直接證明--綜合法與分析法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§2. 2 .1 直接證明-綜合法與分析法1教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)3教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)4教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。5教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是

2、“變形”的常用方法。 6教學(xué)過程:學(xué)生探究過程：合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-直接證明與間接證明。若要證明下列問題：已知a,b>0,求證教師活動(dòng)：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。學(xué)生活動(dòng)：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義證明:因?yàn)?所以,因?yàn)?所以.因此, .P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論1. 綜合法綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所

3、要證明的不等式成立，這種證明方法叫做綜合法用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法例1、在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是2B =A + C; A , B , C為ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來是A + B + C =； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦

4、定理正好滿足要求于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C 因?yàn)锳,B,C為ABC的內(nèi)角，所以A + B + C= 由 ，得B=.由a, b，c成等比數(shù)列，有.由余弦定理及，可得. 再由，得., 因此.從而A=C. 由，得A=B=C=.所以ABC為等邊三角形解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來例2、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比

5、較法：設(shè) 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？2. 分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，明尸 2 成立，再去尋求尸 2 成立的充分條件尸 3 件、定理、定義、公理等）為止乞，再去尋求尸 1 成立的充分條件尸 2 ；為了證 直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條即使 Q 成立的充分條件尸 1 為了證明尸 1 成立，分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化

6、為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法叫做分析法用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因分析法的書寫格式： 要證明命題B為真， 只需要證明命題為真，從而有 這只需要證明命題為真，從而又有 這只需要證明命題A為真而已知A為真，故命題B必為真例3、求證證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以為了證明只需證明展開得 即 因?yàn)槌闪?，所以成立即證明了說明：分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有這只需要證明命題

7、B2為真，從而又有這只需要證明命題A為真而已知A為真，故B必真在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。事實(shí)上，在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立下面來看一個(gè)例子例4 已知，且 求證：。分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系，于是，由 2一2

8、15; 得把與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)把結(jié)論轉(zhuǎn)化為,再與比較，發(fā)現(xiàn)只要把中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的證明：因?yàn)?，所以?代入，可得. 另一方面，要證即證 ， 即證，即證，即證。由于上式與相同，于是問題得證。例5 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的半徑為，截面積為；周長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為所以本題只需證明證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，依題意，截面是圓

9、的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為，所以本題只需證明為了證明上式成立，只需證明 兩邊同乘以正數(shù)，得因此，只需證明上式是成立的，所以這就證明了，通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大說明：對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的鞏固練習(xí)：第81頁練習(xí)1 , 2 , 3課后作業(yè)：第84頁 1，2, 3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是

10、“變形”的常用方法。分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識(shí)遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進(jìn)度，使課堂上進(jìn)度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實(shí)際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證

11、課堂教學(xué)進(jìn)度。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解直接證明的基本方法-綜合法，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。例1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：證明：2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因?yàn)閍，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而、三式也不能全取“=”號(hào)例2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：證明：左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比數(shù)列，又a，b，c都是正數(shù)，所以例3、若實(shí)數(shù)，求證：證明：采用差值比較法：=例4、已知a,b,c,dR,求證:ac+

12、bd分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然成立(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcdb2c2+a2d2即證0(bc-ad)2因?yàn)閍,b,c,dR,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd

13、故命題得證分析三:用比較法證法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd 例5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且ab，求證：a3+b3a2b+ab2    證明：(用分析法思路書寫)    要證 a3+b3a2b+ab2成立，    只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立，    即需證a2-ab+b2ab成立。(a+b0)    只需證a2-2ab+b20成立，    即需證(a-b)20成立。    而由已知條件可知，ab，有a-b0，所以