數(shù)學(xué)中的一般化與特殊化例談

1、數(shù)學(xué)中的一般化與特殊化例談 何華興 (無(wú)錫高等師范學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214001)摘要:本文通過(guò)一組實(shí)例探討“一般化”和“特殊化”這兩種解題的基本策略，分析它們的適用條件，并介紹相關(guān)的思維過(guò)程、步驟和應(yīng)用技巧。關(guān)鍵詞:一般化 特殊化一般化與特殊化是人類認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)重要側(cè)面，也是解題的兩種基本策略，它們相輔相成，是辯證的統(tǒng)一。 在多數(shù)場(chǎng)合，特殊問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀，容易認(rèn)識(shí)，容易把握。 但是，也有一些場(chǎng)合，特殊問(wèn)題的個(gè)別特性可能會(huì)掩蓋事物的本質(zhì)屬性，給解題帶來(lái)困難，而直接求解相應(yīng)的一般性問(wèn)題，反而來(lái)得簡(jiǎn)便、明快、奇巧。一、平起平坐 互為因果通常情況下，特殊不能代替一般；但有時(shí)，特殊命題確實(shí)能與一般命

2、題等價(jià)。利用特殊與一般等價(jià)解決問(wèn)題，有兩種基本形式：其一是特殊借助于一般使問(wèn)題獲得解決；其二是一般借助于特殊使問(wèn)題獲得解決。例1下列兩個(gè)命題是否等價(jià)?為什么?命題1 設(shè)ai0(i=1,2,n)，則,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)，等號(hào)成立。命題2設(shè)ai0(i=1,2,n)，且a1a2an=1，則a1+a2+ann，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)，等號(hào)成立。分析：(1) 命題2是命題1的特殊情況, 由命題1當(dāng)然能推出命題2。(2)考察下列n個(gè)正數(shù)：，由于它們的積為1，故 +n，即 。由命題2能推出命題1。由(1)，(2)可知，命題1與命題2等價(jià)。 這樣，我們就發(fā)現(xiàn)了一件非常有趣的事情：有時(shí)特殊命題與一般

3、命題等價(jià)。這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)并非只有理論上的價(jià)值。 事實(shí)上，既然有時(shí)“特殊命題與一般命題等價(jià)”，我們想要證明一般命題1，只要證明特殊命題2就可以了。 顯然，證明命題2要比證明命題1來(lái)得容易(命題2可用數(shù)學(xué)歸納法證明)。例2 設(shè)a，b，c，d，e都是正整數(shù)，且滿足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。分析：由條件等式的對(duì)稱性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，對(duì)a、b、c、d、e進(jìn)行排序，得到一個(gè)相應(yīng)的特殊問(wèn)題，從而便于放縮，使問(wèn)題得解。解：由條件等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)abcde。 由題設(shè)，有=1=+=。即de3+d+e， (d1)(e1)4。下面分兩種情形討論：(1) 若d=1，則由排序假

4、設(shè)有a=b=c=d=1，從而4+e=e，這是不可能的。(2) 若d1，則e14，即e5。 而當(dāng)e=5時(shí)，容易找到滿足條件的一組解a=b=c=1， d=2，e=5，即e=5是可能的。 即e的最大值為5。二、高屋建瓴 勢(shì)如破竹當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，要設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般性問(wèn)題，以便利用解決一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題，這就是一般化策略。 這種策略是通過(guò)找出特殊問(wèn)題的一般原型，把特殊問(wèn)題從原有范圍擴(kuò)展到較大范圍來(lái)進(jìn)行考察，從而使得我們能在更一般，更廣闊的領(lǐng)域中使用更靈活的方法去尋求化歸的途徑。用一般化策略解決數(shù)學(xué)

5、問(wèn)題的思維過(guò)程為：一般化特殊命題 一般化命題特殊化特殊命題的解 一般化命題的解一般化策略能否奏效，關(guān)鍵在于一般化命題是否比需解的特殊命題易于求解。例3證明：+ 。分析：將上述命題一般化，即證明 + (n1)。這是有關(guān)自然數(shù)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，1+=×，命題成立。(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2, kN+)時(shí)，命題成立，即 +。 于是有+=×。 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 由(1)、(2)可知一般化命題成立。 現(xiàn)取n=1000，即證得原不等式。由此可見，有時(shí)一般化命題比特殊命題易解，主要是因?yàn)橐话慊}中包含了一批特殊命題，并且把這些特殊命題有機(jī)

6、地結(jié)合起來(lái)，這比孤立地看一個(gè)特殊命題較易看清規(guī)律以及它們之間的屬性的差異方程、不等式與函數(shù)相比較，前者是特殊形式，后者是一般形式。 方程、不等式的解可理解為對(duì)應(yīng)函數(shù)處在某特定狀態(tài)時(shí)的自變量的值，其個(gè)數(shù)、大小、范圍都與函數(shù)性質(zhì)有密切的聯(lián)系。 因此，當(dāng)我們研究方程或不等式時(shí)，可用一般化策略，把他們置身于函數(shù)之中，使我們能在更一般，更廣闊的領(lǐng)域，在變化之中尋求化歸的途徑。 特別是當(dāng)方程或不等式的解受到較為復(fù)雜的條件制約時(shí)，置方程或不等式于函數(shù)之中，還可幫助我們克服由于考慮不周而帶來(lái)的失誤。例4 已知a、b是實(shí)數(shù)，且eab, 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。證明：abba分析：要證abba，只須證blnaal

7、nb, 即。 考慮函數(shù)f(x)=，x(e, +) (x)=0， 函數(shù)f(x)在(e,+)上是單調(diào)遞減函數(shù)。又ab， f(a)f(b)，即 從而命題得證。上題用一個(gè)變數(shù)x代替了給定的常數(shù)(雖然它們是常變數(shù)任意的常數(shù)，但習(xí)慣上人們還是靜態(tài)地來(lái)看待它們)，從而把考慮個(gè)別的函數(shù)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮整個(gè)函數(shù)的情況(由靜到動(dòng)、聯(lián)系起來(lái)看問(wèn)題)。 這樣就便于用導(dǎo)數(shù)的工具來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得以判斷不等式的正確性。一般化策略是解決問(wèn)題的有效方法，也是科學(xué)探索的常用方法。 實(shí)施一般化策略通常有以下三個(gè)步驟：（1）要從不同的側(cè)面分析題目的特征，找出能使題目一般化的有關(guān)因素；（2）從不同的因素入手，通過(guò)抽象、概括

8、或猜想，常?？梢缘玫蕉喾N一般性問(wèn)題，要力求從中找出最接近于特殊問(wèn)題本質(zhì)，又為自已所熟悉、易于解答的一般性問(wèn)題；（3）在返回原題的過(guò)程中，要注意一般性問(wèn)題與特殊問(wèn)題之間的差別，針對(duì)這種差別，采取不同的方法或技巧，以便順利地過(guò)渡到原題的解答上。三、擊中一點(diǎn) 牽動(dòng)全局從特殊到一般是人類認(rèn)識(shí)客觀事物的一種規(guī)律。 對(duì)于一個(gè)一般性的問(wèn)題, 先研究它的某些特殊情形, 從而獲得解決問(wèn)題的途徑, 使問(wèn)題得以“突破”，這種解決問(wèn)題的策略稱為特殊化策略。 共性孕育在個(gè)性之中。 人們總是首先認(rèn)識(shí)了許多不同事物的特殊本質(zhì)，然后才有可能更進(jìn)一步地作概括，認(rèn)識(shí)諸種事物的共同本質(zhì)。 特殊化策略，正是特殊與一般的辨證關(guān)系在解題

9、中的靈活運(yùn)用，它生動(dòng)地體現(xiàn)了認(rèn)識(shí)過(guò)程中以退為進(jìn)的思想方法。 “在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用?！?希爾伯特語(yǔ))。 對(duì)個(gè)別特殊情況的討論，常能凸現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵，揭示問(wèn)題的本質(zhì)。 用特殊化策略解決問(wèn)題的思維過(guò)程，可用框圖表示如下： 有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解特殊化問(wèn)題的關(guān)鍵性步驟，就是求解一般化問(wèn)題的關(guān)鍵性步驟。 因此，我們要注意從相應(yīng)的特殊化問(wèn)題求解中尋求有益啟示，發(fā)現(xiàn)一般化問(wèn)題的解題關(guān)鍵。例5 試證明一個(gè)周長(zhǎng)為2的封閉曲線一定可以被一個(gè)直徑為的圓蓋住。 分析：直接著手證明一時(shí)看不到頭緒，我們不妨先從特殊的情形入手。 比如，分析周長(zhǎng)為2的平行四邊形的情形。 設(shè)ABCD是周長(zhǎng)為2

10、的平行四邊形(如圖1)，由于POD=BD(BC+CD)=。 同理：OC。PD CCOAOAB圖1 圖2 顯然，這個(gè)平行四邊形能被以O(shè)點(diǎn)為圓心，直徑為的圓蓋住。對(duì)于周長(zhǎng)為2的任意形狀的封閉曲線（如圖2），設(shè)A，C兩點(diǎn)恰好把這封閉曲線平分為長(zhǎng)為的兩段，O是線段AC的中點(diǎn)，P是該曲線上任意一點(diǎn)，連接PO，PA，PC，則有PO(AP+CP) (曲線AP的長(zhǎng)+曲線CP的長(zhǎng))=曲線AC的長(zhǎng)=所以P在一個(gè)以O(shè)為圓心，直徑是的圓內(nèi)。 因?yàn)镻是該曲線上的任一點(diǎn)，所以該封閉曲線一定可以被一個(gè)直徑為的圓蓋住。例6 已知：+=，abc0，求證：+=。分析：解決本題的關(guān)鍵在于利用已知條件，而其中a、b、c是抽象的字母，

11、為此，不妨用具體的數(shù)字來(lái)替代。令a=1，b=2，則+=，得c=1或2。令a=3, b=4，則可得c=3或4。由此產(chǎn)生猜想：滿足已知條件+=(abc0)的a、b、c中，至少有兩個(gè)互為相反數(shù)。 同時(shí)，上述試驗(yàn)還給我們提供了證實(shí)猜想的方法，即：把a(bǔ)、b看做已知數(shù)，解關(guān)于c的方程+=，可得c=a或b。 此時(shí)不僅猜想被證實(shí)，整個(gè)題目也因猜想的證實(shí)而迎刃而解。 將一般問(wèn)題特殊化，通常并不難，只須針對(duì)所研究的對(duì)象添加某些限制或適當(dāng)加強(qiáng)某些條件即可。 但是，一個(gè)一般問(wèn)題經(jīng)過(guò)不同的特殊化處理可以得到若干個(gè)不同的特殊問(wèn)題，需要指出的是：將一般問(wèn)題特殊化，求解能否奏效的關(guān)鍵是能否找到一個(gè)在解題中起主導(dǎo)作用的特殊問(wèn)題

12、。 比較理想的特殊問(wèn)題，既要求它本身容易解決，又能由它的解法發(fā)現(xiàn)一般問(wèn)題的解法。四、協(xié)同運(yùn)用 出奇制勝對(duì)于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，特殊化與一般化這兩種解題策略必須協(xié)同運(yùn)用，才能順利解決。例7 能否將n個(gè)正方形剪拼成一個(gè)大的正方形？分析：這里要解決的是個(gè)數(shù)為n的一般性問(wèn)題，結(jié)論尚屬未知。先考察一個(gè)最簡(jiǎn)單的特殊情形將兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形S1與S2剪拼成一個(gè)正方形S12，可按圖3所示的方法剪拼而成。 這種特殊情況是將一般情況經(jīng)兩次特殊化（正方形個(gè)數(shù)特殊化、邊長(zhǎng)特殊化）而得到的。 在這種特殊情況下剪拼方法一目了然。 為了將其推向一般，我們也分兩步走。 第一步，考慮兩個(gè)大小不同的正方形的情況。 第二步，考慮n個(gè)任

13、意正方形的情況。 為將上述剪拼法推向兩個(gè)大小不同的正方形，我們來(lái)對(duì)它作一定量的分析。 要剪拼出新正方形s12，只需計(jì)算出其邊長(zhǎng)以及確定裁剪的路線。 由圖3，S12的一邊x與S1的一邊a和S2的一邊a恰好組成一個(gè)直角三角形，x為斜邊，a，a為兩直角邊。據(jù)此我們猜想：對(duì)兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形S1,S2來(lái)說(shuō)，比照上述做法，以a，b為兩直角邊作直角三角形，再以其斜邊為邊長(zhǎng)和裁剪路線，也能剪拼出一個(gè)新的正方形S12來(lái)。 a實(shí)際驗(yàn)證說(shuō)明上述猜想是正確的(如圖4)。2S2a3xaS131bS2S121S12S12 圖3 圖4如果給定三個(gè)正方形S1，S2，S3,那么我們可用上述方法先將S1，S2剪拼成一

14、個(gè)正方形S12，再將S12與S3剪拼成一個(gè)正方形S123。由歸納法我們得出關(guān)于一般性問(wèn)題的猜想：任意n個(gè)正方形都可以剪拼成一個(gè)正方形。由類比法我們還可得出關(guān)于證法的猜想：設(shè)給定n個(gè)正方形S1，S2，Sn，先將S1與S2按上述方法剪拼成一個(gè)正方形S12；再將S12與S3剪拼成一個(gè)正方形S123；，最后將S12(n-1)與Sn剪拼成一個(gè)正方形S12n。我們發(fā)現(xiàn)，上述做法有遞推關(guān)系，故我們不必一個(gè)一個(gè)地去驗(yàn)證，可使用數(shù)學(xué)歸納法，做一次驗(yàn)證就可以了。證明：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)n=2時(shí)，按圖4所示的方法，可將任意兩個(gè)給定的正方形剪拼成一個(gè)正方形。假設(shè)k(k2)個(gè)正方形能剪拼成一個(gè)正形，那么，對(duì)給定的k+1個(gè)正方形，我們可先將前k個(gè)剪拼成一個(gè)正方形S12k