，焦點位置不定時，亦可設(shè)為mx2ny21mn0尋關(guān)系：根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，cm，n的方程組得方程：解方程組，將a，bm，n代入所設(shè)方程即可得求標(biāo)準(zhǔn)方程提醒：求標(biāo)準(zhǔn)方程時，一定要先區(qū)別焦點在哪個軸上，選取適宜的形式跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1c，經(jīng)過點A5,2，焦點在x軸上；2與橢圓1共焦點

9、且過點3，解1設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1a0，b0，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230舍b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.2橢圓1的焦點坐標(biāo)為2，0，2，0依題意，那么所求雙曲線焦點在x軸上，可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1a0，b0，那么a2b220.又雙曲線過點3，1.a2202，b22.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.與雙曲線有關(guān)的軌跡問題如圖2­2­8，在ABC中，|AB|4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點C的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：33242150】圖2­2­8解以AB邊所在的直線為x軸

10、，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖，那么A2，0，B2，0. 由正弦定理，得sin A，sin B，sin CR為ABC的外接圓半徑2sin Asin C2sin B，2ac2b，即ba，從而有|CA|CB|AB|2|AB|.由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支除去與x軸的交點a，c2，b2c2a26，即所求軌跡方程為1x規(guī)律方法求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：1列出等量關(guān)系，化簡得到方程；2尋找?guī)缀侮P(guān)系，雙曲線的定義，得出對應(yīng)的方程.求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：1雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸；2檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.跟蹤訓(xùn)練2如

11、圖2­2­9所示，定圓F1：x52y21，定圓F2：x52y242，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程圖2­2­9解圓F1：x52y21，圓心F15,0，半徑r11；圓F2：x52y242，圓心F25,0，半徑r24.設(shè)動圓M的半徑為R，那么有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，且a，c5，于是b2c2a2.動圓圓心M的軌跡方程為1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1假設(shè)點M在雙曲線1上，雙曲線的焦點為F1，F(xiàn)2，且|MF1|3|MF2|，那么|MF2|

12、等于【導(dǎo)學(xué)號：33242151】A2 B4C8 D12B雙曲線中a216，a4,2a8，由雙曲線定義知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.2“ab<0是“方程ax2by2c表示雙曲線的A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A當(dāng)方程表示雙曲線時，一定有ab<0，反之，當(dāng)ab<0時，假設(shè)c0，那么方程不表示雙曲線3假設(shè)方程3表示焦點在y軸上的雙曲線，那么m的取值范圍是 【導(dǎo)學(xué)號：33242152】A1,2B2， C，2D2,2C由題意，方程可化為3，解得：m2.4動圓M與圓C1：x32y29外切且與圓C2：x32y21內(nèi)切，那么動圓圓心M的軌跡方程是_1x2設(shè)動圓M的半徑為r.因為動圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1.相減得|MC1|MC2|4.又因為C13,0，C23,0，并且|C1C2|64，所以點M的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線的右支