第14章數(shù)分(1)期中和期終試題及解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第14章 工科數(shù)學分析（1）考試模擬試題及解答工科數(shù)學分析（1）期中考試模擬試題 一、 敘述下面問題 (任選兩個問題回答,每小題5分,共10分) . 1)敘述數(shù)列是柯西列(基本列)的定義;2)敘述函數(shù)一致連續(xù)的定義;3)敘述閉區(qū)間套定理.二、 證明題(10分)1) 對,成立; 2)設(shè) ,證明 收斂（可用單調(diào)有界定理）. 三、 計算題 (20分)1) 求; 2)求;3)設(shè),求此無窮小的階;4）設(shè)，求, , ;5）設(shè) 求 .四、 敘述并證明關(guān)于函數(shù)極限與數(shù)列極限之間關(guān)系的海涅定理(10分).五、 討論下面問題(10分) 設(shè), 試問: 1) 為何值時, 在(-¥,

2、+¥)上連續(xù);2)在(-¥,+¥)上是否可導.六、 (共20分)1） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且在內(nèi)單調(diào)增加, 試證：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加;2） 設(shè) ,證明：;3） 判斷函數(shù)的凹凸性；4） 求函數(shù)在上的最大值和最小值.七、 (10分).討論函數(shù)在內(nèi)的一致連續(xù)性八、 證明下面問題(10分).1) 設(shè)在上連續(xù)，且，證明:存在,使得2) 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，求證：,使得.九、 附加題(10分).1) 設(shè)在上連續(xù),且有,(為有限數(shù)),證明: 在上一致連續(xù);2) 設(shè)在上連續(xù),且有,(為有限數(shù), ),證明: 與在上有相同的一致連續(xù)性.工科數(shù)學分析（1）期中考試

3、模擬試題解答一、1）答 對于給定數(shù)列，若滿足：對于任意給定的，存在一個，使當時，都有，則稱為柯西列.2） 答 設(shè)在區(qū)間上有定義，若滿足：對于任意給定的，存在一個，當時，有，則稱在上一致連續(xù).3） 答 設(shè)，并且，如果這一列區(qū)間的長度滿足，那么交集含有唯一的一點.二、 1） 證明:由，得 ;2） 證明：由（1）知，所以單調(diào)遞減; 再由 , 得有下界，由單調(diào)有界定理,知收斂. 三、1）解 ；2） 解 設(shè)，,因為 ， ， 所以；3）解 ，故為階的無窮??； 4）解 ，； ，于是， ； 5）解 ， ，于是 . 四、海涅定理：函數(shù)在點處有極限的必要充分條件是：對于任何一個收斂于的數(shù)列，數(shù)列都有極限。證明 必

4、要性 設(shè)，對，當時，便有；對于已取定的，由，當時，便有；這樣一來，當時，我們有，這正是 ； 充分性 用反證法 假設(shè)不成立，那么，對于每一個正整數(shù)，一定有一點，滿足，且使得 ;這就是說，我們已經(jīng)找到了一個數(shù)列，雖然，但是，這與條件矛盾；所以假設(shè)不成立；這樣便完成了定理的證明.五：解 1）顯然在處連續(xù)，再由 ，知當時, 在處連續(xù); 從而在(-¥,+¥)上連續(xù); 2）顯然在處可導;, ,所以在處不可導，于是 在(-¥,+¥)不可導 . 六 、1) 證明 ， 對使用微分中值定理，得，由內(nèi)單調(diào)增加，知，所以，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加 . 2) 證明 令，顯然，所以，即

5、; 3) 解 ，當時,有，所以是凸函數(shù).4) 解 ,令,得, 當時, ;在上嚴格遞減,且;當時, ;在上嚴格遞增;,故在上的最大值為,最小值為 .七、解 對，取盡管, 但，所以在上不一致連續(xù)八、1) 證明 由知存在一個,使得，且;由，知存在一個,使得，且，則在區(qū)間上兩端點異號，由連續(xù)函數(shù)介值定理,知存在,使得 .1） 證明 令,則 , 所以)在滿足羅爾中值定理的條件，于是存在，使得，因為，所以.九、附加題.1) 證明 設(shè).則對，當時，便有，從而有;對上面已定的（充分大），由于函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，利用Cantor定理，得在上一致連續(xù).對上述，當,且時，便有， 取,對任何,且時，必有（1），或（2）

6、中有一個屬于，不仿設(shè),此時必有，無論那種情況，都成立，故在上一致連續(xù). 2) 證明 設(shè),由題設(shè)條件,利用1)的結(jié)果,得在上一致連續(xù); 若在上一致連續(xù),則得在上一致連續(xù); 若在上一致連續(xù),則有在上一致連續(xù);故結(jié)論得證.工科數(shù)學分析（1）期末考試模擬試題一、 問答題 （每小題4分，共20分）1） 敘述帶有Peano余項的Taylor定理;2） 敘述帶有Lagrange余項的Taylor定理;3） 敘述利用達布上和和下和的函數(shù)可積的兩個等價定理;4） 敘述定積分的定義;5） 敘述刻畫函數(shù)可積性的Lebesgue定理.二、 計算下面問題（每小題5分，共20分）1) 求,（利用帶有Peano余項的Mac

7、laurin公式）;2) 求;3) 利用定積分方法，求 ;4) 求在x=3處的泰勒展開.三、 證明下列問題（兩個題目中任選其一）（10分）1、設(shè)函數(shù)在上具有二階導數(shù)，記, ;1) 求在處的泰勒展開；2) 求在處的泰勒展開；3) 證明：對成立；4) 證明：.2、設(shè)函數(shù)在上具有三階導數(shù)，記, ;若在上有界，證明: 在上也有界.提示:利用帶有Lagrange余項的Taylor定理證明.四、 求或證明下列積分（每題5分，共20分）1） ; 2）;3） ;4） 設(shè)在R上連續(xù)，則.五、（每小題10分，共20分）1、在曲線上某點作切線.使該曲線、切線、與軸圍成的圖形的面積為，求此切點和切線方程，并求此圖形繞

8、軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積.2、 假設(shè)在上可導，且，證明 ，.六、證明下面問題（10分）設(shè)在0,1上連續(xù)，且，證明：1）存在唯一根；2）對任意自然數(shù)，存在唯一，使得，并且 .工科數(shù)學分析（1）期末考試模擬試題解答一、1）答 2）答 其中；3）答 （1）（2）4）答 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義.在區(qū)間內(nèi)的任意插入個分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間，將此分割記為；任取 ，記，；作和（稱為部分和）；設(shè)，如果當時，有有限的極限，且此極限值與分割和取法，無關(guān)，則稱在上可積，把此極限值稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為，即；5) 答 黎曼可積 .二、1）解 ， ， ， ， ； 2） 解 ； 3） 解 或 4） 解 . 三、 1

9、）解 ，（ ）； 2）解 ，（ ）； 3）證明 把以上兩式相減，得 ， 因為所以，對 成立 4）證明 又，當，即，代入，有，因此 成立 . 2、證明 證法一 ， ； ， ； 將以上兩式相加，得，由此而來，即得有界；將以上兩式相減，得，由此而來，即得有界.證法二 設(shè)，對應(yīng)用第1題的結(jié)果,得,即，再利用,得，從而，,即得有界；利用已得結(jié)果,有，,即得有界.四、 1）解 ；2）解 ； 3） 解 ； 4） 證明 . 五、1、解在曲線上取一點，過的切線方程為： ， ，由 得 ，因此切線方程為：； . 2、證明 令, , 因，所以 , 令，則,即得, 所以， 則,于是 ， . 六、1）證明 ，,根據(jù)介值定

10、理，有，使得;又，即在0，1上嚴格遞增，則上述的唯一.2） 證明 令，則，,根據(jù)介值定理，有，使得又對任意的自然數(shù)，即在0，1上嚴格遞增，則上述的唯一.對任意的自然數(shù)，;則對單調(diào)遞增.因此，可得單調(diào)遞減且有界，從而可設(shè),根據(jù)，即，當，有，結(jié)合1）的結(jié)果， 有.參考文獻 1常庚哲,史濟懷. 數(shù)學分析教程(上冊、下冊)M.北京:高等教育出版社,2003.2華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊、下冊)M.北京: 高等教育出版社,2001. 3復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊、下冊)M.北京: 高等教育出版社,1988.4張筑生.數(shù)學分析新講(一至三冊)M.北京:北京大學出版社,1990. 5李成章，黃玉

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